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2024—2025学年第二学期高二年级第一次学业诊断检测 A． B． C． D．
数学试题 6．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 ，且 ，则 （ ）
考试时间：120分钟 考试分值：150分
A． B． C． D．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。） 7．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （
1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则
）．
不同的选法共有（ ）
A． B．5 C． D．30
A．10种 B．12种 C．20种 D．36种
2．某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一
8．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 经过 ，且与C
天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十
天的运动时长为（ ）
交于A，B两点，若 ， ，则 的离心率为（ ）
A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟
A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A．121 B．122 C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
4．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字 的正方体玩具．设事件 为“向上一
9．设数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
面点数为偶数”，事件 为“向上一面点数为6的约数”，则 等于（ ）
A． B．数列 为等比数列
A． B． C． D．
5．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ） C． D．若 ，则数列 的前10项和为10．已知直线 ，圆 ，则（ ）
14．直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是 .
A． 经过定点 B．圆 与圆 ： 外离
四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤）
C．当 与圆 相切时， . D．圆心 到直线 距离的最大值为
15．（13分）某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩
11．在长方体 中， ， ，E是 的中点，则（ ）
中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间 的人数为5．
A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为
C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．点 到平面 的距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
(1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x；
12．数列 满足 ，且 ，则 ．
(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数；
13．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，
(3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间
其伞面被伞骨分成 个区域，每个区域分别印有数字 ， ， ，…， .现准备给该伞面的每个
[90,100]的概率是多少？
区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如
区域 与区域 ）所涂颜色相同.若有 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
种.
16．（15分）已知数列 是递增的等比数列，满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
17．（15分）如图，三棱柱 中，四边形 是边长为2的正方形， ， 分别 19．（17分）已知抛物线C： （ ）经过点 （ ），F为焦点，且
为 ， 的中点， 与 交于点 ，若 ，且平面 平面 . .
(1)求C的方程及 ；
(2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线 分别交直线OM，ON于
A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱柱 的体积为4，求锐二面角 的余弦值.
18．（17分）已知数列 满足 ．
(1)设 ，写出 ；
(2)证明数列 为等比数列；
(3)求数列 的前 项和 ．
