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2025届高三年级第三次月考数学试卷 .
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 A B. C. D.
项是符合题目要求的．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符
1. 数据 的 分位数为（ ）
A. 9 B. 8.5 C. 8 D. 7.5 合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
2.设平面向量 ， 均为单位向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 函数 的图像恒过定点
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 B. “ ”的必要不充分条件是“ ”
3. 甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有 五个研学基
C. 函数 的最小正周期为2
地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的
选择种数共有（ ）
D. 函数 的最小值为2
A. 420 B. 460 C. 480 D. 520
4. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ 10. 函数 的部分图象如图所示，点 是图象上的最
高点，点 是图象与 轴的交点，点 在 轴上.若 是等腰直角三角形，则下列结论正
）
确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列{a}的前n项和为S，且2a－S＝2，记数列 的前n项和为
n n n n
T，若对于任意n∈N*，不等式k＞T 恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
n n
A. B. C. D.
A. B. 在区间 上单调递增
6. 已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若对任意 有
， ，且 ，则不等式 的解集为（ C. 的图象关于点 对称 D. 在区间 上有 个极值点
）
A. B. C. D. 11. 已知函数 图象上的点 均满足
7.已知抛物线 过点 ，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的 对 有
斜率之和为0，直线L的斜率为 ，且过C的焦点F，直线L把 分成面积相等的两部
成立，则（ ）
分，则直线MN的方程为（ ）
A. B. A. B. 的极值点为
C. D.
C. D.
8.已知 ，且 ，函数 ，若关于x的方程 有两个不相
三、填空题
等的实数根，则a的取值范围是（ ） 12. 的展开式中 的系数为__________.
13. 若直线 与曲线 相切，则 的最小值为__________.
2025届高三年级第三次月考数学试卷--114. 已知圆 ，抛物线 .若对于 上任意一点 ，使得
对圆 上的任意两点A，B，总有 ，则 的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量 ， ，记 ，
（1）对于 ，不等式 （其中m， ）恒成立，求 的最大值． （1）证明：直线 平面 ；
（2）若 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，a，b，c成等比数列，求 （2）是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？请说明理由.
的值．
18. 某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质
兼优，工厂在车辆出厂前抽取了100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测
试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
16. 已知函数 ， 为自然对数的底数.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）当 时，试求 的单调区间；
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点
值代替）．
（3）若函数 在 上有三个不同的极值点，求实数 的取值范围.
（2）根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布
，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数 作为 的近似
值，用样本标准差s作为 的估计值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最
大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．
（3）某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷
17. 如图，在多面体 中，四边形 为平行四边形，且
硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车
优惠券8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面
平面 ，且 .点
的概率都是0.5，车模开始在第0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，车
模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第4格（幸运之神）或第5格（赠
分别为线段 上的动点，满足 .
送车模）时游戏结束．若有6人玩游戏，每人参与一次，求这6人获得优惠券总金额的期望值．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
，
2025届高三年级第三次月考数学试卷--2当 ， 时， 有最大值为 .
19.数列 满足： 是等比数列， ，且 【小问2详解】
． ，即 ，
(1)求 ；
， ，故 ， ，
(2)求集合 中所有元素的和；
(3)对数列 ，若存在互不相等的正整数 ，使得 也是数列 ， ， 成等比数列，则 ，
中的项，则称数列 是“和稳定数列”．试分别判断数列 是否是“和稳定数
列”．若是，求出所有 的值；若不是，说明理由．
2025届高三年级第三次月考数学试卷参考答案 .
1.D 2.C 3. C 4.D 5. A 6. B 7.D 8.B 9. AB 10. AC 11. AD
12. -25 13. ## 14. 16. （1）
（2） 的单调增区间为 ，单调减区间为
15. 【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【解析】
【分析】（1）化简得到 ，确定 得到 ， 【分析】（1）求导，根据题意运算求解；（2）注意到当 时，对于 ，
，得到最值. 恒成立，利用导数求原函数的单调区间；（3）根据题意分析可得 在
（2）计算得到 ，确定 ，化简得到 ，根据正弦定理结
上有两个不同的根，且 ，构建新函数 ，结合导数解决方程根
合等比数列性质得到答案.
的问题.
【小问1详解】
【小问1详解】
.
，
由 ，得 .
，则 ，故 ， ，
【小问2详解】
恒成立，故 ， ， ∵函数的定义域为 ，
当 时，对于 ， 恒成立，
2025届高三年级第三次月考数学试卷--3∴当 ， ，当 ， ，
故 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
【小问3详解】
由条件可知 ，在 上有三个不同的根，
∵ 是 的根，
∴ ，即 在 上有两个不同的根，且 ， .
.
令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
∵当 时， ，当 时， ，
则由 ，取 得 .
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以
∴ 的最大值为 ，且 ， ，
解得 .
又∵ ，即 ，
所以 ，且 平面 ，所以 平面
∴ ， 【小问2详解】
设平面 的法向量为
故 .
17. （1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 则由 ，解得 .
【解析】
【分析】（1）以 为原点，分别以 方向为 轴建立如图所示空间直角坐标
所以 ，
系，证明 与平面 的法向量垂直即可证；
（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论． 解得 .
.
【小问1详解】
18. （1）300千米 （2）08186 （3）33万元
如图，以 为原点，分别以 方向为 轴建立坐标系.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出 ．
（2）由 ， ．利用正态分布的对称性可得 ．
（3）计算车模移到第4格或第5格时的概率，计算一次游戏优惠券金额的期望值，再求6人获
得优惠券总金额的期望值．
2025届高三年级第三次月考数学试卷--4【小问1详解】
估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为： 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出 的通项公式，由已知和求通项可得 的通
项公式，
千米 （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果
【小问2详解】 （3）根据“和稳定数列”的定义可判定.
由 ，它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率为： 【详解】（1） ，
又 ， ，解得：
．
因为 是等比数列，所以 的公比 ，
【小问3详解】
硬币出现正、反面的概率都是 ， 又当 时， ，
作差得：
第一次掷出正面，车模移动到第1格，其概率为 ，
将 代入，化简： ，
得：
移动到第2格有两类情况：掷出2次正面或掷出1次反面， ，
是公差 的等差数列，
同理， ， （2）记集合 的全体元素的和为 ，
集合 的所有元素的和为 ，
，
集合 的所有元素的和为 ，
，
集合 的所有元素的和为 ，则有
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X万元， 或0，
对于数列 ：
∴X的期望 万元
当 时， 是数列 中的项
设这6人获得优惠券总金额为Y万元，优惠券总金额的期望值 当 时， 不是数列 中的项
万元.
，其中
即 （其中 表示不超过实数 的最大整数）
19.(1) ，
(2)
(3)数列 是“和稳定数列”， ，数列 不是“和稳定数列”，理由见
解析 （3）①解：当 时， 是 的正整数倍，
2025届高三年级第三次月考数学试卷--5故一定不是数列 中的项；
当 时， ，不是数列 中的项；
当 时， ，是数列 中的项；
综上，数列 是“和稳定数列”， ；
②解：数列 不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设： ，则 ，且
故 不是数列 中的项.
数列 不是“和稳定数列”.
2025届高三年级第三次月考数学试卷--6
