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梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学
一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的前4项分别为 ， ， ， ，则该数列的一个通项公式可以为 （ ）
2. 已知直线 ,直线 .若 ,则 （ ）
A. 4 B. -2 C. 4或-2 D. 3
3. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为椭圆C上一点， 的最小值为1，且
的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 ， 均为等差数列，且 ， ， ，则 （ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
6. 线段 长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段 中点的轨迹所围成图形的面积为（
）
A. 2 B. 4 C. D.
7. 如图，在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知M是椭圆 上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B. 垂直椭圆的长轴，垂足为N，
若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，
部分选对的得2分，全部选对的得5分.9. 已知直线 与 ，则（ ）
A. 若 ，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则
C. 直线 恒过定点 D. 直线 在两坐标轴上的截距相等
10. 已知圆 与直线 ，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆必相交
B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为
D. 直线与圆可以相切
11. 已知点 ， ，直线 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时，点 ， 到直线 距离相等
B. 当 时，直线 的斜率不存在
C. 当 时，直线 在 轴上的截距为
D. 当 时，直线 与直线 平行
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点 且与椭圆 有相同焦点的椭圆的长轴长为______.
13. 若点 到抛物线 的准线的距离为3，请写出一个 的标准方程：__________.
14. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 .
（1）求 ；
（2）若在 与 之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比
数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
16. 已知复数 是虚数单位， ，且 ，其中 是 的共轭复数，
．
（1）证明：数列 和 均为等比数列．
（2）设数列 的前 项和为 ，求 ．
17. 如图，已知在四棱锥 中，底面 是边长为2 的菱形，其中 是等腰直角三角
形， ，点 在棱 上，且三棱锥 的体积为 ，点 是棱 的中点．（1）判断 是否为棱 的中点，并说明理由；
（2）求平面 与底面 所成角的余弦值．
18. 一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为 ，求l的方程．
所以直线l的方程为 ，即 ．
19. 已知圆 经过椭圆 的右焦点 及右顶点 .
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线与 交于 两点，求线段 的中点 的轨迹方程；
（3）过点 作与 轴平行的直线与 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，证明：点
共圆.
DADC BDBB 9AC 10AC 11CD
12
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【答案】 （本题答案不唯一， 任选一个即可）
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【答案】46
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解：（1）由 ，得 ，所以 .
（2）设这5个数组成的等差数列为 ，
则 ， ，
得该数列的公差 ，
所以 ， ， .因为 ，所以 ， ， 成等比数列，即这3个数为4，12，36.
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解：（1）因为复数 是虚数单位， ，且 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 可得 ,
所以 ，
所以：数列 和 均是等比数列.
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
.
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解：（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ， ， .
又因为 是菱形， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面PBC， 平面PBC，所以 平面PBC，
所以 .
因为 ，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的 ，所以 ，所以 为棱 的中点.
（2）因为 平面 ， 平面ABCD，
所以 ， ，又 ，
如图，以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
底面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ， ，得 .
设平面 与底面 所成角为 ，
所以 ，
平面 与底面 所成角的余弦值为 .
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解：（1）依题意，该动圆的圆心到点 与到直线 的距离相等．
又点 不在直线 上，根据抛物线的定义可知，
该动圆圆心的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为 ．
（2）设 ，由题意知直线l斜率存在，则 ，
则 ，两式相减得 ，即 ．
因为线段AB的中点坐标为 ，
所以 ，则 ，即直线l的斜率为 ，
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解：（1）在圆 中，令 ，解得 或 ，则 ，
因此椭圆 的半焦距 ，长半轴长 ，短半轴长 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）点 ，当直线 与 轴不重合时，设直线 方程为 ，
由 消去 得： ，
设 ，则 ， ，
联立得 ，即 ，
当直线 与 轴重合时，点 满足方程 ，
所以线段 的中点 的轨迹方程是 .
（3）由 ，得 ，
不妨令 ，直线 斜率 ，
则 ，
，
因此 ， ∽ ，则 ，
所以点 共圆.
