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东北三省精准教学 2024 年 12 月高三联考
数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 （i为虚数单位），则|z|＝
A．2 B． C． D．1
2．已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量 ， ，且 ，则
A．3 B． C． D．
4．已知函数 （ ， ， ， ）的部分图象如图所示，则下列
说法正确的是A．直线 是f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）图象的对称中心为 ，
C．f（x）在区间 上单调递增
D．将f（x）的图象向左平移 个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
5．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑
常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观
赏和娱乐．在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中， ， ， ，则
A．2 B． C． D．3
6．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中 ．若在 与 之间插入3个数，
使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝
A．2 B．3 C． D．
7．已知双曲线C： 的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分
别交于P，Q两点．点P为线段FQ的中点，且 ，则双曲线C的离心率为
A． B． C．2 D．3
8．已知f（x）是定义在R上的函数，且 ， ，则
A．-2 B．-3 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的有
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD的边长为2， ，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，折叠后点A
的对应点为A′，使得 ，连接A′B，A′C，则下列说法正确的是
A．D到平面A′BC的距离为 B．四面体A′-CDE的外接球表面积为8π
C．BC与A′D所成角的余弦值为 D．直线A′B与平面A′CD所成角的正弦值为
11．已知函数f（x）为R上的奇函数，当 时， ，且f（x）的图象关
于点（1，1）中心对称，则下列说法正确的是
A． B．直线 与f（x）图象有8个交点
C． 是周期为2的周期函数 D．方程 所有根的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列 ， ，则 ________．
13．已知集合 ， ，且 的非空子集的个数
为3，则整数b的一个可能取值为________．
14．已知函数 ，若 恒成立，则a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的周长为18，b，c，a成递增的等差数列， ．点D，E和F分别在BC，AC和AB上，满足 ，
， ．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：AD，BE和CF三线交于一点K．
16．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中， ， ， ，
， ，点E是PC的中点．
（1）证明： ；
（2）当 时，求二面角P-BC-A的余弦值．
17．（15分）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活
力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学
习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．Q市基于大数据测
算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数
来近似刻画，其中正午12点的城市活力度为20，是工作日内活力度
的最高值；24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．
（1）分别求m，n的值；
（2）求该工作日内，Q市活力度不大于10的总时长．
18．（17分）已知函数 ，其中 ， 是自然对数的底数，f（x）是g
（x）的导函数．
（1）当 时，求曲线 在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）当f（x）存在极值时，证明：f（x）的极值小于或等于1．19．（17分）记数列 的前n项和为 ，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为 ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）证明： ．
东北三省精准教学 2024 年 12 月高三联考数学
参考答案及解析
1．【答案】C
【解析】 ， ．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，即 ， ，则 ．当 时，
， ， ，则 ．故“ ”是“ ”的充分不必
要条件．
故选：A．
3．【答案】B
【解析】由 可得 ，解得 ，故 ，故
．
故选：B．
4．【答案】D
【解析】由图易知 ， ，得 ．
因为 ， ，所以 ．因为点 在曲线上，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ， ，所以函数f（x）图象的对称轴应满足 ，得
， ，故直线 不是f（x）图象的一条对称轴，选项A错误；
由 ，得 ， ，函数f（x）图象的对称中心为 ， ，选项
B错误；
由 ， ，得 ， ，当 时，
，选项C错误；
将f（x）的图象向左平移 个单位长度后得 ，平移后的函数是偶函
数，选项D正确．
故选：D．
5．【答案】B
【解析】在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中， ， ， ，可得在侧面ABB′A′中，
，故 ，
．
故选：B．
6．【答案】B
【解析】因为 ，所以当 时， ，两式相减得 ，即，所以公比为2， ，又当 时， ，得 ，所以等比数列 的通项
公式为 ， ，所以 ， ，公差为 ．
故选：B．
7．【答案】C
【解析】方法一： ，且P为线段FQ的中点， ， ，直线FQ的
方程为 ，与渐近线方程 联立，得Q的坐标 ，
，化简可得 即 ，双曲线C的离
心率 ．
方法二：因为P为FQ中点， ，所以 ，又直线OP与直线OQ分别为双曲线C
的两条渐近线，得 ，所以 ，故 ．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】因为 ，所以当 时， ，
又 ，所以 ．又由 ，可得 ，
所以 ，
，函数f（x）是以4为周期的函数，所以
．
故选：C．
9．【答案】ABC
【解析】对于A， ， 恒成立，选项A正确；
对于B，由基本不等式可得 ，因为 ，所以取不到等号，即 ，选
项B正确；
对于C，由 ， ，可得 ，由指数函数性质易得
，选项C正确；
对于D，令 ， ， ，选项D错误．
故选：ABC．
10．【答案】BCD
【解析】因为菱形ABCD中，E为AB的中点，所以 ，即将△ADE沿DE折起后， ，
，
又 ， ， ，
所以 ，则EB，ED，EA′两两垂直，
以E为坐标原点，EB，ED，EA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Exyz，则
A′（0，0，1），B（1，0，0）， ， ， ， ，， ．
对于A，设平面A′BC的法向量为 ， 取 ， ，
D到平面A′BC的距离为 ，选项A错误；
对于B，取CE中点F，连接DF， ， ，
过F作直线 ，则四面体A′-CDE的外接球球心O在直线l上，设 ，该外接球的半径为
R，由 ，得 ，解得 ， ，四面体A′-CDE的外接
球的表面积为 ，选项B正确；
对于C，BC与A′D所成角的余弦值为 ，选项C正确；
对于D，设平面A′CD的法向量为 ，
取 ， ， ，选项D正确．
故选：BCD．
11．【答案】ACD
【解析】对于A，f（x）的图象关于点（1，1）中心对称， ，当 时，
，可得 ，又 ， ，选项A正确；
对于B，因为f（x）为R上的奇函数，且（0，0）为直线 与f（x）图象的一个交点，所以直线
与f（x）图象交点为奇数个，选项B错误；
对于C，由f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，， ， ，
，所以 是周期为2的周期函数，选项
C正确；
对于D，因为f（x）为R上的奇函数，所以当 时， ，由g（x）的周期为
2，可得 ，函数图象如图所示，当 时，令 ，解得 ，
当 时，f（x）有最小值 ，因为函数f（x）为奇函数且图象关于（1，1） 中心对称，所以图象
也关于（-1，-1）中心对称，当 ， 有两个解，且关于 对称，所以当
时， 所有根的和为 ，结合正弦型函数的周期性和f（x）
的图象， 所有根的和为 ，选项D正确．
故选：ACD．
12．【答案】21
【解析】设等差数列 的公差为d，由 ，可得 ，即， ．
故答案为：21．
13．【答案】-5/-6/-7（写出一个即可得满分）
【解析】由 可知其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆（含（0，±5）），如图，
，
的非空子集的个数为3等价于直线 与半圆有2个公共点，当直线经过点（0，-5）时，
，当直线与半圆相切时，可得 ，解得 或 （舍），故 ．
故整数b的可能取值为-5，-6，-7．
故答案为：-5/-6/-7（写出一个即可得满分）．
14．【答案】（0，1）
【解析】由题意，得 ， 恒成立即 ， 恒成立．
， 恒成立，化简可得 ， ，
， ，
令 ， ，故g（x）单调递增，
， ，令 ， ，
当 时， ，当 时， ， 时，h（x）取最大值 ，
，即 ．
故答案为：（0，1）．15．【答案】（1） ， ， （6分） （2）证明见解析（7 分）
【解析】（1）因为△ABC的周长为18，所以 ，
由于b，c，a是递增的等差数列，故 ，
所以 ， ①，
又 ②，
由①②，解得 ， ， ．
（备注：推导出①得3分，否则按考点给分；推导出②得1分；联立①②得出a，b，c得2分）
（2）由题意可得 ， ， ，
所以 ， ，
设BE和CF交于点K，由B，K，E三点共线，得 ，
由C，K，F三点共线，得 ，
所以 解得
所以 ，
又 ，所以 ，
所以AD过点K，即AD，BE和CF三线交于一点K．
（备注：按考点给分，漏步骤相应扣分；可使用建系方法解题，过程酌情给分）
16．【答案】（1）证明见解析（6分） （2） （9分）
【解析】（1）由勾股定理， ，满足 ，所以 ．
因为 ， ， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 ．
（备注：证明 得2分，证明 得3分，证明 得1分）
（2）方法一：取AD的中点O，作 交BC于M，连接OP，则 ，
因为 ， ， ，所以
，以O为原点，OA，OM，OP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
Oxyz，
所以A（1，0，0），P（0，0，1）， ， ，设B（a，b，0）， ，
，
则 ， ， ， ．
易知平面PAD的一个法向量为 ，因为 ，
所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ，解得 或 （舍），即 ．
设平面PBC的一个法向量为 ，
则 令 ，得 ， ，可得 ，
易知平面ABC的一个法向量 ，则 ，
因为二面角P-BC-A为锐二面角，所以二面角P-BC-A的余弦值为 ．
（备注：建系给1分，写出点的坐标给1分，计算出平面PBC的法向量给4分，求出二面角的余弦值给3
分，过程酌情给分）
方法二：取AD的中点O，连接OP和OC，再取OC的中点Q，连接QE，
在平面ABCD内过点Q作BC的垂线，垂足为点N，连接EN，
因为 ，且O是AD的中点，所以 ．
又 ， ， ，
所以 ．
因为EQ是△POC的中位线，则 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 ， ，且 ，
所以 ．又 ，所以 ，
由二面角的平面角的定义可知，∠ENQ即为二面角P-BC-A的平面角．
连接BQ，并延长BQ交CD于点T．
由 ， ， ，所以 ．
当 时， ，且 ，
所以 ．
由平面与平面平行的性质定理可知 ．
记AC交BT于F，因为点Q是OC的中点， ，所以F是AC的中点，
由此可知 ， ，因为 ，所以 ，且 ．
由 ，可知 ，
由 得 ，所以 ，
，因此 ，
，
所以二面角P-BC-A的余弦值为 ．
（备注：分析出∠ENQ为二面角给3分，分析出 给2分，计算出∠ENQ的余弦值给3分，过程
酌情给分）
17．【答案】（1） ， （6分） （2）14小时（9分）
【解析】（1）由正午12点的城市活力度为20，知 ，
代入数据得 ，解得 ，
24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值，
故 ，代入数据得 ，解得 ．
（2）由（1）知
当 时，令 ，解得 ，
当 时，令 ，则 ，， ，
解得 ，故一日内只有 时活力度大于10，
即该工作日内有14个小时活力度不大于10．
（备注：（1）问求得m给3分，求得n给3分；（2）问求出 给2分，求出 给5分，
答案给2分）
18．【答案】（1） （6分） （2）证明见解析（11分）
【解析】（1）对g（x）求导可得 ，当 时， ，
故 ， ，
故曲线 在点（1，g（1））处的切线方程为 ，
化简得 ．
（备注：求导给1分，求出切线方程给3分，化简给2分）
（2）由第（1）问得 ，求导得 ，
当 时，f（x）单调递增，故f（x）不存在极值，
当 时，存在 ，使得 ，且 ，
此时在 上， ，f（x）单调递减，在 上， ，f（x）单调递增，此时f
（x）存在极值 ，
由计算得 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ， ，
当 时， ，所以当 时，h（a）取得最大值，
故 ，即f（x）的极值小于或等于1．
（备注：讨论极值 存在情况得5分，未讨论扣2分；构造函数给1分，求最大值给3分，答案给1
分）
19．【答案】（1） ， （7分） （2）（ⅰ） ，
（7分）；（ⅱ）证明见解析（3分）
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，所以 ，
即 ， 是首项和公比均为2的等比数列， ， ．
（备注：求 时 的值得2分，求出公比得2分，写出 的通项公式得3分）
（2）方法一：（ⅰ）由 ，
得 ，
故 ．
（ⅱ）因为 ，故 ．
（备注：（ⅰ）三角恒等变换拆分给2分，移项构造裂项相消得到 给5分；（ⅱ）证明给3分）
方法二：（ⅰ）设数列 的通项公式为 ，则 ，
当n为6的倍数时，
当n除6余1时， ，
当n除6余2时， ，当n除6余3时， ，
当n除6余4时， ，
当n除6余5时， ，
综上所述：
（ⅱ）
（备注：过程酌情给分）
