文档内容
2023 级普通高中学科素养水平监测试卷
数学
2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角.
【详解】由题意得，直线的斜率 ，故直线的倾斜角为 .
故选：D.
2. 椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程化为椭圆标准方程即可得到结果.
【详解】由 得椭圆标准方程为 ，∴ ，
∴离心率 .
故选：B.
3. 已知 是直线 的方向向量， 为平面 的法向量，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.两个向量平行，则它们对应坐标
成比例，我们可以根据这个性质来求解 的值.
【详解】因为 ，所以 与 平行.
对于两个平行向量 和 ，根据向量平行的性质，
它们对应坐标成比例，即 .
由 ，交叉相乘可得 ，解得 .
故选：A.
4. 若圆 与圆 有3条公切线，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆 的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆
外切时圆心距等于两圆半径之和来求解 的值.【详解】圆 ，其圆心坐标为 ，半径 .
圆 ，其圆心坐标为 ，半径 .
因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距 .
根据两点间距离公式，圆心 与 的距离 .
又因为 ，即 .
移项可得 .
两边平方可得 ，解得 .
故选：A.
5. 空间三点 ， ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 7 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积求出 的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以，以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 .
故选：D
6. 若圆 ，点 在直线 上，过点 作圆 的切线，切点为 ，则切线长
的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点 的距离构成直角三角
形，圆的半径固定，当圆心到点 的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点 的最小距离就是圆心
到直线的距离.
【详解】对于圆 ，其圆心坐标为 ，半径 .
根据点 到直线 的距离公式 ，
则 .
根据切线长、圆半径和圆心到点 距离构成直角三角形，设切线长为 ，圆心到点 的距离为 ，圆
半径 .
由勾股定理 ，当 取最小值 时， 最小，
此时 .
故选：B.
7. 若 ， 两点到直线 的距离相等，则 （ ）
A. B. C. 2或 D. 2或
【答案】C【解析】
【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于 的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知， ，
得 ，解得 或 ，
即实数 的值为 或 .
故选：C
8. 设 为坐标原点， ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标以及椭圆的基本参数，再利用余弦定理求出 与
的关系，然后通过向量关系求出 .
【详解】对于椭圆 ，可得 ， .
可求出 ，所以焦点 ， .
设 ， ，在 中，根据余弦定理 .
已知 ， ，则 .
又因为点 在椭圆上，根据椭圆的定义 ，将 展开得 .
用 减去 可得：
即 则 .
代入 中，可得 .
因为 ，所以 .
.
则 ，
所以 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线过点 ，且在两坐标轴上截距相等，则直线 方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对截距分类讨论，利用截距式及其斜率计算公式即可得出．
【详解】当直线 经过原点时，可得直线方程为： ，即 ．
当直线 不经过原点时，可设 的直线方程为： ，把点 代入可得： ，可得 ．综上可得：直线 的方程为： 或 ．
故选：BC．
10. 在平面直角坐标系 中，已知 ， ，点 满足 ，设点 的轨
迹为 ，则（ ）
A. 当 时， 的方程是
B. 当 时，以 为直径的圆与 的公共弦长为
C. 当 时，圆 的圆心在线段 的延长线上
D. 以 为直径的圆始终与 相交
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意设 ，由 可得轨迹 ，当 时，可得轨迹 的方程，根据圆与圆
的位置关系确定相交弦长从而可判断A，B；根据圆心 的坐标确定与 ， 坐标关系即可判
断C；分别判断 与 时，圆 的端点在圆 内还是外即可判断圆与圆的位置，从而判断D.
【详解】设 ，因为 ， ，则 ，
整理得点 的轨迹为 为 ，
对于A，B，当 时， 的方程是 ，故A正确；
此时圆心 ，半径 ，又以 为直径的圆圆心为 ，半径为2，圆的方程为 ，所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为： ，
故公共弦长 ，故B不正确；
对于C，由于方程 为 ，则此时圆心坐标为
，
当 时， ，则圆 的圆心在线段 的延长线上，
故C正确；
对于D，由于以 为直径的圆方程为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
当 时，，因为圆 的圆心在线段 的延长线上，
又 ，
则 ， ，
故点 在圆 内， 在圆 外，即此时以 为直径的圆始终与 相交；
当 时， ， 的圆心在线段 的延长线上，
又 ， ，
则 ， ，
故点 在圆 外， 在圆 内，即此时以 为直径的圆始终与 相交；
综上，以 为直径的圆始终与 相交，故D正确.故选：ACD.
11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为
“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与
球 ，球 切于点 ， （ ， 是截口椭圆 的焦点）.设图中球 ，球 的半径分别为3和1，球
心距 ，则（ ）
A. 椭圆 的中心在直线 上
B.
C. 直线 与椭圆 所在平面所成的角为
D. 椭圆 的离心率为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球 ，球 的截面大圆，如图，点 分别为圆 与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段 是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段 的中点）不在直线 上，故A错误；
椭圆长轴长 ，
过 作 于D，连 ，显然四边形 为矩形，
又 ，
则 ，
过 作 交 延长线于C，显然四边形 为矩形，
椭圆焦距 ，故B正确；
所以直线 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 ，故C错误；
所以椭圆的离心率 ，故D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若点 是点 在坐标平面 内的射影，则 ________.
【答案】
【解析】【分析】由题意可得 ，结合空间向量模的坐标表示即可求解.
【详解】因为点 是点 在坐标平面 内的射影，
所以 ，得 ，
所以 .
故答案为：
13. 若圆 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】求圆心到直线的距离 ，根据直线与圆的位置关系列不等式，求解即可得 的取值范围.
【详解】圆心 到直线 的距离为 ，
若圆 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，
所以 ，则 ，解得 。
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，
羡除 中，四边形 ， 均为等腰梯形， ， ， 互相平行，平面
平面 ，梯形 ， 的高分别为2，4，且 ， ， ，则 与平面
所成角的正切值为________，异面直线 与 所成角的余弦值为_______【答案】 ①. 2 ②. ##0.2
【解析】
【分析】利用面面垂直得线面垂直，建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用空间向量解决线面角
和线线角问题.
【详解】
过点 作 的垂线，垂足分别为 ，则 .
由四边形 ， 均为等腰梯形得 ， ， .
∵ ，∴ .
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ,
由题意得，平面 的法向量为 .设 与平面 所成角为 ，则 ，
由 得， ，∴ .
∵ ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案 为：2； .
【点睛】思路点睛：本题考查立体几何综合问题，具体思路如下：
（1）过点 作 的垂线，垂足分别为 ，由 得 .
（2）由平面 平面 得 平面 ， .
（3）以 为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用空间向量解决线面角和线线角问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形 中， ， 分别为 ， 的中点，点 为 的重心，设
， ， .
（1）试用向量 ， ， ，表示向量 ；
（2）若 ， ， ，求 的值.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解；
（2）用 ， ， 表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
，
，
.16. 已知圆 的圆心在直线 上，并且经过圆 与圆 的交点.
（1）求 的方程；
（2）直线 与 交于 ， 两点，当弦 最短时，求 的值，并求出
此时 关于 对称的圆 的方程.
【答案】（1）
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）设出过圆 与圆 的交点的圆系方程，得到圆心后代入直线
中计算即可得；
（2）由题意可得直线 所过定点，再借助垂径定理即可得 ，再求出 的圆心关于直线 的对称点的坐标
即可得解.
【小问1详解】
设经过圆 与圆 的交点的圆的方程为：
，
即为 ，
圆心为 ，代入 得， ，
的
所以 方程为 ；
【小问2详解】
由 得，所以直线 经过 与 的交点，
由 ，得交点 ，
所以当 时 最短，
因为 ，所以 ，解得 ，
即直线 的方程为
由（1）得 ，半径 ，
设圆心 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，
所以 关于 对称的圆 的方程为 .
17. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为棱 ，
的中点， 是 与 的交点.（1）求点 到平面 的距离；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明
理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据给定的几何体建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用点到平面距离
的向量求求解.
（2）由（1）中信息，利用空间位置关系的向量证明推理得解.
【小问1详解】
在直三棱柱 中， ， ，
以 为原点，直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，则 ，取 ，得 ，
1 1 1所以点 到平面 的距离 .
【小问2详解】
由（1）知， ，设 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，而 平面 ，
所以存在点 ，当 时， 平面 .
18. 在圆 上任取一点 ，过 作 轴的垂线段 ，垂足为 ，点 在线段 的延长线
上，且 ，当 在圆 上运动时，点 形成的轨迹为 .（当 经过圆 与 轴的交点时，规定
点 与点 重合.）
（1）求 的方程；
（2）设 的上顶点为 ，过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ，
分别与 轴交于点 ， ，证明：线段 的中点为定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）设 ，P(x ,y )，点 的坐标代入圆 可得答案；
0 0
（2）设 ， ，过点 的直线为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理
求出 、 ，再由直线 、直线 的方程求出 、 相加可得答案.
【小问1详解】
设 ，P(x ,y )，则 ，
0 0
所以 ， ，
因为点 在圆 上，
所以 ，
即 的方程为 ；
【小问2详解】
设过点 的直线为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，所以
，
因为 ， 都在 轴上，所以 ， 中点的纵坐标为0，
所以线段 的中点为定点 .
19. 已知曲线 ，对坐标平面上任意一点 ，定义 ，若两点 ， ，满
足 ，称点 ， 在曲线 的同侧； ，称点 ， 在曲线 的两侧.
（1）若曲线 ，判断 ， 两点在曲线 的同侧还是两侧；
（2）已知曲线 ， 为坐标原点，求点集 所
构成图形的面积；
（3）记到点 与到 轴的距离之和为 的点的轨迹为曲线 ，曲线 ，
若曲线 上总存在两点 ， 在曲线 两侧，求曲线 的方程和实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 两点在曲线 的同侧；（2）
（3） ， .
【解析】
【分析】（1）根据定义分别求解 ，再验证 ，即可判断；
（2）由 ， 判断点集的位置，从而得轨迹的面积；
（3）设曲线 上 的动点为 ，得曲线 的方程，分别求解当 ， 时的
，利用 ，求解 的范围．
【
小问1详解】
因为 ，
，
所以 ，
所以 ， 两点在曲线 的同侧；
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，点集 为曲线 内部，
曲线 如图所示由此可得曲线所围成图形的面积为 ，
即点集 所构成图形的面积为 ；
【小问3详解】
设曲线 上的动点为 ，则曲线 的方程为 ，
整理得 ，
所以，当 时， ，
此时 ，
所以，当 时， ，
此时 ，
要使曲线 上总存在两点 ， 在曲线 两侧，则
所以 ，
解得 ，
所以曲线 的方程为 ，实数 的取值范围为 .
