文档内容
2024—2025 学年度第一学期期中考试
高二数学试题（A）
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区
域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1. 下列选项中，与直线 平行的直线是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆C： ，“ ”是“点 为C的一个焦点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知曲线 ，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为 ，且 ，则点N的轨
迹方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知不全为零的实数 、 、 满足 ，则直线 被圆 所截得的线
段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.5. 已知椭圆C： 的一个焦点为 ，且C过点 ，则 （ ）
A. 10 B. 49 C. 50 D. 1201
6. 已知双曲线C： （ ， ）的右焦点为 ，点 在C上，则C的离心率
为（ ）
A. B. C. D.
7. 直线l： 与圆 的公共点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
8. 已知椭圆 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 是 上一点，直线
， 的斜率分别为 ， ，且 是面积为 的直角三角形.则 的方程为（ ）
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个圆柱 侧的面，可以得到以下哪些图形（ ）
.
A 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆
10. 设抛物线C： 的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A： 的一条切线
切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ）
A. l与圆A相交 B. 当点P，A，B共线时，
C. 时， 的面积为2或6 D. 满足 的点P恰有2个11. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线 与圆
相切于点 ， 与第二象限内的渐近线交于点 ，则（ ）
A. 双曲线 的离心率
B. 若 ，则 的渐近线方程为
C. 若 ，则 渐的近线方程为
D. 若 ，则 的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆 与x轴相切，则 __________.
13. 已知抛物线C： 的焦点 恰为圆 的圆心，点 是 与圆的一个交点，则
点 到直线 的距离为__________，点 到直线 的距离为__________.
14. 已知曲线C是椭圆 被双曲线 （ ）所截得 部分（含端点），点P是C上
的
一点， ， ，则 的最大值与最小值的比值是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 ，（a，b分别为椭
圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C： .
（1）求C的面积；
（2）若直线l： 交C于A，B两点，求 .16. 已知椭圆C： 上的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交于 两点，若
面积是 面积的3倍，求 的值.
17. 已知椭圆C： ，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点 构成三角形.
（1）求 的周长的取值范围：
（2）求 的面积S的最大值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知椭圆 的右顶点为 ，过 作直线 与椭圆 交于另一点 ，且 ，求直线l
的方程．
19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，
正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆 的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直
线的方程：
（2）已知正方形A的方程为 ，且正方形A为双曲线 的一个“切立方”，求该双曲线
的离心率e的取值范围；
（3）设函数 的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.2024—2025 学年度第一学期期中考试
高二数学试题（A）
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区
域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1. 下列选项中，与直线 平行的直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断 是否成立，注意分析重合情况.
【详解】 ，
对于A： ，可知两直线重合，不符合；
对于B： ，所以不平行，不符合；
对于C： ，所以不平行，不符合；
对于D： ， ，且 ，所以两直线平行，符合；
故选：D.
2. 已知椭圆C： ，“ ”是“点 为C的一个焦点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与 之间的关系式可得结论.
【详解】若 可得 得一个焦点坐标为 ，即充分性成立；
若“点 为C的一个焦点”，则可得 ，即 ，可知必要性成立，
因此，“ ”是“点 为C的一个焦点”的充要条件.
故选：C
3. 已知曲线 ，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为 ，且 ，则点N的轨
迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量找到三点的关系，设所求点 的坐标，由三点关系得到 的坐标，然后代入曲线
，得到点N的轨迹方程.
【详解】∵ ，∴ 三点共线，且
又∵ 轴，
∴设 ，则 ， ，
∵点 在 上，∴ ，即 .
故选：B.
4. 已知不全为零的实数 、 、 满足 ，则直线 被圆 所截得的线
段长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线 所过定点 的坐标，分析可知，当 时，圆心到直线 的距离最大，此时，直线
截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.
【详解】因为不全为零的实数 、 、 满足 ，
则直线 的方程可化为 ，即 ，
由 可得 ，即直线 过定点 ，
因为 ，即点 在圆内，
圆 的圆心为原点 ，半径为 ，
当 时，圆心到 的距离取最大值，且最大值为 ，
所以，直线 被圆截得的弦长的最小值为 .
故选：B.
5. 已知椭圆C： 的一个焦点为 ，且C过点 ，则 （ ）
A. 10 B. 49 C. 50 D. 1201
【答案】D【解析】
【分析】由条件知椭圆的焦点在 轴上，半焦距长 ，短半轴长 ，根据 的关系，可求
.
【详解】椭圆C： 的一个焦点为 ，过点 ，
∴ ，∴ ，∴ .
故选：D.
6. 已知双曲线C： （ ， ）的右焦点为 ，点 在C上，则C的离心率
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列方程组求得 ，再由离心率公式计算．
为
【详解】点 在C上，右焦点 ， ，
则 ，解得 ，
所以离心率 为，
故选：A．
7. 直线l： 与圆 的公共点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
【答案】C
【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.
【详解】由 整理得： ，
可知圆 圆心坐标为 ，半径为 ，
再由直线l： 恒过点 ，
由圆心 到点 的距离为 ，可知 ，
所以点 在圆的内部，
即直线l与圆一定有两个交点.
故选：C.
8. 已知椭圆 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 是 上一点，直线
， 的斜率分别为 ， ，且 是面积为 的直角三角形.则 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中 ，得到 ，
由面积求出 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出 的值，得到椭圆方程.
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴椭圆方程为： .
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（ ）
A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆
【答案】CD
【解析】
【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.
【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，
若平面与底面 的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.
故选：CD
10. 设抛物线C： 的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A： 的一条切线
切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（ ）
A. l与圆A相交 B. 当点P，A，B共线时，
C. 时， 的面积为2或6 D. 满足 的点P恰有2个
【答案】BCD【解析】
【分析】对于A，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；
对于B，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；
对于C，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；
对于D，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.
【详解】对于A，由抛物线 ，即 ，则准线 ，
由圆 整理可得 ，则圆心 ，半径r=1，
由圆心 到直线y=−1的距离为 ，则圆 与直线 相切，故A错误；
对于B，由题意作图如下：
由 共线，且 ，当 时， ，则 ， ，
， ，故B正确；
对于C，由 ，则令 ， ，解得 ，
当 时， 的高为 ，面积为 ，如下图：当 时， 的高为 ，面积为 ，如下图：
故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
.
由抛物线 整理可得 ，则其焦点 ，易知 ，
由直线 的斜率 ，线段 中点 ，
则线段 的中垂线方程为 ，整理可得 ，
联立 ，消 可得 ， ，
所以线段 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线 与圆相切于点 ， 与第二象限内的渐近线交于点 ，则（ ）
A. 双曲线 的离心率
B. 若 ，则 的渐近线方程为
C. 若 ，则 的渐近线方程为
D. 若 ，则 的渐近线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用 可得 ，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率 ，知A
的
正确；根据斜率关系可知直线 为双曲线 一条渐近线，利用 可构造方程求得B正确；
分别利用 和 可构造方程求得CD正误.
【详解】
对于A， ， ， ， ，
， ，又 与第二象限内的渐近线交于点 ，
，即 ， ， ，A正确；对于B，由A知： ，又 ， ，
直线 即为双曲线 的一条渐近线，
， ，又 ，
， ，
，
， ，
，整理可得： ，
， ， ，
即 ，解得： ， 的渐近线方程为 ，B错误；
对于C， ， ，
， ，
，整理可得： ，即 ，
， ， 的渐近线方程为 ，C正确；
对于D， ， ， ，
，， ，
，整理可得： ，
， ， ， 的渐近线方程为 ，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近
线斜率构造关于 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆 与x轴相切，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.
【详解】由圆的方程整理可得圆 ，则圆心 ，半径 ，
由圆与 轴相切，则 ，解得 .
故答案为： .
13. 已知抛物线C： 的焦点 恰为圆 的圆心，点 是 与圆的一个交点，则
点 到直线 的距离为__________，点 到直线 的距离为__________.
【答案】 ①. ②.【解析】
【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点 坐标和 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得
点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.
【详解】∵圆的标准方程： ，
∴圆心为(0,1)，半径 ，
∴ ，即 ，即抛物线C： ，F(0,1)
联立方程组 ，
解得 或 （∵ 舍去）
∴
∴ 或
∵直线 与 轴重合，∴点 到直线 的距离为 ，
由对称性可知，无论取哪个点 ，点 到直线 的距离相等，
∴取 ，直线 ，
∴点 到直线 的距离 ，
故答案为：①4 ②
14. 已知曲线C是椭圆 被双曲线 （ ）所截得的部分（含端点），点P是C上
一点， ， ，则 的最大值与最小值的比值是__________.
【答案】2【解析】
【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.
【详解】由椭圆 ，则 ， ，
易知 为椭圆的左右焦点，
由 为椭圆上的点，则 ，可得 ，
所以 ，联立 ，解得 ，
当 时， 取得最小值 ，则 取得最小值
如下图：
；
当 时， 取得最大值 ，则 取得最大值 ，如下图：
.
所以 的最大值与最小值的比值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 ，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C： .
（1）求C的面积；
（2）若直线l： 交C于A，B两点，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆C的方程可知 的值，代入椭圆的面积公式即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.
【小问1详解】
由椭圆C的方程可知 ， ，
所以，椭圆C的面积 ；
【小问2详解】
联立 ，得 ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
所以， .
16. 已知椭圆C： 上的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交于 两点，若面积是 面积的3倍，求 的值.
【答案】
【解析】
【分析】根据 与 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方
程的判别式 求解出 的值.
【详解】解：将直线 与椭圆联立 ，
消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，
则 ，解得 ，
设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，易知F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
则 ， ，
所以 ，解得 或 (舍去)，
故 .17. 已知椭圆C： ，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点 构成三角形.
（1）求 的周长的取值范围：
（2）求 的面积S的最大值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）由椭圆定义得到 的周长为 ，设 ， 且
，求出 ，求出周长的取值范围；
（2）表达出 ，结合 ，得到面积的最大值.
【小问1详解】
由题可得 ， ，
则 ，故 ，
所以 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为 ，
连接 ，由对称性可知， ，
故 ，则 的周长为 ，
设 ， ，
因为 三点构成三角形，故 不共线，所以 ，
故 且 ，
则 ，
因为 ，故 ，
所以 的周长 ；
【小问2详解】
，
不共线，故 ，
所以 ，S的最大值为12.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知椭圆 的右顶点为 ，过 作直线 与椭圆 交于另一点 ，且 ，求直线l
的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得 的值，进而得到椭圆的标准方程；
（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．
【小问1详解】
由题可知 ，其中 ，所以 ,
又点 在椭圆 上，所以 ，即 ，解得 ，
所以椭圆E的方程为 ．
【小问2详解】
由椭圆 的方程 ，得 ，
所以 ，
设 ，其中 ，因为 ，
所以 ，
又点 在椭圆 上，所以 ，
联立方程组 ，得 ，
解得 或 （舍），当 时， ，即 或 ．
所以当 的坐标为 时，直线 的方程为 ；
当 的坐标为 时，直线 的方程为 ．
综上，直线 的方程为 或 .
19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，
正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆 的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直
线的方程：
（2）已知正方形A的方程为 ，且正方形A为双曲线 的一个“切立方”，求该双曲线
的离心率e的取值范围；
（3）设函数 的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.
【答案】（1） ，
（2）
（3）曲线C存在切立方，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方” 的四条边所在直线的方程即可；
（2）根据“切立方”的定义，联立 与双曲线 ，由于相切，则 ，根据 ，即可求出双曲线的离心率 的取值范围；
（3）设第一个切点为 ，则切线为 ，根据函数 的图象关
于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为 ，同理求出第三条和第四条
切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.
【小问1详解】
根据“切立方”的定义，设直线方程 ， 可得
， ，
，
， ；
【小问2详解】
由正方形A的方程为 ，则 ，
由正方形A为双曲线 的一个“切立方”，
则 ，联立整理得 ，
则 ，
整理得 ，即 ，由图可知 ，则 ，
所以
【小问3详解】
由曲线 ，设切点为 ，
联立 ，
得 ，
即 ，
点 在曲线和直线上，整理得 ，
则过该点的一条切线方程为 ，
即 ，
由函数 为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”，
则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为： ，
设第三个切点为 （ ），同理可得另两条切线为 ，
若存在正方形，即 ，
由此可设 ， ，
代入消元可得 ，设 ，
由 ， ，且在 上，函数图象连续不间断，
则由零点存在性定理可知 在 上有解，
因此曲线C存在切立方.
的
【点睛】关键点点睛：本题 第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.
