文档内容
内江市高中 2025 届第一次模拟考试题
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上．
3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上．
4．考试结束后，监考人员将答题卡收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数 的对应点坐标为 ，则 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义可知 ，再根据复数的乘法以及共轭复数的定义分析判断.
【详解】因为复数 的对应点坐标为 ，则 ，
可得 ，
所以 的共轭复数为 .
故选：A.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】求出集合 、 ，再利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
，
所以， .
故选：D.
3. 已知两个向量 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直可得 ，再结合向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为 ，则 ，即 ，
又因为 ， ，则 ，解得 .
故选：C.
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义研究条件的充分性和必要性.
【详解】若 ，假设 ，则由 可知 ，矛盾，所以 ，这表明条件是必
要的；对 ，有 ， ，这表明条件不是充分的.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知一批产品中有 是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为 ，一个次
品被误判为合格品的概率为 ．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件 抽取的一个产品为合格品，事件 抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求
得 的值.
【详解】记事件 抽取的一个产品为合格品，事件 抽查一个产品被判为合格品，
则 ， ， ，
由全概率公式可得 .
所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为 .
故选：B.
6. 函数 的部分图象如图所示，若 、 ，且
，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象求出函数 的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出 的值，代值计算可得
出 的值.
【详解】由图可知，函数 的最小正周期为 ，则 ，
所以， ，
因为 ，且函数 在 附近单调递减，
所以， ，解得 ，
又因为 ，所以， ，则 ，
因为 ，可得 ，
所以， ，因为 、 ，则 ， ，
因为 ，则 ，所以， ，
故 .
故选：C.
7. 年 月 日是第 个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极
组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校 个志愿小组依次领取
这批树苗开展植树活动．已知第 组领取所有树苗的一半又加半包，第 组领取所剩树苗的一半又加半包，
第 组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第 组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领
完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设原有树苗有 包，求出第 组到第 组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得
出关于 的等式，解之即可.
【详解】设原有树苗有 包，第 组领取 包，
第 组领取 包，
第 组领取 包，
，以此类推可知，第 组领取 包，
由题意可得 ，
即 ，解得 .
.
故选：B
8. 已知 为常数，函数 有两个极值点 、 ，且 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由 可得出 ，可知直线 与函数 的图象有两个交点，利用
导数分析函数 的单调性与极值，数形结合得出 ，计算得出 ，
，构造函数 ，其中 ，利用导数求该函数的值域，即可得出合适
的选项.
【详解】因为 ，该函数的定义域为 ，
，由题意可知， 、 为方程 的两根，
由 可得 ，令 ，其中 ，
由题意可知，直线 与函数 的图象有两个交点，
，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为(0,+∞)，
故 ，
且当 时，g(x)<0，当 时，g(x)>0，如下图所示：
由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
且 ，由题意可得 ，
所以， ，
，
令 ，其中 ，则 ，所以，函数 在(0,+∞)上单调递增，则 ，即 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于确定 、 的取值范围，再结合极值点所满足的条件消去参数 ，
进而转化为构造函数求值域的问题.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件 “点数为 ”，其中
，则下列论述正确的是（ ）
A.
B. 若 “点数大于 ”，则
C. 若连续抛掷骰子 次，记 “点数之和为 ”，则
D. 若重复抛掷骰子，则事件 发生的频率等于事件 发生的概率
【答案】AC
【解析】
【分析】分析可知， ，可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概
型的概率公式可判断C选项；利用频率与概率的关系可判断D选项.
【详解】对于A选项， ，则 ，A对；
对于B选项，若 “点数大于 ”，则 ，B错；
对于C选项，若连续抛掷骰子 次，记 “点数之和为 ”，
基本事件总数为 ，若抛掷骰子，第一次向上的点数为 ，第二次向上的点数为 ，
以 作为一个基本事件，则事件 包含的基本事件有： 、 、 ，共 个基本事件，由古典概型的概率公式可得 ，C对；
对于D选项，若重复抛掷骰子，则事件 发生的频率在事件 发生的概率值附近波动，D错.
故选：AC.
10. 已知 ，则下列不等关系正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用正切函数的基本性质可判断A选项；推导出 ，结合函数
的单调性可判断B选项；利用函数 在 上的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断
D选项.
【详解】对于A选项，因 为，则 ，
所以， ，故 ，A对；
对于B选项，因为 ，则 ，所以， ，
因为函数 在 上为增函数，所以， ，即 ，B对；
对于C选项，构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，所以， ，
即 ，即 ，故 ，C对；
对于D选项，因为 ，
所以， ，D错.
故选：ABC.
11. 给定函数 ， ．分别用 、 表示 、 中的最小者、最大
者，记为 , ．下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当直线 与曲线 有三个不同交点时，
C. 当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交点
D. 函数 的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数 、 的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；求出切线方程，将
切线方程与函数 的解析式联立，求出交点个数，可判断C选项；化简函数 的解析式，并求其值域，可判断D选项.
【详解】函数 、 的定义域均为 ，且 ，
所以， ，
，
对于A选项，当 时， ，则 ，此时， ，
当 时， ，则 ，此时， ，A对；
对于B选项，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，B错；
对于C选项，当 时， ，则 ，因为 ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
当 时，由 ，
整理可得 ，可得 （舍去），
当 时，由 可得 ，
解得 或 （舍去），
综上所述，当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交点，C对；
对于D选项，当 时， ，
当 时， .
综上所述，函数 的值域为 ，D对.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在 的展开式中，常数项为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出通项，然后令 的指数为零即可．
【详解】解：由题意得： ，
令 得 ，
故常数项为 ．
故答案为： ．
13. 在平行四边形 中，已知 ， ， ，点 在边 上， ，
与 相交于点 ，则 的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算
可得出 ，即可得解.
【详解】以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
在平行四边形 中，已知 ， ， ，点 在边 上， ，则 、 、 、 ，则 ， ，
所以， .
故答案为： .
14. 已知函数 （ ，且 ）的图象无限接近直线 但又不与该直线相
交，且 在 上单调递增，请写出一个满足条件的 的解析式______．
【答案】 （答案不唯一，满足 且 均可）
【解析】
【分析】根据复合函数单调性结合指数函数单调性分析可知 ，再结合指数函数值域可得 ，即
可得结果.
【详解】当 时， 在(0,+∞)上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
且 在R上单调递减，
可知 在(0,+∞)上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
若 在(0,+∞)上单调递增，则 ，
可得 ，若函数 图象无限接近直线 但又不与该直线相交，可知 ，
综上所述： 且 .
例如 ，可得 .
故答案为： （答案不唯一，满足 且 均可）.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中， ， ， 分别为内角 所对的边，且满足 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）利用余弦定理可得 ，再结合不等式 可得 ，即可得结果.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ，
且 ，即 ，
又因为 ，则 ，可得 ，即 ，所以 .
【小问2详解】
由余弦定理可得： ，
即 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 周长的最大值为 .
16. 已知数列 、 满足 ， ， ， ，其中 、 、
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可得对任意 的， ，利用前 项和与通项的关系可求得数列
的通项公式；（2）由题意得出 ，可求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式，利
用裂项求和法可求得 .
【小问1详解】
由题意可知，对任意的 ， ，
当 时，由 ，可得 ，
上述两个等式作差可得 ，可得 ，
也满足 ，故对任意的 ， .
【小问2详解】
由题意可知， ，所以， .
所以， ，
所以， .
17. 已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】【分析】（1）求导，分 和 两种情况，结合导数的符号判断原函数单调性；
（2）由题意可得： ，分 和 两种情况，结合（1）中单调性分析求解即可.
【小问1详解】
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
若 ，则f′(x)<0，可知 在 内单调递减；
若 ，令f′(x)<0，解得 ；令f′(x)>0，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增；
综上所述：若 ， 在 内单调递减；
若 ， 在 内单调递减，在 内单调递增.
【小问2详解】
因为 恒成立，则 ，
若 ，由（1）可知： 在 内单调递减，
且当 趋近于 时， 趋近于 ，不合题意；
若 ，由 可得 ，
由（1）可知： 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，若 ，则 ，可得 ，符合题意；
综上所述：实数 的取值范围为(1,+∞).
18. 某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，
预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有 名学生参加了预赛，现从参加预赛
的全体学生中随机地抽取 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
（1）规定预赛成绩不低于 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 分的学生中随机地抽取 人，
求至少有 人预赛成绩优良的概率；
（2）由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 近似服从正态分布 ，其
中 可近似为样本中的 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且
，已知小明的预赛成绩为 分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
（3）复赛规则如下：①复赛题目由 、 两类问题组成，答对 类问题得 分，不答或答错得 分；答
对 类问题得 分，不答或答错得 分；② 、 两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答
对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对 类问题的概率为 ，答
对 类问题的概率为 ，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生
甲应选择先回答哪类问题？并说明理由．附 ： 若 ， 则 ， ，
； ．
【答案】（1）
（2）有，理由见解析 （3）先答 类问题，理由见解析
【解析】
【分析】（1）计算出预赛成绩不低于 分的人数和预赛成绩不低于 分的学生人数，利用组合计数原
理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）计算出 、 的值，可得出 ，计算出 的值，与 比大小，可得出结论；
（3）计算出学生甲先回答 类问题、先回答 类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，抽取的 人中，预赛成绩不低于 分的人数为 ，
预赛成绩不低于 分的学生人数为 ，
因此，从上述样本中预赛成绩不低于 分的学生中随机地抽取 人，
至少有 人预赛成绩优良的概率为 .
【小问2详解】
由频率分布直方图可知，
，
， ，
，
所以，小明有资格参加复赛.
【小问3详解】若学生甲先答 类问题，设他的得分为随机变量 ，则 的可能取值有 、 、 ，
， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
则 ，
若学生甲先答 类问题，设该同学的得分为随机变量 ，则 的可能取值有 、 、 ，
， ， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
则 ，
所以， ，因此，学生甲应先回答 类问题.
19. 已知函数 ，取 ；过点 作曲线 的切线，该切线与 轴的交点
记作 ．若 ，则过点 作曲线 的切线，该切线与 轴的交点记作 ．
以此类推得 ，直至 停止，由这些数构成数列 ．
（1）若正整数 ，证明： ；
（2）若正整数 ，证明： ；
（3）若正整数 ，是否存在 使得 依次成等差数列？若存在，求出 的所有取值；若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得结果；
（2）构建 ，利用导数可证 ，即可得 ，结合累加法分
析证明；
（3）由题意讨论当 时，结合等差数列性质以及构造函数，利用导数得出单调性以及零点存在定理即
可说明，当 时，利用零点存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解.
【小问1详解】
因为 ，则 ，
若 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
令 ，可得 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，当 时，则 ，
可得 ，
累加可得 ，所以 .
【
小问3详解】
若存在 使得 依次成等差数列，
当 时，则 依次成等差数列，可得 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
构建 ，则 ，
由（2）可知： ，即 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
且 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
可知 在 内有且仅有一个零点，
当 时，则 依次成等差数列，可得 ，又因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
根据 零点的唯一性可知： ，
由（2）可知： ，可知 为递减数列，
所以 不成立，即 时，不存在 使得 依次成等差数列；
综上所述：存在 使得 依次成等差数列，此时 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
