文档内容
2024 届高三第一学期期中质量监测
数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A C B A C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
题号 9 10 11 12
答案 BC BD ACD BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． （答案不唯一） 15．5 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17．【解】（1） ，
当 ，即 时， ，
此时， 的取值集合为 ．
（2） ．
设 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 上有且仅有1个极值点，
所以 ，
解得 ．
18．【解】（1）因为 ，
学科网（北京）股份有限公司由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 可知 ，
又因为 ，所以 ．
（2）因为 是边 的中点，所以 ，
故 ，故 ．
由余弦定理得 ，故 ，
因为 ，所以 ．
又因为 ，
平方得 ，
所以 ，
故 的长为 ．
19．【解】（1）法一：因为 ，
所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 是常数列，
所以 ，
所以 ．
法二：因为
所以 ，①
所以 ，②
②-①，得 ，
所以 ，
所以 是等差数列，
由 得 ，
所以等差数列 的公差 ，
所以 ．
（2） ．
当 为偶数时，
．
当 为奇数时， ．
学科网（北京）股份有限公司所以 （或 ）
20．【解】（1）导函数 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）当 时， ．
令 ，解得 ．
列表如下：
1
- 0 +
极小值
所以当 时， 取最小值 ，
所以 ．
（3）由（2）可知， ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
，
所以 ．
学科网（北京）股份有限公司当 时，
．
所以对于任意 成立时，整数 的最小值为3．
21．【解】（1）连接 ，
因为 是底面半圆弧 上的两个三等分点，
所以有 ，又因为 ，
所以 都为正三角形，
所以 ，
四边形 是菱形，
记 与 的交点为 ，
为 和 的中点，
因为 ，
所以三角形 为正三角形，
所以 ，所以 ，
因为 是半球面上一点， 是半球 的直径，所以 ，
因为 ，所以 平面 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）因为点 在底面圆内的射影恰在 上，
由（1）知 为 的中点， 为正三角形，所以 ，
所以 底面 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
即 两两互相垂直，
以 为正交基底建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 所以
取 ，则
设直线 与平面 的所成角为 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
22．【解】（1） 的定义域为 ．
由 得， ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ；当 时， ；当 时， ．
故 的递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）将 变形为 ．
令 ，则上式变为 ，
即有 ，
于是命题转换为证明： ．
不妨设 ，由（1）知 ．
要证 ，
即证 ，
由于 在 上单调递减，故即证 ，
由于 ，故即证 ，
即证 在 上恒成立．
令 ，
则 ，
，
所以 在区间 内单调递增，
所以 ，即 成立．
所以 ．
学科网（北京）股份有限公司
