文档内容
2022~2023 学年第一学期期中调研考试
高三数学试题
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.设m为实数， ， .若 ，则 （ ）
A.1 B.-1 C.0 D.0或-1
2.“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设 ， （ ），若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照
强度随着深度增加而减弱，可用 表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）
是海水深度， （单位：坎德拉）和 （单位：坎德拉）分别表示在深度 D处和海面的光强.已知某海区5
米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据： ， ）（
）
A.0.2 B.0.18 C.0.16 D.0.14
5.已知 ，则 （ ）
A.5 B. C.-5 D.
6.若 ， ， ，则（ ）A. B. C. D.
7.设 ， ， 都是单位向量，且 与 的夹角为60°，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数 在 上存在唯一的极值点，则正数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.在等比数列 中， ， ，则（ ）
A. 的公比为4 B. 的前20项和为170
C. 的前10项积为 D. 的前n项和为
10.已知直线l： （ ），则（ ）
A.直线l过定点 B.直线l与圆 相切时，m的值是-1
C.原点到直线l的最大距离为2 D.直线l与圆 相交
11.定义在 的函数 满足 ，且当 时， ，则（
）
A. 是奇函数 B. 在 上单调递减
C. D.
12.在正四棱柱 中， ， .H， ，E分别为 ， ， 的中点，点M在直线 上， ， .下列说法正确的有（ ）
A.当 时， 与 所成角的余弦值为
B.当 时，点M到平面 的距离为
C.当 时， 平面
D.若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知 ，若 ，则 ____________.
14.若直角三角形两条直角边的和为10，则其斜边的最小值是___________.
15.点 F 为双曲线 （ ， ）的右焦点，直线 与双曲线交于 B，C 两点，且
，则该双曲线的离心率为___________.
16.如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角a，使得对于曲线G上的任意两个不同的点
A，B恒有 成立，则称角 为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线
G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C： （其中e是自然对数的底数），点O为坐标
原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，则 ____________.
四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）
已知数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式
（2）若 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
18.（12分）
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ， .
（1）证明： ；
（2）若 的面积为 ，求b.
19.（12分）
如图，在几何体 中，四边形 是边长为3的正方形，平面 与平面 的交线为
.
（1）证明： ；
（2）若平面 平面 ，H为 的中点， ， ， ，求该几何体的体积.
20.（12分）
某高中有50名学生参加数学竞赛，得分（满分：150分）如下：
女生 1 4 5 5 3 2
男生 0 2 4 12 9 3
（1）若得分不低于120分的学生称为“数学优秀者”.问：是否有95%的把握认为“数学优秀者”与性别有
关；
（2）若在竞赛得分不低于130分的男生中随机抽取3人，求这3人中至少有1人得分在 内的概率.附： ，其中 .
0.05 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
21.（12分）
己知椭圆 经过点 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 的直线1交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，
B，直线 与直线 交于点Q.证明：点Q在定直线上.
22.（12分）
已知函数 .
（1）若 恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若 在区间 上存在极值，求实数a的取值范围.
2022~2023 学年第一学期期中调研考试
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.【答案】B
【解析】 ，则 或 ，∴ 或0
时， ， ， ，满足.
时， ， ， ，不满足，选B.
2.【答案】A
【解析】“ ”，则 ，则一定有 ，充分.
时，不一定有 ，不必要，选A.3.【答案】A
【解析】
，∴ ，∴ ，选A.
4.【答案】B
【解析】 ，∴ ，∴ ，
∴ ，选B.
5.【答案】D
【解析】 ，则
，
， ，
∴ ，选D
6.【答案】C
【解折】 ， ， ，∴a最小.
， ， ， ，∴ ，选C.
7.【答案】D
【解析】设 ， ， ， .，选D
8.【答案】B
【解析】 ， ，则
在 上存在唯一的极值点，则 ，∴ .
或 ，∴ ，选B.
时， ，无解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.【答案】ABC
【解析】 ，∴ ，∴ ， ，A对.
， ，B对.
，C对. 的前n项和 ，D错，
选ABC.
10.【答案】AB
【解析】 过定点 ，A对.
直线l与圆 相切时， ，∴ ，B对.
，∴原点到l的最大距离为 ，C错.圆 ，化简 ，圆心 ， ，
在圆上，直线l与圆可能相切，D错，选AB.
11.【答案】AC
【解析】 时， ，∴ ， ，
， ，∴ 为奇函数，A对.
， 时， ，∴ ，C对.
时， ，而 ，∴ 不可能单调减，B错.
令 ，则 ， ，
，∴ ，
则 ，即 ，则 在 ，
，D错，选AC.
12.【答案】BC
【解析】如图建系， ， ， .对于A. ， ， ，
，A错.
对于 B， ，E 到面 的距离为 B 到面 的距离 ，
， ，∴ .
设M到平面 的距离h，则 ，∴ ，B对.
对于C， ， ， ， ， ，
， ，∴ 面 ，C对.
对于D， ， ， ，面 的法向量 ，
，∴ ，不妨设 ，则 ， ，
，而 的法向量 ，
，∴ ，不妨设 ，则 ， ，
， ， 或2，D错，选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】0
【解析】令 ， 为奇函数， ，，∴ ，则 ， .
14.【答案】
【解析】设两直角边为a，b，则 ，斜边
15.【答案】
【解析】 ，则 ， ，
，∴ ，∴ ，∴ .
16.【答案】1
【解析】过原点作 的切线，切点 ， ，
， 过 ，
∴ ，∴ ， ， .
切点 ， ， ， ，
，∴ ， . ，∴两切线垂直，∴ ， .
四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解析】
（1）∵ ①
时， ②
① ② （ ），而 也满足上式，∴ .
（2）
∴ .
18.【解析】
（1）证明：
∴ ， .
∴ .
（2） .
∴ .
19.【解析】
（1）证明：∵ ，而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，
平面 平面 ，∴ ，∴ .
（2）∵ ， ，H为 中点，∴ .
而 ，∴ ，∵平面 平面 .
平面 平面 ，∴ 平面 .过E分别作 交 于点I， 交 于点J，连接 .
∴ .
20.【解析】
（1）2×2列联表如下：
数学是否优秀
数学优秀者 不优秀 合计
性别
男 24 6 30
女 10 10 20
合计 34 16 50
∴有95%的把握认为“数学优秀者”与性别有关.
（2）得分不低于130分的男生有12人，其中得分在 内的有3人.
∴3人中至少有1人得分在 内的概率 .
21.【解析】
（1）∵椭圆过点M，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴椭圆的标准方程为 .
（2）方法一：设直线l的方程为 ， ， ， ，，
∴直线 方程为： ，直线 方程： .
联立 ， 方程
，∴ .
∴点Q在定直线 上运动.
方法二：和差转化
∴ ，
∴ .
方法三：点代平方差
∵D在椭圆上，∴ ，∴
∴，
∴ .
22.【解析】
（1）∵ 恒成立，
而 时， ，∴ ， ，∴ .
时， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，
即实数a的取值范围为 .
（2） 在 上有变号零点，
即 在 上有变号零点.
令 ， ，
.
①当 时， ， 在 上 ， ， 在 上无零点，舍去.
②当 时， ， 在 上 ， ， 在 上无零点，也舍.
③当 时，令 ，
且 在 上 ； 上 ，此时 ，∴ 在 上有唯一的变号零点，符合.
综上：实数a的取值范围为 .
