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高 2022 级高三上学期 12 月阶段性测试数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的．
1．若集合 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是 ，其中最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列 中，若 ，则 的公比为（ ）
A． B． C．2 D．4
4．若圆 与圆 相交于A，B，则 所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量 ，若其对应的正态密度函数 满足 ，且 ，
则 （ ）
A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1
6．若空间四点A，B，C，D共面而不共线，则这四点中（ ）
A．必有三点共线 B．至少有三点共线 C．必有三点不共线 D．不可能有三点共线
7．若数列 满足 ，其前n项和为 ，则（ ）
A． 既无最大值，又无最小值 B．当且仅当 时， 取得最小值
C．当且仅当 时， 取得最小值 D．
学科网（北京）股份有限公司8．如图，画在纸面上的抛物线 过焦点F的弦 长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60度的二面
角后，空间中线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若 ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
10．已知复数 在复平面内对应的向量分别为 ，其中O为原点，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．时钟是伴随我们日常生活的必要物品．下面关于它的说法，正确的有（ ）
A．一天24小时内时针和分针重合22次（第一天零点算第一次重合，第二天零点不再重复算）
B．零点时针和分针算第一次重合，则第六次重合时大约在早上5点27分到5点28分之间
C．设分针长度为10厘米，分别以分针指向表盘读数12和3的方向为y轴正半轴和x轴正半轴方向建立平面
直角坐标系，以某天零点开始记 （单位：分钟），若时钟正常工作，则在这之后，分针终点横坐标
（单位：厘米）
D．设下午5点20分时，时针和分针所成的锐角为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若 ，则 ___________．
学科网（北京）股份有限公司13．若 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为___________．
14．与函数 的解析式和值域相同，定义域不同的函数有___________个．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知 ．
（1）求角C的值；
（2）若 ，求 的面积．
16．（本题15分）已知函数 ．
（1）当 时，求 的图象在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围．
17．（本题15分）已知三棱锥 中， 与底面 所成角相等， ，
为 中点，E点在 上且 截面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 到平面 的距离．
18．（本题17分）已知无穷数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节
目某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列 中随机抽取10项，如果在这10项
中，至少有k项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息科代表协助编程完成，
即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计算机来判断，游戏时同学只需要
学科网（北京）股份有限公司按一次键即可知道抽取和判断结果），
（i）设随机变量 表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求 ；
（ii）本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定 是否合理，若合理，请说明理由；若
不合理，请给出一个合理的k取值方案．
19．（本题17分）我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转公式：
如图，平面直角坐标系中，已知点 ，设 ，角 始边在x轴非负半轴，终边与 重合，则
可得 ，将 绕坐标原点O逆时针旋转 后，P点旋转到 ．
（1）求证： ；
（2）已知曲线C是函数 的图象，它是某双曲线 绕原点O逆时针旋转
后得到的，求C的离心率；
（3）已知曲线 是由某椭圆 绕原点O逆时针旋转 后所的斜椭圆，
过点 作与两坐标轴都不平行的直线 交曲线E于点M、N，过原点O作直线 与直线 垂直，
直线 交曲线E于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司数学参考答案
一、单项选择题
1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B
二、多项选择题
9．BD 10．ABC 11．ABD
三、填空题
12． 13． （或 ） 14．62
四、解答题
15．解：（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ，又 ，所以 ．（6分）
（2）在 中，由余弦定理得 ，而 ，
因此 ，又 ，解得 ，
所以 的面积 ．（13分）
16．解：（1）当 时， ，
所以 的图象在 处的切线方程为： ．（7分）
（2） ，若函数 在 上单调递增，
则 对于 恒成立，即 对于 恒成立，
令 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，所以
，故 ．（15分）
学科网（北京）股份有限公司17．解：（1） 与底面 成相等的角，设P在面 上射影为O，则有
，
且 是 的外心．
是直角三角形，且O是斜边 的中点， 点和D点重合，
即 面 ．（7分）
（2）法一：由（1） 平面 ．
又 平面 （亦可由三垂线定理说明）①．
且 ．又 ，
也是等腰直角三角形， ， ，
截面 ，过 的平面 与平面 交于 ，
，
②，由①②得： 平面 点到平面 的距离即 ，
，且由 知E是 中点，
．P点到平面 的距离为1．
平面 到平面 的距离即为P点到面 的距离，即为1．
法二： 截面 ，过 的平面 与平面 交于 ，
学科网（北京）股份有限公司是 中点， 是 中点， ．
由（1） 平面 ，又 平面 ，
，且 ，
，
设C点到面 的距离为h， ． ，
平面 到平面 的距离即为C点到面 的距离，即为1．
方法三：建系，正确即可，此处略．（15分）
18．解：（1）由已知： ，
又 ．（6分）
（2）（i）由二项式定理，
，
要能被2025整除，需 ，则 为正奇数．（10分）
且 是无穷数列，奇数项和偶数项一样多，所以随机抽取一项能被2025整除的概率是 ，
且每次抽取相互独立， ．（13分）
（ii）设中奖概率为P，
则
，所以规定合理．（17分）
（注：第（2）（i）问需完全归纳推理，如二项式定理，数学归纳法或其它方法均可．如果是通过强力计算
前几项发现奇数项能被2025整除的规律的，属于不完全归纳，得2分）
学科网（北京）股份有限公司19．解：（1）证明：经过逆时针旋转 到 后，角 终边与 重合，
所以 ，
，得证．（4分）
（2）法一：直接求离心率（抓住离心率与渐近线夹角即双曲线开口宽阔程度相关的本质）
易知曲线C的渐近线是 与y轴，它们夹角为 ，顺时针旋转回去后两渐近线夹角仍为 ，设曲线
C的离心率为e，则 ．（10分）
法二：先求双曲线标准方程，再求离心率（轨迹思想，旋转不改变形状）
设曲线C上一点为 ，逆时针旋转 后的点 在 的图象上，
由（1）知： ，若将以上坐标代入 得：
，即 ，
化简即得曲线C的方程： ，
由于旋转不改变形状，所以曲线C的离心率为 ．（10分）
（3）法一：先求标准椭圆方程
选择一：用第（2）问法二的方法求（略）：
选择二：由 与 交点为 和 ，则 ，
由 与 交点为 和 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．从而可得椭圆方程为 ，点Q旋转后的坐标为 ，（12分）
当直线 旋转后斜率不存时， ，
当直线 旋转后斜率存在时，设直线 旋转后为 ，旋转后 ，
与椭圆方程 联立，即 ，可得 ，
，
，（14分）
设直线 旋转后为 ，代入椭圆方程 中，
有 ，（16分）
．（17分）
学科网（北京）股份有限公司法二：不求标准椭圆方程，直接从斜椭圆入手．
设直线 ，与斜椭圆 联立：
有 ，（12分）
，
（14分）
设直线 ，代入斜椭圆 ，有 ，（16分）
，故 ．（17分）
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