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作业 04 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量
减法 －b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；当 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
求实数λ与向量a的
数乘 λ<0 时，λa 与 a 的方向 ＝λa＋μa；
积的运算
相反；当λ＝0时，λa＝ λ(a＋b)＝λa＋λb
0
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
， ， 终点坐标 始点坐标
（2）向量的加减法
， ，
（3）向量的数乘运算
学科网（北京）股份有限公司，则：
（4）向量的模
，则 的模
（5）相反向量
已知 ，则 ；已知
（6）单位向量
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量 ， 同向，且 ，则 D．单位向量的模都相等
2．如图，在平行四边形 中， （ ）
A． B． C． D．
3．在四边形 中， 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
A． B．四边形 是梯形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是矩形
4．设 ， ， ， 为平面四个不同点，它们满足 ，则（ ）
A． ， ， 三点共线
B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线
D． ， ， 三点共线
学科网（北京）股份有限公司5．设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
6．已知点 ， ， ，则以 ， ， 为顶点的平行四边形的第四个顶点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
7．向量 ， ， ，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．11 D．－11
8．已知点 ， ，向量 ， ∥ ，则（ ）
A． 时 与 方向相同
B． 时， 与 方向相同
C． 时 与 方向相反
D． 时， 与 方向相反
三、填空题
9．已知向量 ，若 ，则 .
10．已知 ， 是不共线的向量，且 ， ， ，若 、 、 三点共线，
则 .
四、解答题
11．如图所示，O是正六边形 的中心.
(1)与 的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与 共线的向量有几个？
12．已知 ， ， ，设 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求满足 的实数 ， 的值；
(2)若线段 靠近点 的三等分点为 ，求 点的坐标.
1．已知向量 不共线， ， ， ，则
（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2．已知 为非零向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 与 方向相同
B．若 ，则 与 方向相反
C．若 ，则 与 有相等的模
D．若 ，则 与 方向相同
3．已知向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值为 .
4．已知点 ，向量 ， ，点 是线段 的三等分点，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则点P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
1．如图所示， 为线段 外一点，若 中任意相邻两点间的距离相等，
，则 （ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
2．若 为 的垂心， ，则 ＝ ， ．
3．设向量 ,其中 .若 ,则 的最小值为 .
1．（上海·高考真题）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（安徽·高考真题）已知向量 ,且 ,则 的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2
3．（广东·高考真题）已知平面向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
4．（全国·高考真题）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 ．
5．（山东·高考真题）已知向量 与 且 则一定共线的三点是
（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
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