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大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（三）
数 学
命题人：黄启光 审题人：李群丽
得分：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页．时量120分钟，满分150
分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数 （ 为虚数单位）， 是z的共轭复数，则 的值为
A．1 B． C． D．
2．设全集 ， ， ，则
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则
A．5 B．3 C．2 D．1
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于 2的偶数
都可以表示为两个素数（一个整数除了 1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如 ，
，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是
A． B． C． D．
5．若函数 在区间 上有极值点，则实数a的取值范围是A． B． C． D．
6．已知 ， ， ．则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
7．已知 ， ，则
A． B． C．6 D．4
8 ． 已 知 函 数 的 零 点 分 别 为 ， ， … ， ， ） ， 则
A． B． C．0 D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知随机变量X服从正态分布 ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量 服从正态分布
，则 ， ，
）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是
A．若不等式 的解集为 ，则
B．若命题p： ， ，则p的否定为： ，
C．在△ABC中，“ ”是“ ”的充要条件D．若 对 恒成立，则实数x的取值范围为
11．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，若将函数
的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再将所得图象向右平移 个单位长度，可得
函数 的图象，则下列说法正确的是
A．函数 的解析式为 B．函数 的解析式为
C．函数 图象的一条对称轴是 D．函数 在区间 上单调递增
12．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC， ，AB⊥AC， ，点D为AB的中
点，点 Q 在三棱锥 P-ABC 表面上运动，且 ，已知在弧度制下锐角 ， 满足： ，
，则下列结论正确的是
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为 B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为 D．点Q的轨迹长为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为 ．14．已知F是双曲线 的左焦点， ，P是双曲线右支上的一动点，则 的最小值
为 ．
15．若 的展开式中第4项是常数项，则 除以9的余数为 ．
16．已知函数 的定义域为 ，且 ，函数 在
区间 内的所有零点为 （ ，2，3，…，n）．若 ，则实数 a 的取值范围是
．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
半径为R的圆内接△ABC， ，∠ACB为锐角．
（1）求∠ACB的大小；
（2若∠ACB的平分线交AB于点D， ， ，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前n项和为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
19．（本小题满分12分）
如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点， ，M为DF
的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，图① 图②
（1）证明：EF⊥MC；
（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）讨论函数 零点的个数；
（2）是否存在正实数k，使得 恒成立．
21．（本小题满分12分）
某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为 ，上两
级的概率为 ，设他上到第n级的概率为 ．
（1）求他上到第10级的概率 （结果用指数形式表示）；
（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ，点P是坐标平面内
一点，且 （O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2过点 且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．
大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（三）
数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D C C B A A AC AD ABD ABD
2．D
【解析】易知 ， ，∴ ，故 ．
故选D．
3．D
【解析】由条件 知 ， 同向共线，所以 ，故选D．
4．C
【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l的
概率为 ，故选C．
5．C
【解析】由题意 在区间 上有零点，∴ ， ，
∴ ，又当 时， ， 单调，不符合，∴ ，∴ ，故
选C．
6．B
【解析】∵ ，∴ ，又
，∴ ，∴ ．故选B．
7．A
【解析】由条件知 ， ，两边同除以得： ，∴ ，从而 ，故选A．
8．A
【解析】由 ， 为其中一个零点，
令 ，∵ ，∴令 ，
∵
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，所以 ）共有三个零点 ，0，
，∴ ，故选A．
9．AC
【解析】∵随机变量X服从正态分布 ，
正态曲线关于直线 对称，且 ， ，从而A正确，B错误，
根据题意可得， ， ，
∴ ，故C正确；
与 不关于直线 对称，故D错误．故选AC．
10．AD
【解析】对于A，不等式 解集为 ，则方程 的两根为 ，
2，故 ，则 ， ，所以 ，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量词 任 意 改 成 存 在 ， 结 论 进 行 否 定 应 是 小 于 等 于 ， 故 B 不 正 确 ； 对 于 C ，
，又 ，
所以 或 ，显然不是充要条件，故 C 错误；对于 D，令 ，则
，对 恒成立，则
，解得 ，故D正确，故选AD．
11．ABD
【解析】由图知， ， ，∴ ，得 ．故 ．
∵点 在函数图象上，∴ ，即 ．又∵ ，∴ ，∴ ．
故函数 的解析式为 ，故A正确；
将 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，可得 的图象，再将所得
图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，故B正确；
当 时， ，不是最值，故直线 不是 图象的一条对称轴，故C不正
确；
当 时， ，则 在 还上单调递增，故D
正确，故选ABD．
12．ABD
【 解 析 】 三 棱 锥 P-ABC 的 外 接 球 即 为 以 AB ， AC ， AP 为 邻 边 的 长 方 体 的 外 接 球 ， ∴
，∴ ，取BC的中点 ，∴ 为△ABC的外接圆圆心，∴ 平面ABC，如图．
当 OD⊥截面时，截面的面积最小，∵ ，此时截面圆的半径为
，∴最小截面面积为 ，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为
，B对；由条件可得 ， ，则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4
为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为 ，两段弧圆心角为 ，弧长为 ，D对．故
选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14
【解析】因为 为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．
14．9
【解析】因为F是双曲线 的左焦点，所以 ，设其右焦点为 ，则由双曲线定义
得 ．
15．1
【解析】由题知， ，
因第4项为常数项，所以当 时， ，所以 ，
则 ，而 ，1除9的余数为1，所以 被9除余1．16．
【解析】函数 的零点转化为 与 的交点的横坐标，作出函数 和
（ ）的图象可知， ， ， ， ，…，若 ，则 ，所以实
数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
17．【解析】
（1）由正弦定理 ，又角C为锐角，所以 ．
（2）∵CD为∠ACB的平分线， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，则有 ，
∴ ，
∴ ．
18．【解析】
（1）设数列 的公差为d，令 ，得 ，所以 ．①
令 ，得 ，所以 ．②
解①②得 ， ，所以 ．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
两式相减，得
．
所以 ．
19．【解析】
（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EF⊥CD．
∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF．
∵ ，DF， 平面DCF，
∴EF⊥平面DCF．
又 平面DCF，
∴EF⊥MC．
（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面 平面 ，且平面DF⊥EF， 平面AEFD，
∴DF⊥平面BEFC，又 平面BEFC，
∴DF⊥CF，
∴DF，CF，EF两两垂直．
以F为坐标原点，分别以FD，FC，EF所在直线为．x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz．
由题意知 ．
∴ ， ， ， ．
∴ ， ， ．
设平面MAB，平面ABD的法向量分别为 ， ，
由 得 ，
取 ，则 为平面MAB的一个法向量．
由 得 ，
取 ，则 为平面ABD的一个法向量．
∴ ，
平面MAB与平面DAB夹角的余弦值 ．
20．【解析】
（1）设 ，则 ，
可知 在 上单调递减，又 ， ，
所以方程 有且仅有一个根，即函数 有且只有1个零点．（2）令 得 （ ），即 （ ）．
设 ， ，则 ，
设 ， ，则 ，
因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
则 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，又 ， ，
所以不可能存在正实数k，使得 恒成立．
21．【解析】
（1）由条件知 ， ，
且 （ ）．
所以 ，
所以 ，又 ，∴ ，∴ ．
∴ ．
（2）由（1）知此人上到第5级的概率为 ，
X的可能取值为3，4，5
， ，
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
所以 ．
22．【解析】
（1）设 ， ， ，则由 ；得 ，
由 得 ，即 ．所以 ．
又因为 ，所以 ， ．因此所求椭圆C的方程为 ．
（2）设动直线l的方程为： ，由 得 ．
设 ， ．
则 ， ．假设在y上存在定点 ，满足题设，
则 ， ．
