文档内容
南京市 2024-2025 学年度第二学期五校联盟期中学情调研
高二数学
本卷：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.本试卷共4页.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则k＝（ ）
A. 4 B.
C. 5 D.
【答案】D
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选：D
2. 已知 ，则 为（ ）
A. B. 1 C. 32 D. 243
【答案】B
【详解】因为 ，
令 可得 .
故选：B
3. 已知函数 ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：D.
4. 某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A. 72 B. 36 C. 24 D. 12
【答案】A
【详解】先排三个唱歌节目这有： 种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有： 种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有： 情况.
故选：A.
5. 被5除的余数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】由题可知， ，
则其展开式的通项公式为 ，
由通项公式可得，只有 时， 不能被5整除，
其余项均能被5整除.故 被5除的余数为1，则 被5除的余数为3.
故选：C.6. 已知 ，直线 过原点且平行于 ，则 到 的距离为（ ）.
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【详解】由题意取 ，则 ，
所以 到 的距离为
.
故选：C
7. 若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】函数 的定义域为 ，
又 ，
因为函数 有两个不同的极值点，
所以 有两个不同正根，
即 有两个不同正根（不妨设为 ），所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：B.
8. 如图，在直三棱柱 中， ， 是线段 的中点，在
内有一动点 （包括边界），则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意可以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
所以 ，设A关于平面 的对称点为 ，则 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ， ，
令 ，则 ，所以 ，
所以A与 到平面 的距离 即 ①，
又 ，所以 ②，所以由①②得 ，
所以由 可得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点，则下列结论正确的
为（ ）A. B.
C. D. 不是平面 的一个法向量
【答案】BD
【详解】由 为正方体，
以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 ､
.
对于 选项， ，则 ，故 错误；
对于 选项， ，则 ，故 正确；
对于 选项， ，故 ，故 错误；
对于 选项， ，故 不是平面 的一个法向量，故 正确.
故选： .
10. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安
排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A. 不同安排方案的种数为
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
的
D. 若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案 种数为
【答案】BD
【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为 ，故A错误；
对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，
则不同安排方案的种数为 ，故B正确；
对C，先将5人分为3组，有 种分组方法，
将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有 种情况，
则不同安排方案的种数是 ，故C错误；
对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，
安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为 ；
第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，
则不同安排方案的种数为 .所以不同安排方案的种数是 ，故D正确.
故选：BD
11. 已知直线 与曲线 相交于不同两点 ， ，曲线 在点 处的切线
与在点 处的切线相交于点 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD【详解】令 ，则 ，
故 时， 递增； 时， 递减，
所以 的极大值 ，且 ， ，
因为直线 与曲线 相交于 ､ 两点，
所以 与 图像有2个交点，
所以 ，故A正确；
设 ，且 ，可得 ，
在 点处的切线程为
，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
因为 为两切线的交点，
所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，故C
正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
同理得 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 方程 的解为_________.
【答案】6
【详解】根据题意， 或 ，且 ，
解得 .
故答案为：6.
13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角
三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 为鳖臑， 平面 ， ，且
，则直线 与平面 所成角的大小为_________.【答案】 ##
【详解】取 的中点 ，连接 、 ，因为 ， ，
所以 ，且 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 直线 与平面 所成角，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的大小为 .
故答案为：14. 已知 ，则 _________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 是含 项的系数，
若从 10 个 式子中取出 0 个 ，则需要从中取出 3 个 ，7 个 1，则得到的项为
；
若从 10 个 式子中取出 1 个 ，则需要从中取出 1 个 ，8 个 1，则得到的项为
；
若从10个 式子中取出大于或等于2个 ，则无法得到含 的项；
综上：含 的项为 ，则含 项的系数为 ，即 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求：
（1）甲抽到选择题的概率；
（2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率.【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
甲抽到选择题的概率为
【小问2详解】
在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率为 .
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，D为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面BCD的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
方法一：由直三棱柱的性质可知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
由题可知四边形 为矩形， ，所以四边形 为正方形，所以 ，
因为 ， ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
方法二：以A为原点，AB，AC， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
，
则 ， ， ，
所以 ，
，
所以 ， ，
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
的
方法一：设点 到平面BCD 距离为d，
易得 ， ， ，
则 ，则 ，
所以 ，
则 ， ，
由 得， ，解得 ，
所以点A到平面BCD的距离为 .
方法二：由（1）得 ， ， ，
设平面BCD的一个法向量为 ，则 ，所以 ，
取 ，则 ， ，所以 ，
设点A到平面BCD的距离为 ，则 ，
所以点A到平面BCD的距离为 .17. 已知在 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是 ．
（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；
（2）求展开式中的所有有理项．
【答案】（1） ，第5项；
（2） .
【小问1详解】
在 的展开式中，
第2项与第3项的二项式系数之比是 ，所以 .
所以展开式中的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以常数项是第5项，为 .
【小问2详解】
由（1）可知，通项公式为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
故展开式中的所有有理项为： .
18. 如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面 ⊥平
面ABCD， ，点P是棱 的中点，点Q在棱BC上．
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若二面角 的正弦值为 ，求BQ的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1．
【小问1详解】
证明：取 的中点M，连接MP，MB．
在四棱台 中，四边形 是梯形， ， ，
又点M，P分别是棱 ， 的中点，所以 ，且 ．
在正方形ABCD中， ， ，又 ，所以 ．
从而 且 ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以 ．又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问2详解】
在平面 中，作 于O．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则 ．
以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ．
因为四边形 是等腰梯形， ， ，所以 ，又 ，所以
．
易得 ， ， ， ， ，所以 ，
， ．法1：设 ，所以 ．
设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为θ，由题意得 ．
又 ，所以 ，
解得 （舍负），因此 ， ．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
法2：设 ，所以 ．
设平面PDQ的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，
另取平面DCQ的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为θ，由题意得 ．又 ，所以 ，
解得 或6（舍），因此 ．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
法3：在平面 中，作 ，垂足为H．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
在平面ABCD中，作 ，垂足为G，连接PG．
因为 ， ， ，PH， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
因为 ， ，所以 是二面角 的平面角．
在四棱台 中，四边形 是梯形，
， ， ，点P是棱 的中点，所以 ， ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，从而 ．
因为二面角 的平面角与二面角 的平面角互补，
且二面角 的正弦值为 ，所以 ，从而 ．
所以在 中， ，解得 或 （舍）．
所以当二面角 的正弦值为 时，BQ的长为1．
19. 已知函数 ， .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3） .
【小问1详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
又 在 处的切线与直线 垂直，所以 ，
即 ，所以 .
【小问2详解】
， .
①当 时， ，所以 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，又 ，所以 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问3详解】
由 ，得 在 上恒成立.
令 ， ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，则 在 上恒成立.
令 ， ，
则
.
因为 ，所以 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
