文档内容
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2024～2025 学年度第一学期阶段联测
高二数学试题
（考试时间120分钟总分150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知直线 与 垂直，则 （）
A0 B. 1 C. 2 D.
2. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为（）
A. B. 2 C. D.
3. 已知数列1， ， ， ，3，…，按此规律， 是该数列的（）
A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项
4. 以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程是（）
A. B.
C. D.
5. 已知点 ，抛物线 上有一点 ，则 的最小值是（）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 4
6. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理
征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心
是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线 ，则
就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的
是（）
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A. Q B. R C. S D. T
7. 将正整数 分解为两个正整数 、 的积，即 ，当 、 两数差的绝对值最小时，我们称其
为最优分解.如 ，其中 即为20的最优分解，当 、 是 的最优分解时，
定义 ，则数列 的前2024项的和为（）
A. B. C. D.
的
8. 已知 是圆 一条弦， ， 是 的中点.当弦 在圆 上运动时，
直线 上总存在两点 ， ，使得 为钝角，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.
9. 已知曲线 ，下列说法正确的是（）
A. 若 ，则曲线C为椭圆
B. 若 ，则曲线C为双曲线
C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于 大于1
10. 已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（）
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A. B. 中存在连续三项成等差数列
C. 中存在连续三项成等比数列 D. 数列 的前 项和
11. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， ， 是椭
圆 上异于 ， 的一点，且 （ 为坐标原点），记 ， 的斜率分别为 ， ，
设 为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则（）
A. B. 的离心率为 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为 的是______（填序号）（写出一
个正确答案即可）.
①焦点在 轴上；②焦点在 轴上；③抛物线上横坐标为 的点到焦点的距离为 ；④焦点到准线的距离为
；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 .
13. 已知数列 满足， ，且 .若 是数列 的前 项积，求 的最大值为______.
14. 如图所示，已知双曲线 的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于 两
点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G， ，且三点 共线（其中O为坐标原
点），则双曲线C的离心率为_________．
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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线 的离心率 ，实轴长 .
（1）求 的方程；
的
（2）过 右焦点且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，求 ；
16. 在等比数列 中， ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
17. 如图，圆 内有一点 ， 为过点 且倾斜角为 的弦.
（1）当 时，求 的长；
（2）是否存在弦 被点 平分？若存在，写出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
（3） 是过点 的另一条弦，当 与 始终保持垂直时，求 的最大值.
18. 已知椭圆 的一个焦点 ，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
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（1）求椭圆 的标准方程;
（2）过焦点 作 轴的垂线交椭圆上半部分于点 ，过点 作椭圆 的弦 在椭圆上
且直线 的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明
理由.
（3）在第（2）问的条件下，当 面积最大时，求直线MN的方程.
19. 若数列 满足 （ 为正整数， 为常数），则称数列 为等方差数列， 为公方差.
（1）已知数列 ， 的通项公式分别为： ， ，判断上述两个数列是否为等方
差数列，并说明理由；
（2）若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列 为常数列.
（3）若数列 是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在 与 之间依次插入数
列 中的 项构成新数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，……，求数列
中前30项的和 .
2024～2025 学年度第一学期阶段联测
高二数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
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1.
【答案】C
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】①③（答案不唯一）
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
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【解析】
【分析】（1）根据已知得 、 ，即可得双曲线方程；
（2）由题设可得 ，联立双曲线方程，应用韦达定理及弦长公式求 .
【小问1详解】
由题设 ，又 ，
所以 ，则 .
【小问2详解】
由右焦点为 ，则 ，
联立双曲线方程，得 ，整理得 ，
显然 ，则 ， ，
所以 .
16.
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的概念，建立方程组，求得公比与首项，可得答案；
（2）根据对数的运算律，可得数列的通项公式，结合等差数列的概念，可得答案；
【小问1详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
化简可得 ，整理可得 ，
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由 ，则 ，由方程解得 ，
由 ，则 .
由数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 .
【小问2详解】
由 ，则 ， ，
由数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
则 .
17.
【解析】
【分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长；
（2）假设存在，当弦 被点 平分时，点 是 的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方
程即可；
（ 3 ） 记 点 到 的 距 离 分 别 为 ， 有 ， 根 据 弦 长 公 式 有
，应用基本不等式求目标式的最大值.
【小问1详解】
当 时 ，直线 为 ，故 ，
由圆 的圆心为原点且半径为 ，则圆心到 距离为 ，
所以 .
【小问2详解】
假设存在，当弦 被点 平分时，点 是 的中点，
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连接 ，则 ，故 ，又 ，即 ，
所以直线 为 ，则 .
【小问3详解】
记点 到 的距离分别为 ，有 ，
又 ，
，
当且仅当 时等号成立，
综上， 的最大值为 .
18.
【解析】
【分析】（1）根据题意，易得 的值，进而分析可得 ，由公式求出 ，代入椭圆方程即得；
（2）根据题意，设直线PM方程，将其与椭圆方程联立，由根与系数的关系得 的坐标，利用PM与PN
的关系，得 的坐标，然后利用斜率的计算公式化简计算即得.
（3）由原点 到直线的距离及弦长公式可求出面积，利用二次函数求出最值即得直线的方程.
【小问1详解】
由题意可知椭圆的半焦距 ，
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由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得 ，
，
故椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
由已知得 ，
由图知，直线 的倾斜角互补，即直线 的斜率与 的斜率互为相反数，
可设直线 的方程为 ，
代入 ，消去 得 .
设 ，
所以 ，可得 ，
因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数，
所以在上式中以 代替 ，可得 ，
所以直线 的斜率
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，
即直线 的斜率为定值 .
【小问3详解】
由（1）已得， ,可设直线 的方程为： ，
代入 ，整理得： ，
则 ，即 ，
设 ，则 ，
于是， ，
点 到直线 的距离为 ，
则 的面积为：
，
因 ，则 ，故当 时， 取得最大值 ，
此时直线 的方程为 ,
即 和 .
19.
【解析】
【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断；
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（2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解；
（3）首先说明 是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解．
【小问1详解】
因为 常数 ，
所以数列 为等方差数列，1为公方差；
为
因 ，
所以数列 不是等方差数列；
【小问2详解】
因为 是等差数列，设其公差为d，
则 ，
又 是等方差数列，所以 ，
故 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，故 是常数列；
【小问3详解】
由题意知数列 是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故 ，而 ，所以 ，
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列 中 项 含 前共有 项，
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令 ，结合 ，解得 ，
故数列 中前30项含有 的前7项和数列 的前23项，
所以数列 中前30项的和 .
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