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高二数学 12 月考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. 4 B. 6 C. D.
2. 二项式 展开式的常数项为（ ）
A. B. 60 C. 120 D. 240
3. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的
平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为
（ ）
A. 900 B. 600 C. 450 D. 150
4. 万众瞩目的北京冬奥会将于 年 月 日正式开幕，继 年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再
次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是
两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，小椭圆的短轴长为 ，
则小椭圆的长轴长为（ ） ．
A. B. C. D.
5. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．
平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮
件投诉维权的概率分别为 和 ，且对应维权成功的概率分别为 、 ，选择其他方式维权且成功的概率为 ，
则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）A. B. C. D.
的
6. 已知三棱锥 顶点都在球 的球面上，底面 为等边三角形，且其所在圆 的面积为 .若三棱
锥 的体积的最大值为 ，则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 ，左右焦点分别为 ，过 作平行于 的渐近线的直线交 于点 ，
若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点P在直线l： 上，过点P的两条直线与圆O： 分别相切于A，B两点，则圆心O到
直线AB的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合
题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 的图象的对称轴方程为
D. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
10. 已知实数 满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11. 已知点 ，点P是双曲线C： 左支上的动点， 为其右焦点，N是圆D： 的动
点，直线 交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ）
A. B. 过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条
C. 的最小值为 D. 若 的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12. 已知直线 平面 ，且直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 _____.
13. 已知直线 与圆 相交于 两点，则 ___________.
14. 设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，以 为圆心的圆恰好与双曲线 的两渐近
线相切，且该圆过线段 的中点，则双曲线 的离心率是_____．
四、解答题（共5题，共77分）
15. 已知直线方程为 .
（1）证明：直线恒过定点，并求定点坐标；
（2） 为何值时，点 到直线的距离最大，并求最大值.
16. 已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线 被圆C截得的弦长为 .
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l过点 ，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程.
.
17 已知数列 满足 .
（1）证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知数列 的前n项和 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.
19. 对于各项均为正数 无的穷数列 ，若 ，都有 ，其中 为非零常数，则称数列 是
数列.
（1）判断无穷数列 和 是不是 数列？若是，求出相应的常数 的值；若不是，请说明理由；
（2）若 是数列，且 ，
①记 的前 项和为 ，求证： ；
②对任意的正整数 ，设 ，求数列 的前 项和.
CBCBB BDC 9AC 10AB 11ACD 12
## 13 14 ##
15【1】
由直线方程 得
，
因为 ，所以 ，解得 ，所以直线恒过定点 ；
【2】
由（1）知，直线恒过定点 ，
则直线 与已知直线垂直时，点 到已知直线距离最大，
可知 就是所求最大值，
直线 的方程为 ，即 ，
因为直线 与已知直线 垂直，
所以 ，解得 ；
且 ；
16 解：（1）设圆C的方程为 ，由题意可得 ，解得 .
故：圆C的方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 .
此时点A，B不关于点 对称，所以 1不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.
设 ， ，因为A，B关于点P对称，所以 ， .
因为点A，B在圆C上，所以 ，
所以 ，整理得 ，即 .
因为点A，B在直线l上，所以直线l的斜率为 ，
则直线l的方程为 ，即 .17【1】
由 ，
所以 是首项、公比均为3的等比数列，故
所以 .
【
2】
由（1）有 ，则 ，
所以 ，
两式相减，得
所以 .
18【1】
当 时，
所以 ，
.
当 时， ，上式亦成立.
所以 .
【2】
对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，记 ，故 ，
所以当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，即随着n的增大， 递减，
所以 的最大值为 ，
所以 ，即 .
19【小问1详解】
对于无穷数列 ，
有 ，
所以 是 数列，相应的常数 ；
对于无穷数列 ，
有 ，
，
即 ，
所以 不是 数列.
【小问2详解】
①因为 是 数列，且 ，
所以 ，又 ，
所以 是首项和公差都为 的等差数列，
故 ，则 ，故 ， ，
从而
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ；
②当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
所以 ，
而 ，
则 ，
两式相减，得 ，
，
所以 ，
因此 .所以数列 的前2n项和为 .
