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乐平三中 2024-2025 学年度上学期期中考试
高二数学试卷
满分：150分 考试时间：120（分钟） 命题人：洪乃明 审题人：叶休
第一部分 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知直线 过点 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
的
2. 直线 方向向量是（ ）
A. B. C. D.
3. “ ”是“两条直线 ， 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
.
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 定义：通过 小时内降水在平地上的积水厚度（ ）来判断降雨程度；其中小雨（ ），
中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ）；小明用一个圆锥形容器（如
图）接了 小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
5. 直线 关于x=1对称直线 ，直线 的方程是（ ）A. B.
C. D.
6. 若P是 所在平面外一点，且 ， ，则点P在 所在平面内的射影O是
的（ ）
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
7. 四边形ABCD是矩形， ，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕 旋转至与
四边形 重合，则直线 所成角 在旋转过程中（ ）
.
A 逐步变大 B. 逐步变小
C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
8. 半球内放三个半径为 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球
的半径是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 、 与空间任意向量都不能构成一组基，则
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有
C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D. 若 是空间的一组基，则 也是空间的一组基
10. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ）
.
A 直角三角形 B. 直角梯形 C. 正五边形 D. 正六边形
11. 如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）A. 直线 平面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 异面直线 与 所成角的取值范围是
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设直线 ， 的方向向量分别为 ， ，若 ，则 __________.
13. 有一根高为 ，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落
在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.
14. 如图，已知正三棱锥 的侧棱长为 ，过其底面中心 作动平面 ，交线段 于点 ，交
， 的延长线于 ， 两点.则 ______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ．
（1）若直线 不经过第一象限，求k的取值范围；
（2）若直线 交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B， 的面积为S（O为坐标原点），求S的最小
值和此时直线 的方程．
.
16 如图， 平面 ， ， ， ， ，
．
（1）求证： 平面ADE；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
17. 如图， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ， ，
， .
（1）若M为 中点，求证： 平面 ；（2）求直线 与直线 所成角的大小；
（3）设平面 平面 ，试判断l与平面 能否垂直？并证明你的结论.
18. 如 图 ， 平 行 六 面 体 的 所 有 棱 长 均 为 ， 底 面 为 正 方 形 ，
，点 为 的中点，点 为 的中点，动点 在平面 内．
（1）若 为 中点，求证： ；
（2）若 平面 ，求线段 长度的最小值．
19. 在空间直角坐标系中，若平面 过点 ，且平面 的一个法向量为⃗n=(a,b,c)，则平面
的方程为 ，该方程称为平面 的点法式方程，整理后为
（其中 ），该方程称为平面 的一般式方程.如图，在四棱柱
中，底面 是平行四边形， ， ， 两两垂直， ， ，
直线 与平面 所成的角为 ，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别是 ， ， 轴的
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面 的一般式方程.
（2）求 到直线 的距离.
（3）在棱 是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请
说明理由.
