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莆田第二十五中学 2023-2024 学年上学期高三数学期中考试卷
考试时间：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合 或 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. “若 ， 恒成立”是真命题，则实数 可能取值是（ ）
.
A B. C. 4 D. 5
3. 华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函
数时往往要作图，那么函数 的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数 ，
与函数 ， 即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函
数”的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 设函数 在区间 上单调递减，则 取值范围是（ ）
的
A. B. C. D.
6. 如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线 与平面 所成的
角为45°，则点 的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若关于 方程 无实根，则实数 的取值范围为
的
A. B.
C. D.
8. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意实数 满足 ，且 在
上单调递增，设 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，全部选对的
得5分.）
9. 已知 的展开式中含有常数项，则 的可能取值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
为
10. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A “恰有两人所去景点相同”，事
件 为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A. 这四人不同的旅游方案共有64种 B. “每个景点都有人去”的方案共有72种
C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是
11. 如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ， 的动点，则下
列结论正确的是（ ）
A. 与底面所成角为45°
B. 圆锥 的表面积为
C. 的取值范围是
D. 若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为45°
12. 定义在R上的函数 满足 为奇函数，函数 满
足 ，若 与 恰有2023个交点 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. B. 为 的对称轴
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 若 ，则z在复平面内对应的点位于第______象限．
14. 某校期末统考数学成绩服从正态分布 ．按 ， ， ， 的比例将考试成绩划
为 四个等级，其中分数大于或等于83分的为 等级，则 等级的分数应为___________．（用
区间表示）
15. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照
看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，
则不同的安排方案共有__________种
16. 如图，在边长为6的正方形 中，B，C分别为 、 的中点，现将 ， ，
分别沿 ， ， 折起使点 ， ， 重合，重合后记为点P，得到三棱锥 ，则
三棱锥 的外接球表面积为______.
四、解答题（本大题共6题，共70分）
17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角B；
（2）若 ，求 的面积．
18. 设 是公差不为0的等差数列， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
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学科网（北京）股份有限公司在
19. 如图， 正三棱柱 中，点 在棱 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若正三棱柱 的底面边长为 ，二面角 的大小为 ，求直线 到平面
的距离.
20. 某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影
视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题3道，至少有2道答对
方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是 ，乙
选择方案二，且3道题中只能答对其中两道题．
（1）求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；
（2）设甲和乙中通过第一关的人数为 ，求 的分布列；
（3）若丙答对这3道题中每一道题的概率都是 ，且这3道题是否答对相互之间没有影响，
丙选择方案一通过第一关的概率为 ，选择方案二通过第一关的概率为 ，直接比较 与 的大小．
21. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，左顶点为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若过坐标原点 且斜率为 的直线 与E交于A，B两点，直线AF与 的另一个交点为 ，
的面积为 ，求直线 的方程.
22. 已知函数 ．
（1）若 ，讨论 的单调性．
（2）已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： ．
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