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莆田第二十五中学 2023-2024 学年上学期高三数学期中考试卷
考试时间：120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合 或 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出集合 ，然后根据集合的运算可得答案.
【详解】由 可得 ，
所以集合 ，
因为 ，所以 ，
故选：B.
2. “若 ， 恒成立”是真命题，则实数 可能取值是（ ）
A. B. C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由题得到 恒成立，求出 即可得到答案.
【详解】 ， ，即 恒成立，
，当且仅当 ，即 时等号成立，故 .
对比选项知A满足.
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司3. 华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函
数时往往要作图，那么函数 的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性排除BC，根据当 时 ，排除A，继而得解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 为偶函数，
排除BC，
当 时， ，且 ，
所以当 时， ，排除A；
故选：D.
4. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数 ，
与函数 ， 即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函
数”的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中 不单调，且可举出实例.
【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，
ABC选项， 在R上单调递减， 在R上单调递增，
在 上单调递增，ABC错误；
D选项， 在 上单调递减，在 上单调递增，
不妨设 ， 与函数 ， ，两者的值域相同，为同值函数，D正确.
故选：D
5. 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性可得 在区间 上单调递增，分 、 、 讨论，根据
在 上单调性可得答案.
【详解】 在 单调递减上单调递减，
根据复合函数的单调性可得 在区间 上单调递增，
当 时， 在 单调递增，需满足 ，
当 满足题意，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 单调递增，则在区间 上单调递增
又需满足真数 ，则最小值 ，即 ，
综上 ．
故选：C．
6. 如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直线 与平面 所成的
角为45°，则点 的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用直线 与平面 所成的角为45°求得点 的轨迹，进而求得点 的轨迹长度.
【详解】若点P在正方形 内，
过点P作 平面 于 ，连接 .
则 为直线 与平面 所成的角，则 ，
又 ，则 ，则 ，
则点 的轨迹为以 为圆心半径为2的圆（落在正方形 内的部分），
若点P在正方形 内或 内，轨迹分别为线段 ，
因为点P不可能落在其他三个正方形内，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 的轨迹长度为 .
故选：A
7. 已知函数 ，若关于 的方程 无实根，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出 图像，然后找到 图像与直线 无交点的情况，利用导数的几何意义
求出切线方程和切点坐标，从而得到临界状态时 的值，从而得到 的范围，得到答案.
【详解】方程 无实根等价于函数 的图像与直线 无交点.
画出函数 的图像，如图，
由图像知，当 时，直线 与曲线 必有交点，
当 时，设直线 与曲线 相切时，切点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
代入切点横坐标 得切线的斜率，
所以 ，解得 ，则 ，
所以切线方程为 得 .
由图像知实数 的取值范围为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查函数与方程，利用导数求函数的切线，属于中档题.
8. 已知 是定义在 上的偶函数，对任意实数 满足 ，且 在
上单调递增，设 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数奇偶性以及 可知 的周期为2，且在 上单调递减，将表达式
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学科网（北京）股份有限公司化简可得 ， ， ，又易知 即可得 .
【详解】根据题意可知 ，即可得 ，
所以函数 是以2为周期的偶函数，
又 在 上单调递增，所以可得 在 上单调递增；
根据偶函数性质可知 在 上单调递减，
又
显然 ，所以可得 ，即 ；
因此可得 .
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，全部选对的
得5分.）
9. 已知 的展开式中含有常数项，则 的可能取值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】AC
【解析】
【分析】求出展开式的通项，再令 ，可得 与 的关系，用赋值法从而可得出结论.
【详解】 展开式的通项为： ，其中
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学科网（北京）股份有限公司；
令 ，则 ，可知n为4的倍数，故B、D错误；
当 时， 最小为 4；当 时， 为8；
故选：AC.
10. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事
件 为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A. 这四人不同的旅游方案共有64种 B. “每个景点都有人去”的方案共有72种
C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，
利用排列组合知识得到 ， ，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去
了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有 种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有 种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知， ，
又事件 ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故 ，
所以 ，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
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学科网（北京）股份有限公司第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有 种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有 种方案，
的
由A选项可知，这四人不同 旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为 ，D正确.
故选：CD
11. 如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ， 的动点，则下
列结论正确的是（ ）
A. 与底面所成角为45°
B. 圆锥 的表面积为
C. 的取值范围是
D. 若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为45°
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据 面 ，由 判断；对于B，由圆锥 的侧面积公式求解
判断；对于C，由 求解判断；对于D，取 的中点 ，连接 ， ，易得 为
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学科网（北京）股份有限公司二面角 的平面角求解判断.
【详解】对于A，因为 面 ，所以 是 与底面所成角，
在 中，圆锥的母线长是 ，半径 ，
则 ，所以 ，则A正确；
对于B，圆锥 的侧面积为 ，表面积为 ，则B错误；
对于C，当点 与点 重合时， 为最小角，
当点 与点 重合时 ，达到最大值，
又因为 与 ， 不重合，则 ，
又 ，可得 ，则C正确；
对于D，如图所示，
，
取 的中点 ，连接 ， ，又 为 的中点，则 ，
因为 ，所以 ，又 面 ， 面 ，所以 ，
又 ， 面 ，故 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为点 为弧 的中点，所以 ， ，则 ，则D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
12. 定义在R上的函数 满足 为奇函数，函数 满
足 ，若 与 恰有2023个交点 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. B. 为 的对称轴
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 ，得函数 图象关于直线 对称，由 是奇函数，得 的图象关
于点 对称，从而得 是周期函数，4是它的一个周期，由 ，得 图象关于点
对称，从而知 与 的图象的交点关于点 对称，点 是它们的一个公共点，由此可判断
各选项．
【详解】 ，则函数 图象关于直线 对称，B正确；
是奇函数，即 ， ，则 的图象关于点 对称，
， ，C正确；
所以 ，从而 ，所以 是周期
函数，4是它的一个周期， ，A错；
又 ， 图象关于点 对称，因此 与 的图象的交点关于点 对称，点
是它们的一个公共点，
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学科网（北京）股份有限公司，D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若 ，则z在复平面内对应的点位于第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】根据复数除法运算和复数几何意义即可得到答案.
【详解】 ，则 ，
所以 ，则其在复平面内对应的点为 ，
故其在第四象限，
故答案为：四.
14. 某校期末统考数学成绩服从正态分布 ．按 ， ， ， 的比例将考试成绩划
为 四个等级，其中分数大于或等于83分的为 等级，则 等级的分数应为___________．（用
区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解．
【详解】设考试成绩为 ，
由题意可知， ， ， ， ，
所以 ，
所以 等级的分数应为 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司15. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照
看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，
则不同的安排方案共有__________种
【答案】60
【解析】
【分析】按“问题元素”优先的原则，进行分类，然后计算求解即可.
【详解】此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序（甲
1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三种.
.
故答案为：60
16. 如图，在边长为6的正方形 中，B，C分别为 、 的中点，现将 ， ，
分别沿 ， ， 折起使点 ， ， 重合，重合后记为点P，得到三棱锥 ，则
三棱锥 的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，折叠成的三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，将三棱锥补形
成长方体，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球直径为体对角线长，得解.
【详解】根据题意，折叠成的三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，
将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，
外接球的直径等于以 , ， 为长、宽、高的长方体的对角线长，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以外接球的表面积 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共6题，共70分）
17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角B；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得 ，结合角 的范围即可求得
；
（2）由（1）中 以及 ，利用余弦定理计算可解得 ，再由三角形面积公
式即可得 的面积.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司根据 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以可得 ，即 ；
因为 ，所以
即 ．
【小问2详解】
由 结合（1）中的结论 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ，即 ，
所以 ．
即 面积为 .
的
18. 设 是公差不为0 的等差数列， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 的公差为 ，然后根据已知条件列方程可求出 ，从而可求出通项公式，
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得 ，再利用裂项相消法可求得结果.
【小问1详解】
设 的公差为 ，
因为 成等比数列，所以
又因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，得 ，
故 ．
【小问2详解】
因为 ，
所以
．
19. 如图，在正三棱柱 中，点 在棱 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若正三棱柱 的底面边长为 ，二面角 的大小为 ，求直线 到平面
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学科网（北京）股份有限公司的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正三棱柱 和 得 ，即可得D是AB的中点，从而由
中位线得 ，证明结论.
（2）由二面角 的大小为 ，解得平面 的一个法向量，根据第一问的平行和点到平面的
距离公式得出答案.
【小问1详解】
在正三棱柱 中， 是侧棱，所以 平面ABC，
又 平面ABC，所以 .
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以D是AB的中点.
如图，连接 ，交 于点M，连接DM.因为M是 的中点，
所以DM是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，可知 ，所以 平面ABC.以D为原点，
分别以 ， ， 所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设三棱柱 的高为h，则 ， ， ， ， ，
， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，得
.
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，得 .
所以 ，解得 ，所以 ，
由（1）知 平面 ，所以直线 到平面 的距离即点A到平面 的距离，
因为 ，所以直线 到平面 的距离为 .
20. 某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影
视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：
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学科网（北京）股份有限公司方案一：答题3道，至少有2道答对
方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是 ，乙
选择方案二，且3道题中只能答对其中两道题．
（1）求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；
（2）设甲和乙中通过第一关的人数为 ，求 的分布列；
（3）若丙答对这3道题中每一道题的概率都是 ，且这3道题是否答对相互之间没有影响，
丙选择方案一通过第一关的概率为 ，选择方案二通过第一关的概率为 ，直接比较 与 的大小．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）写出随机变量 的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；
（2）先分别求出两人过关的概率，写出随机变量 的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据
期望公式求期望即可；
（3）先分别求出 ，再作差即可得解.
【小问1详解】
由题意， 可取 ，
则 ， ，
， ，
所以分布列如下：
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学科网（北京）股份有限公司所以 ；
【小问2详解】
甲通过的概率 ，
乙通过的概率 ，
可取 ，
则 ，
，
，
所以分布列如下：
所以 ；
【小问3详解】
， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
所以 .
21. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，左顶点为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）若过坐标原点 且斜率为 的直线 与E交于A，B两点，直线AF与 的另一个交点为 ，
的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由左顶点为 得 ，再根据离心率为 ，求出 值，则得到 值，
则求出 的方程.
（2）设直线方程为 ，联立椭圆方程得 ，设 ， ，则
得到韦达定理式，利用弦长公式得到 ，则有 ，解出
即可.
【小问1详解】
设椭圆E的半焦距为 .
因为椭圆 的左顶点为 ，所以 .
又离心率 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 的方程为 .
【小问2详解】
由（1）可知，设直线 的方程为 .
由 消去 并整理得 .
设 ， ，
则 ， ，
所以 .
因此 ，
解得 ，即 ，
所以直线 的方程为 或 .
【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数 ，设直线 的方程为
，联立椭圆得到方程 ，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面
积相关方程，解出参数 即可.
22. 已知函数 ．
（1）若 ，讨论 的单调性．
（2）已知关于 的方程 恰有 个不同的正实数根 ．
（i）求 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）求证： ．
【答案】（1） 在 ， 上单调递增，在 上单调递减
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，根据 的正负可确定 的单调性；
（2）（i）将问题转化为 与 有两个不同交点的问题，利用导数可求得 的单
调性和最值，从而得到 的图象，采用数形结合的方式可确定 的范围；
（ii）设 ，根据： ， ，采用取对数、两式作差整理 方式可得 ，通
的
过分析法可知只需证 即可，令 ，构造函数
，利用导数可求得 单调性，从而得到 ，由此可证得结
论.
【小问1详解】
当 时， ，则 ；
令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
【小问2详解】
（i）由 得： ，
恰有 个正实数根 ， 恰有 个正实数根 ，
令 ，则 与 有两个不同交点，
， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
当 从 的右侧无限趋近于 时， 趋近于 ；当 无限趋近于 时， 的增速远大于 的增速，
则 趋近于 ；
则 图象如下图所示，
当 时， 与 有两个不同交点，
实数 的取值范围为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）由（i）知： ， ，
， ，
，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，
， ， ，则只需证 ，
令 ，则只需证当 时， 恒成立，
令 ，
，
在 上单调递增， ，
当 时， 恒成立， 原不等式 得证.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本
题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量 ，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数
的方式证明关于 的不等式恒成立.
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学科网（北京）股份有限公司第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
