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2024-2025 学年河北省石家庄市七县高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.书架上有 本不同的数学书， 本不同的物理书，图书管理员从中任取 本，则不同的取法种数为( )
A. 3 B. 4 C. D. 2
2.随7机变量 服从两点分布，1若2 21 ，则 4(2 )
( =0)= 3 ( =1) ( =1)=
A. B. C. D.
1 1 1 1
2 3 4 5
3.二项式 的展开式中常数项为( )
1 6
A. (2 − ) B. C. D.
4.有160名男生和 名女生去−影1院60观影，他们买了6同0一排相连的 个座−位6，0若 名女生必须相邻，则不同的
坐法有3( ) 3 6 3
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.函24数 的极48小值点为( ) 96 144
A. ( )= − −2 B. C. D.
6.从−2 人中选择 人去 ， −，1三地调研，一个地0方安排 人另外两个1地方各安排 人的安排方法共有( )
A. 5种 4 B . 种 C. 种 2 D. 种 1
7.已35知函数 75 在定义域内单调12递0增，则实数 的取1值80范围为( )
3
A. ( )= − B .+6 C. D.
8.已(−知∞函,数9] ，过[9点,+∞) 可向曲线(−∞,9)引 条切线(，9,则+实∞数) 的取值范围为( )
3
A. ( )= − B. (−2, ) C. = ( ) 3 D.
二、(−多2选,6题) ：本题共3小题，(−共61,28)分。在每小题(给−出3,的5)选项中，有多(项−符5,合3)题目要求。
9.满足不等式 的 的值为( )
2
A. −1− <B7. C. D.
10.3设离散型随机变量 的分布4 列为 5 6
2 3 4
若 0.3 ，则0. ( 4 )
A. =3 −2 B. C. D.
( )=3 ( )=0.8 ( )=9 ( )=5.4
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1 711.给出定义：若函数 在 上可导，即 ′ 存在，且导函数 ′ 在 上也可导，则称 在 上存在
二阶导函数，记 ″ ( ) ′ ′若 ″ ( ) 在 上恒成立， 则(称 ) 在 上是“下凸函 (数 )”下 列函数
中在定义域上是 “下( 凸)=函数( ”(的 )是)( . ) ( )≥0 ( ) .
A. B.
2
1
( )= −4 +3 ( )=
2
C. D.
2 2
三、ℎ(填 )空=题 ：+本2题 共 3小题，每小题5分，共15 分( 。)=
12.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 单位： 与起跳后的时间
单位： 存在函数关系 ，则该运动员在 时的瞬时ℎ速( 度为_ __)___ ．
2
1(3.若 ) ℎ( )=−5 +5 +11 =2 ，则 / 的
2025 2 3 2025
值被 (2除 的−余1)数为=__ __0_+_． 1 + 2 + 3 +…+ 2025 ( ∈ ) | 0|+| 1|+| 2|+…+| 2025|
14.一4质点在平面内每次只能向左或向右跳动 个单位，且第 次向左跳动若前一次向左跳动，则后一次
1 1 .
向左跳动的概率为 ；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为 记第 次向左跳动的概率为 ，则
1 1
______； 3______． 2. 3 =
四、解答题 =：1本 题=共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
某学(生想在物13理、)化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目．
若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
(1)若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数．
(126). 本小题 分
已知(函数 15 ) 的图象在点 处的切线与直线 平行．
3 2
求 的 值( ；)=− + +6 −4 (2, (2)) 12 + −2=0
(1)求函 数 在区间 上的极值与最值．
(127). 本小题 ( ) 分 [−4,2]
在一(个不透明15的箱)子里有 个大小相同的小球，其中 个黑球， 个红球，从中不放回地依次摸出 个小
球． 8 5 3 3
求前两次摸出的球均为黑球的概率；
(1)记 表示摸出的小球中红球的数量，求 的分布列及其数学期望．
(128). 本 小题 分
科技(特长生是17经过)教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得
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2 7到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大
类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息. 学类，第四是航模类现将两个班的科技特长生报名
表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有 份男生档案和 份女生档案，.第二个档案袋内有 份男生档
案和 份女生档案． 5 3 2
若4从第一个档案袋中随机依次取出 人的档案，每次取出的档案不再放回．
((ⅰ1)求) 取出的这 人的档案中有女生档案2的概率；
(ⅱ)求在取出的这2 人的档案中有女生的条件下，第 次取出的档案是女生的概率；
若先从第一个档2 案袋中随机取出一人的档案放入第2二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的
(档2)案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率．
19. 本小题 分
已知(函数 17 ) ．
讨论 ( 的)=单 调 性−； ( ∈ )
(1)当 ( )时，若 存在零点，求实数 的取值范围；
(2) =1 ( )= ( +1)−
证明： ．
1
1 2 3 1+ ∗
(3) (1+ 2)(1+ 2)(1+ 2)…(1+ 2)<( ) ( ∈ )
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3 7参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.15
3
14.
424 3 24 1
15.9解4：9+7若 − 任4意9( 选 − 择6三 ) 门课程，
则不同的(1选)法总数为 种；
3
若物理和历史不能 同7 =时3选5，
(则2)不同的选法总数为 种．
3 1
16.解： 依题意， ′7− 5 =30 ，
2
所以 ′(1) ．( )=−3 +2 +6
因为函 数(2)=的4 图−象6在点 处的切线与直线 平行，
所以 ′ ( ) ，即 (2, (2)) ， 12 + −2=0
解得 (2)=．−12 4 −6=−12
3
=−2
由 ，得 ′ ，
3 3 2 2
(
令
2)
′
(1)
，
(
解
)
得
− −2
，
+
或
6 −4
，
, ( )=−3 −3 +6
当 ( )=0 时， 令=−′2 =，1解得 或 ，令 ′ ，解得 ，
则函−4数< <在−2 ，( )<上0单调递减−4，<在 <−2 上单1<调 递<增2， ( )>0 −2< <1
( ) (−4,−2) (1,2) (−2,1)
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4 7因此，当 时， 有极小值，且极小值为 ，当 时， 有极大值，且极大值为 ．
1
又 =−2， ( ) ，所以函数 在区间−14 上=的1最大值 为( ) ，最小值为 ． −2
(−4)= 12 (2)=−6 ( ) [−4,2] 12 −14
17.解： 记前两次摸出的球均为黑球为事件 ，则 ；
2 1
5 6 5
的取
(1
值
)
有 ， ， ， ，
( )=
8
3 =14
(2) 0 1 2 3
，
3 2 1
5 5 5 3 15
( =0)=
8
3 =28, ( =1)=
8
3 =28
，
1 2 3
5 3 15 3 1
故
(
的
=
分
2)
布
=
列为 8
3
：
=56, ( =3)=
8
3 =56
0 1 2 3
5 15 15 1
28 28 56 56
所以 ．
5 15 15 1 9
18.解 ： ( )=0 设 × 事28件 +1 为 × “28取 + 出 2 的 ×56人 + 的 3× 档5案6中 = 有8 女生档案”，
(1)( ) 2
则 为“取出的 人的档案中没有女生档案”．
−
第一 个档案袋内2有 份男生档案和 份女生档案，总共 份档案．
5 3 8
第一次取到男生档案的概率为 ，因为不放回，此时剩下 份档案，
5
8 7
其中男生有 份，所以第二次取到男生档案的概率为 ，
4
4 7
则 ．
−
5 4 5
( )= 8×7=14
．
−
4 9
∴ 求( 在)=取1出−的 这( )=人1的−档1案5=中1有4 女生的条件下，第 次取出的档案是女生的概率
(设 事) 件 为“第 2次取出的档案是女生”，事件 为“2取出的 人的档案中有女生档案”．
根据条件 概率公2式 ． 2
( )
计算 ，即取出 ( 的 | ) 人 = 档 案( 中) 有女生且第 次取出的是女生的概率．
( ) 2 2
分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为 ；
5 3 15
8×7=56
第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为 ．
3 2 3
8×7=28
．
15 3 3
∴ ( )= 56+28=8
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5 7， ．
3
9 ( ) 8 3 14 7
∵ 设 ( 事 )= 件14为“ ∴ 从 ( 第 | 二 ) 个 = 档 案( )中 = 取1出 9 4的 = 档8× 案9是 = 女1生2”．
(分2)两种情况 ：
若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为 ，
5
此时第二个档案袋中有 份男生档案和 份女生8档案，共 份档案，
3 4 7
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为 ，这种情况下的概率为 ．
4 5 4 5
7 8×7=14
若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为 ，
3
此时第二个档案袋中有 份男生档案和 份女生8档案，共 份档案，
2 5 7
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为 ，这种情况下的概率为 ．
5 3 5 15
从第二个档案中取出的档案是女生的概率为：7 8×7=56
∴
．
5 15 5
( )= 14+56=8
19.解： 的定义域为 ， ′ ，
1 −1
当 ( 时 1) ， ( 因 ) ，所以 (0 ′ ,+∞) 恒 ( 成 ) 立 = ， 即 − = 在 为单调递减函数；
当 ≤0 时，令 ′>0 ( )，<所0 以当 ( 时)，(0,+∞) ， 为单调递减函数；
1 1
>0 ( )=0 ⇒ = ∈(0, ) ( )<0 ( )
当 时， ， 为单调递增函数，
1
∈ ( ,+∞) ( )>0 ( )
综上，当 时， 在 为单调递减函数；当 时， 时，
1
≤ 0 ( ) (0,+∞) >0 ∈ (0, )
为单调递减函数； 时， 为单调递增函数．
1
( 当) 时， ∈( ,+，∞) ( ) ， ，
(2) =1 ( )= − ( )= ( +1)− = +1−ln( +1)− >−1
则 ′ ，令 ，所以当 时， ′ ， 单调递减；
1
当 ( )=1−时 ，+1= +1 ， (单 )调=递0增=， 所=以0 ∈ (−1,0) ，因 为( )<存0在零 (点 )，所以 ，
即实 ∈数(0的,+取∞值)范围 (为 )>0 (． ) ( ) = (0)=1− ( ) 1− ≤0
证明 ：由 可得，[当1,+∞) 时， ，
(3) (2) =1 ( )= +1−ln( +1)−1= −ln( +1) ≥0
令 ，则 ，
= 2. ∈ + (1+ 2)≤ 2
所以 ，
( +1)
1 2 1 2 2 1 +1 1 1
即 ln(1+ 2)+ln(1+ 2)+⋯+ln(1+ 2)≤ 2 ， + 2+⋯+ 2 = 2 =2× =2(1+ )
1 2 1 1
ln[(1+ 2)(1+ 2)+⋯+(1+ 2)]≤2(1+ )
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6 7两边同时取指数可得 ．
1 1 1
1 2 2(1+ ) 1+
(1+ 2)(1+ 2)+⋯+(1+ 2)≤ =( )
又上式中 ，所以 ．
1
1 2 3 1+ ∗
>0 (1+ 2)(1+ 2)(1+ 2)...(1+ 2)<( ) ( ∈ )
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7 7
