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长安一中 2021 级高三第三次教学质量检测
数学（文科）试题
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
.
1 设全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 设x，y满足约束条件 ，则z＝2x＋y的最小值是（ ）
A. －15 B. －9 C. 1 D. 9
4. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一
名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．
比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 若 为奇函数，则 的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
6. 南宋时期的数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有一个如图所示的“三角垛”问题，在“三角垛”的最上
层放有一个球，第二层放有3个球，第三层放有6个球，……依此规律，其相应的程序框图如图所示．若
输出的 的值为56，则程序框图中 处可以填入（ ）
①
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：若 与 线性相关，且线性回归方程为
，则下列说法不正确的是（ ）
时间 1 2 3 4 5
销 售 量
0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
（千只）
A. 由题中数据可知，变量 与 正相关
B. 线性回归方程 中
C. 可以预测 时该商场手机销量约为1.72（千只）
D. 当 时，残差为
8. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图
2中的扇形 为一把折扇展开后的平面图，其中 ， ，设向量
， ，若 ，则实数 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. 3 C. 7 D. 14
9. 已知双曲线 的离心率大于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面ABC，则
三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知角 ， 终边上有一点 ，则 （ ）
.
A 2 B. C. D.
12. 过抛物线 的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交 于D，则 面
积的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知函数 （其中 ）在 处的切线为 ，则直线 过定点的坐标为__________.
14. 等差数列 中的 是函数 的极值点，则 __.
15. 中，三内角 所对边分别为 ，已知 ， ，则角 的最大值
是_______________
16. 如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，有下列判断：
①平面 平面 ；
② ；
③异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
④三棱锥 的体积不变.
其中，正确的是__________（把所有正确判断的序号都填上）.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列 的前n项和为 ， ．
（1）求证数列 为等比数列，并求数列 的通项公式 ．
（2）若数列 前m项和 ，求m的值，
的
18. 某重点大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了 名这类大学生进行
调查，将收集到的课余学习时间（单位： ）整理后得到如下表格：
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学科网（北京）股份有限公司课余学习时间
人数
（1）估计这 名大学生每天课余学习时间的中位数；
（2）根据分层抽样的方法从课余学习时间在 和 ，这两组中抽取 人，再从这 人中随机抽取
人，求抽到的 人的课余学习时间都在 的概率．
19. 在如图所示的五面体 中,四边形 为菱形,且
为 中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若平面 平面 ,求 到平面 的距离.
20. 如图所示，已知椭圆 ，与 轴不重合的直线 经过左焦点 ，且与椭圆 相交于 ，
两点，弦 的中点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若直线 的斜率为 ，求直线 的斜率．
（2）是否存在直线 ，使得 成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理
由．
21. 已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若 与 有两个不同的交点，求实数 的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数 的图象关于直线 对称．
的
（1）求 最小值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ， 均为正数，且 ，求 的最小值．
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