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深圳市高级中学 2025 届高三第一次诊断考试
数 学
（本试卷共3页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。） 2024.10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2． ， 是平面内不共线两向量，已知 ， ， ，若A，B，D三
点共线，则k的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
3．若 是第三象限角，且 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．
4．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量 和 满足 ， 在 上的投影向量为 ，则 在 上的投影向量为（
）
A． B． C． D．
7．已知关于x不等式 的解集为 ，则（ ）A．
B．点 在第二象限
C． 的最大值为
D．关于x的不等式 的解集为
8．已知 ， ， 分别是函数 与 的零点，则 的最大值为（
）
A．2 B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．在 中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（ ）．
A．
B．若 ，则
C．若 为锐角三角形，则
D．若 ，则 是等边三角形
10．已知复数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 为纯虚数
11．若定义在 上的函数 ， 满足 ， ，
，则下列结论中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是周期为4的周期函数C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数 （ 且 ）恒过定点P，则点P的坐标为______．
13．若曲线 过坐标原点的切线与圆 相切，则实数 ______．
14．已知 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．设函数 ， ．
（1）求函数 的最小正周期及对称轴方程；
（2）若 ，求 的值．
16．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）解关于x的不等式 ．
17．已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对于任意的 ，都有 恒成立，求a的取值范围．
18．已知在 中，满足 （其中a，b，c分别是角A，B，C的对
边）．
（1）求角B的大小；
（2）若角B的平分线 长为1，且 ，求 外接圆的面积；
（3）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围．
19．已知函数 ，且x轴是曲线 的切线．（1）求 的最小值；
（2）证明： ；
（3）设 ， ，证明：对任意 ，
．深圳市高级中学 2025 届高三第一次诊断考试答案
1-8 ABAD BCDC
9-11 ABD ACD ABC
12-14
【详解】
8．由题意可知 ，则 ，
即 ，又 ，
所以 ，则 ．设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，则 ，所以 ，
则 ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，所以 的最大值为 ．故选：C．
11．因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
又 ，则 ，
即 ，所以 ，故 是周期为4的周期函数．
因为 ，所以 也是周期为4的周期函数，选项B正确；因为 ，则 ，则 ，
所以 ，所以 为偶函数，选项A正确；
因为 ，令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，即 ，
故 ，选项C正确；
由 ，
得
所以 ，选项D错误．
故选：ABC．
14．法一：令 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ ，即 ．
法二： ，所以 ，
因此 ．
15．（1） ， 的对称轴 ， （2）
【详解】（1） ，则 的最小正周期 ，， ，解得 ， ，即 的对称轴 ， ．
（2） ，解得 ．
．
16．（1） （2）
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，所以 ，
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，
所以 ，
当 时，有 ，从而 ，
所以 ．
（2）由（1）知，当 时，因为 ， ，所以 ，
当 ， ，所以当 时， ，
而当 时， ，所以不等式 在 上无解；
当 时，不等式 为 ，所以 ．
记函数 ， ，因为 ， ，所以函数 ， 均为 上的单调增函数，
所以函数 为R上的单调增函数．
又 ，
所以当 时，不等式 的解集为 ．
从而关于x的不等式 的解集为 ．
17．（1）当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）
【详解】（1）对 求导，可得 ，
令 ，即 ，即 ，
当 时， 恒成立， 在R上单调递增；
当 时， ， ， ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．（2）因为对于任意的 ，都有 恒成立，
对 求导，可得 ，
，即 ，即 ，
①当 时， ，则 在 单调递增， ，符合题意；
②当 时， ，则 ，
则 ， 在 单调递增， ，符合题意；
③当 时， ，则 ，
当 时， ，则 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，不合题意；
综上所述， ．
18．（1） （2） （3）
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得
，所以 ，又 ，
即 ，且 ，即 ．
（2）由等面积法： ，
即 ，即 ，
由余弦定理得，
，则 ，
设 外接圆半径为R，则 ， ，
则 外接圆的面积为 ．
（3）由 为锐角三角形可得 ，得 ，
则 ，
由 ，得 ，
又 ，
所以 ，则 ．
19．（1） 的最小值为 （2）（3）证明如下
【详解】（1）由 得 ，
因切线方程为 ，令 ，得 ，故可知切点为 ，
所以 ，得 ，
故 ， ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
故 的最小值为 ．
（2）由（1）可知 ，故 ，故 ，
， ，则 ，即 ，即 ，
故 ，
即 ，即证．
（3）由题意 ，
由 得 ①，要证明对任意 ， ，只需要 ， ，
令 ， ， ，
令 ， ，
在区间 上单调递增，故 ，故 ，
故 在 上递增，故只需证明 ， ，
由①可知 ，
由（1）可知 ，故 ，
只需证明 ，化简为 成立即可，
令 ，则 ，
在区间 上单调递增，故 ，所以 得证．
