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2005 年湖北高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分
钟.
第I部分（选择题 共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=
，则P+Q中元素的个数是 （
）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“ ”是“ ”充要条件； ②“ 是无理数”是“a是无理数”的充
要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是 （
）
A．1 B．2 C．3 D．4
3． （
）
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致是 （
）
5．双曲线 离心率为2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合，则
mn的值为 （
）
A． B． C． D．
第1页 | 共10页6．在 这四个函数中，当 时，使
恒成立的函数的个数是 （
）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若 （
）
A． B． C． D．
8．若 ，则常数 的值为 （
）
A． B． C． D．
9．若 的大小关系 （
）
A． B． C． D．与x的取值有关
10．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分
别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的
重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有
2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ）
A．K B．H
C．G D．B′
11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方
法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，
使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1，
2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号
依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是 （
）
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
12．以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两
个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为 （
）
第2页 | 共10页A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.
13 ． 已 知 向 量 不 超 过 5 ， 则 k 的 取 值 范 围 是
.
14． 的展开式中整理后的常数项为 .
15．设等比数列 的公比为q，前n项和为S，若S ,S，S 成等差数列，则q的值为
n n+1 n n+2
.
16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35
千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，
最少要花费 元.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知向量 在区间（－1，1）上是增函
数，
求t的取值范围.
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，已知 边上的中线BD= ，求sinA的值.
19．（本小题满分12分）
某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有 4次参加考试的
机
会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4次为
止。
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，
求在
一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，
BC=1，PA=2，E为PD的中点.
第3页 | 共10页（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
21．（本小题满分12分）
设A、B是椭圆 上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直
平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）
22．（本小题满分14分）
已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过
的 最 大 整 数 . 设 数 列 的 各 项 为 正 ， 且 满 足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.
1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.
13．[－6，2] 14． 15．－2 16．500
三、解答题
17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用
第4页 | 共10页基本函数的性质分析和解决问题的能力。
解法1：依定义
开口向上的抛物线，故要使 在区间（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变
形的技能和运算能力.
解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得：
BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，
第5页 | 共10页解法2：
以B为坐标原点， 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.
解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，
过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=
19．本小题主要考查随机变量的分布列和数学期望的概念和运算，以及运用概率统计的知
识解决实际问题的能力.
解： 的取值分别为1，2，3，4.
，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ ）=0.6.
，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
第6页 | 共10页李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能
力.
解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、
B（ ，0，0）、C（ ，1，0）、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、E（0， ，1），
从而
设 的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为 .
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则
，由NE⊥面PAC可得，
∴
即N点的坐标为 ，从而N点到AB、AP的距离分别为1， .
解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中，AO=1，OE=
∴
即AC与PB所成角的余弦值为 .
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则 .
连PF，则在Rt△ADF中
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.
第7页 | 共10页∴N点到AB的距离 ，N点到AP的距离
21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合
解决问题的能力.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为 ，整
理得 ①
设 是方程①的两个不同的根，
∴ ②
且 由N（1，3）是线段AB的中点，得
解得k=－1，代入②得， 的取值范围是（12，+∞）.
于是，直线AB的方程为
解法2：设 则有
依题意，
∵N（1，3）是AB的中点， ∴
又由N（1，3）在椭圆内，∴
∴ 的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入椭圆方程，整理得
又设 CD的中点为 是方程③的两根，
∴
于是由弦长公式可得 ④
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵当 时，
假设存在 >12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
第8页 | 共10页点M到直线AB的距离为 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当 >12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心， 为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
A、B、C、D共圆 △ACD为直角三角形，A为直角 |AN|2=|CN|·|DN|，
即 ⑧
由⑥式知，⑧式左边
由 ④ 和 ⑦ 知 ， ⑧ 式 右 边
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为 ，代入椭圆方程，整理得
③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得
不 妨 设
∴
计算可得 ，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
22．本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.
（Ⅰ）证法1：∵当
即
于是有
第9页 | 共10页所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由
知不等式成立.
（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
第10页 | 共10页
