河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期5月联考试题数学Word版含解析_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年05月试卷_0530河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期5月联考

河南省安鹤新联盟 2024-2025 学年高二下学期 5 月联考 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合A=  x∣x2-2x-3£0  ,B=xÎN∣2-x³0，则A B=（ ） I A．1 B．0,1 C．0,1,2 D．1,2 2．以y=±2x为渐近线的双曲线可以是（ ） x2 y2 A． -y2 =1 B．x2- =1 4 4 y2 x2 C． -x2 =1 D．y2- =1 2 2 3．已知平面向量ar=  - 3,-1  ,b r =1,2，则  ar+b r ×  ar-b r =（ ） A．1 B． 3 C．- 3 D．-1 1 4．若tana=2tanb,sina+b= ，则sina-b=（ ） 3 1 1 2 2 A．- B． C． D．- 9 9 9 9 5．某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只 能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ） A．630种 B．360种 C．240种 D．180种 6．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序， 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为 （ ） 3 1 1 4 A． B． C． D． 13 5 4 13 ìïex+a,x£0 7．已知aÎR，函数 f x=í ，在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ） ïî -lnx+1+a,x>0 A．-¥,-1 B．-¥,-1 U 0 C．1,+¥È0 D．1,+¥ U 08．记数列a 的前n项和为S ，若 S =n，则 a + a +×××+ a 的值不可能为（ ） n n n 1 2 10 A．96 B．98 C．100 D．102 二、多选题 9．下列结论正确的是（ ） æ 3ö A．若随机变量X ~Bç64, ÷，则D4X +1=48 è 4ø B．测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布N  9.9,s2 ，则s越大时，测得的g在9.8,10.0 间的概率越大 2 C．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为 ，则他做对的题数的期望为2 3 D．已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1 10．在三棱锥A-BCD中，已知AB=BC =CD=DA=2,BD=2 3,E为BD的中点，则下列说法正确的是 （ ） A．AC长度的取值范围是(0,2 2) π B．直线AB与平面AEC所成的角为 3 π C．若AC = 2，则AE，BC所成的角为 3 52π D．若AC=1，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 3 ex+e-x ex-e-x 11．已知函数 f x= ,gx= ，则（ ） 2 2 A． f2x-g2x=1 B．对任意实数x,y,gx+ygx-y=g2x+g2y C． f 2x= f2x+g2x D．若直线y=t与函数y= f x和y=gx的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为   x,x ,x ，则x +x +x >ln 1+ 2 1 2 3 1 2 3 三、填空题1 1 12．已知实数a,b,c满足3a =6b =c，且 + =2，则c= . a b æ 2ö 9 13．在 ç x- ÷ 的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） è xø 14．已知过抛物线C:y2 =2pxp>0的焦点F2,0的直线与抛物线C交于A,B两点（A在第一象限），以AB 为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若 AD = 3 BD,O为坐标原点，则VAOB的面积为 . 四、解答题 15．游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳 与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 游泳 性别 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 (1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ (2)为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3 人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望． n(ad -bc)2 附：c2 = ，其中n=a+b+c+d． (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 a 16．已知S 是等差数列a 的前n项和，且a +a =20，S =35. n n 2 7 5 (1)求S ； n 3 (2)若数列b 满足b S =1，求数列b 前n项和T ，并证明T < . n n n n n n 417．如图，在圆锥CO中，平面ABC是轴截面，D为底面圆周上一点（与A,B不重合），E为AD的中点． (1)求证：AD^平面COE； π (2)若AB=4,CO=3,ÐDAB= ，求平面COE与平面CBD的夹角的大小． 6 ax 18．已知函数 f x=lnx+1- . x+1 (1)当a=1时，求 f x的单调区间与极值； (2)若 f x…0恒成立，求a的值； 1 1 1 (3)求证：sin +sin + +sin b>0)的长轴长为2 3，左、右焦点分别为F,F ，直线l:y= px+q与C交 a2 b2 1 2 uuur uuur 3 于P，Q两点，且满足OP×OQ=0（O为坐标原点），当l变化时， V PF 1 F 2 面积的最大值为 2 ． (1)求C的方程； (2)证明：q2 = p2+1； (3)过点O和线段PQ的中点作一条直线与C交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B A B D CD BD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】由题意可得A=  xx+1x-3£0  =x∣-1£x£3,B=xÎN∣x£2=0,1,2， 则A I B=0,1,2. 故选：C. 2．B x2 1 【详解】对于A，由 -y2 =1得渐近线方程为y=± x，故A错误； 4 2 y2 对于B，由x2- =1得渐近线方程为y=±2x，故B正确； 4 y2 对于C，由 -x2 =1得渐近线方程为y=± 2x，故C错误； 2 x2 2 对于D，由y2- =1得渐近线方程为y=± x，故D错误. 2 2 故选：B. 3．D 【详解】  ar+b r ×  ar-b r =ar2-b r 2 = ar|2 -b r |2=é(- 3)2+(-1)2ù-  12+22 =4-5=-1. ë û 故选：D. 4．B sina 2sinb 【详解】由tana=2tanb，得 = ，即sinacosb=2cosasinb， cosa cosb 1 1 2 1 由sina+b= ，得sinacosb+cosasinb= ，故sinacosb= ,cosasinb= ， 3 3 9 9 1 则sina-b=sinacosb-cosasinb= . 9 故选：B. 5．B 【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会， 有C2 C1C3+C2C2+C3C1 =15´4+6+4=210种， 6 4 3 4 2 4 1物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会， 有C3 C1C2+C2C1 =20´3+3=120种， 6 3 2 3 1 物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会， 有C4C1C1 =15´2=30种， 6 2 1 所以共有210+120+30=360种不同的参会方案. 故选：B 6．A 【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场， 方法数为A4+C1C1A3 =78， 4 3 3 3 在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”， 即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为C1A3 =18， 3 3 18 3 因此所求概率为P= = ． 78 13 故选：A． 7．B 【详解】当x£0时，00时，lnx+1>0，若lnx+1=a无解，则a£0. 综上，实数a的取值范围是-¥,-1 U 0 . 故选：B. 8．D 【详解】当n=1时， a = S =1，设a =-1， 1 1 1 当n³2时， S =n-1，则 S -S £ S + S =2n-1， n-1 n n-1 n n-1 10´1+19 即 a £2n-1，所以 a + a +×××+ a £1+3+×××+19= =100， n 1 2 10 2 a =2n-1-1n时取等，故D错误； n 若a =2n-1-1n，n³4，且a =1，a =1，a =-5， n 1 2 3 此时 a + a +×××+ a =1+1+5+7+×××+19=98； 1 2 10若a =2n-1-1n，n³4，且a =1，a =-3，a =-1， n 1 2 3 此时 a + a +×××+ a =1+3+1+7+9+×××+19=96. 1 2 10 故A，B，C正确. 故选：D. 9．CD 3 æ 3ö 【详解】对于A，DX=64´ ´ç1- ÷=12，D4X +1=16DX=192，故A错误； 4 è 4ø 对于B，当为定值时，正态密度曲线的峰值与s成反比，s越大，峰值越低，测得的g越分散，即在9.8,10.0 间的概率越低，故B错误； æ 2ö 2 对于C，做对的题数X服从二项分布X : Bç3, ÷，故EX =3´ =2，故C正确； è 3ø 3 10´S2 +7-72 10´1.1 对于D，S2 = 前 = =1，故D正确. 后 11 11 故选：CD. 10．BD 【详解】对于A，因为AB=BC =CD=DA=2,BD=2 3，E为BD的中点， 所以AE=CE=1，所以AC< AE+CE=2，所以ACÎ(0,2)，故A错误； 对于B，由题，易得BD^ AE,BD^CE，又AEÇCE=E，AE，CEÌ平面AEC，所以BD^平面AEC， π 所以AB与平面AEC所成的角为ÐBAE= ，故B正确； 3 π 对于C，因为AC = 2，所以AE2+CE2 = AC2，所以ÐAEC = ,AE^CE， 2 又因为AE^BE,BEÇCE=E，BE，CEÌ平面BCD，所以AE^平面BCD，所以AE^BC，故C错误； 对于D，如图，取AC的中点为F，连接EF，则EF ^ AC， 由图形的对称性得，三棱锥A-BCD外接球的球心O必在FE的延长线上， æ1ö 2 æ 3ö 2 设EO=x，由OA=OB，分别由勾股定理得 ç ÷ +ç ç x+ ÷ ÷ = x2+( 3)2 ， è2ø è 2 ø 2 3 13 所以x= ，所以外接球的半径为 x2+( 3)2 = ， 3 3 2 æ 13ö 52π 所以外接球的表面积为4πç ÷ = ，故D正确． ç 3 ÷ 3 è ø 故选：BD.11．ACD 2 2 æex+e-x ö æex-e-x ö 【详解】对A， f2x-g2x=ç ÷ -ç ÷ =1，故A正确； è 2 ø è 2 ø ex+y -e-x-y ex-y -e-x+y e2x-e2y -e-2y +e-2x 对B，gx+ygx-y= × = ，而 2 2 4 2 2 æex-e-x ö æey -e-y ö e2x+e2y +e-2y +e-2x-4 g2x+g2y=ç ÷ +ç ÷ = ，故B错误； è 2 ø è 2 ø 4 e2x+e-2x+2 e2x+e-2x-2 e2x+e-2x 对C， f2x+g2x= + = = f 2x，故C正确； 4 4 2 ex-e-x 对D， f¢x= ，令 f¢x=0，得x=0， 2 当x>0时， f¢x>0, f x单调递增；当x<0时， f¢x<0, f x单调递减. 所以 f x在x=0处取得极小值1， 当x®+¥时， f x®+¥；当x®-¥时， f x®+¥. ex+e-x g¢x= >0恒成立，所以gx在R上单调递增， 2 当x®+¥,gx®+¥；当x®-¥,gx®-¥. 所以函数 f x,gx的大致图象如图所示，不妨设x 1， ex-e-x 令gx= =t >1，整理得e2x-2ex-1>0， 2 解得ex >1+ 2或ex <1- 2（舍去），     所以x>ln 1+ 2 ，即x >ln 1+ 2 ， 3   又因为x +x =0，所以x +x +x >ln 1+ 2 ，故D正确. 1 2 1 2 3 故选：ACD. 12．3 2 【详解】由3a =6b =c可知c>0,a=log c,b=log c， 3 6 1 1 所以 + =log 3+log 6=log 18=2，即c2 =18，所以c=3 2. a b c c c 故答案为：3 2. 13．-672 【详解】通项为T =Cr  x 9-ræ ç- 2ö ÷ r =Cr-2r x 9- 2 3r ,0£r£9,rÎZ， r+1 9 è xø 9 故当r=3时，常数项为T =C3-23 =-672. 3 9 故答案为：-672 16 3 14． 3 【详解】 p 依题意 =2，得p=4，则抛物线C的方程为y2 =8x. 2 由题意可知DE与抛物线的准线x=-2垂直，π π 在Rt△ABD中， AD = 3 BD ，则ÐBAD= ,ÐABD=ÐDEB=ÐAFx= ， 6 3 则直线AB的方程为y= 3x-2. ìïy= 3x-2, 由í 消去y并化简整理得：3x2-20x+12=0, ïîy2 =8x, 20 20 32 易得Δ >0, x +x = ，则 AB =x +x + p= +4= ， A B 3 A B 3 3 又原点0,0到直线AB: 3x- y-2 3=0的距离为 3， 1 32 16 3 故S = ´ ´ 3= . VAOB 2 3 3 16 3 故答案为： . 3 15．(1)认为是否喜欢游泳与性别有关联 6 (2)分布列见解析，E(X)= 7 【详解】（1）零假设为H ：是否喜欢游泳与性别无关联． 0 200´(80´48-40´32)2 3200 根据列联表中的数据，计算得到c2 = = »13.853>10.828=x ， 120´80´112´88 231 0.001 所以根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立， 0 即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 80 32 （2）由题意可知抽取的男性有7´ =5人，女性有7´ =2人， 80+32 80+32 随机变量X的所有可能取值为0，1，2， C3 2 C2C1 4 C1C2 1 且P(X =0)= 5 = ，P(X =1)= 5 2 = ，P(X =2)= 5 2 = . C3 7 C3 7 C3 7 7 7 7 所以X的分布列为： X 0 1 2 2 4 1 P 7 7 7 2 4 1 6 所以E(X)=0´ +1´ +2´ = ． 7 7 7 7 16．(1)S =n2+2n n 3 1æ 1 1 ö (2)T = - ç + ÷ ，证明见解析 n 4 2èn+1 n+2ø【详解】（1）设等差数列a 的公差为d，则由题意得： n ìa +d+a +6d =20 ï 1 1 ì2a +7d =20 ìa =3 í 5´4 ，即í 1 ，解得í 1 ， ï î 5a 1 + 2 d =35 îa 1 +2d =7 îd =2 3+2n+1n 故a =3+n-1´2=2n+1，故S = =n2+2n. n n 2 1 1 1æ1 1 ö （2）b = = = ç - ÷， n S nn+2 2èn n+2ø n 1æ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ö 1æ 1 1 1 ö 所以T n = 2 ç è 1- 3 + 2 - 4 + 3 - 5 + L + n-1 - n+1 + n - n+2 ÷ ø = 2 ç è 1+ 2 - n+1 - n+2 ÷ ø 1æ3 1 1 ö 3 1æ 1 1 ö = ç - - ÷= - ç + ÷， 2è2 n+1 n+2ø 4 2èn+1 n+2ø 1 1 3 1æ 1 1 ö 3 因为 >0, >0，所以T = - ç + ÷< . n+1 n+2 n 4 2èn+1 n+2ø 4 17．(1)证明见解析 π (2) 6 【详解】（1）在圆锥CO中，OC ^平面ABD，ADÌ平面ABD,所以OC ^ AD， 因为E为AD的中点，OA=OD，所以OE^ AD， 因为OCÇOE=O，OC,OEÌ平面COE，所以AD^平面COE． （2）在平面ABD内，过O作OF ^ AB交ADB于点F ，分别以直线AB,OF,OC为x,y,z轴建立空间直角坐 标系，如图． π 因为AB=4,ÐDAB= ，所以A(-2,0,0),D(1, 3,0)， 6 uuur 由（1）知平面OCE的一个法向量为AD=(3, 3,0)． uuur uuur 又B(2,0,0),C(0,0,3)，所以CB=(2,0,-3),CD=(1, 3,-3)． 设平面CBD的法向量为nr=(x,y,z)，ì ïnr×C uu B ur =2x-3z=0, 则í ïînr×C uu D ur =x+ 3y-3z=0, 取x=3，则nr=(3, 3,2)． 所以|cosánr, u A u D ur ñ|= | u A u D ur ×nr| = 12 = 3 ， | u A u D ur ||nr| 12´ 16 2 π 所以平面OCE与平面CBD的夹角为 ． 6 18．(1)单调递减区间为-1,0，单调递增区间为0,+¥；极小值0，无极大值 (2)a=1 (3)证明见解析 x 【详解】（1）当a=1时， f x=lnx+1- x>-1， x+1 1 1 x 则 f¢x= - = ， x+1 (x+1)2 (x+1)2 当xÎ-1,0时，f¢x<0, f x单调递减，当xÎ0,+¥时，f¢x>0, f x单调递增，所以 f x的单调递 减区间为-1,0，单调递增区间为0,+¥， 在x=0处取得极小值0，无极大值. 1 a x-a-1 （2）由题意得 f¢x= - = ， x+1 (x+1)2 (x+1)2 ①当a£0时， f¢x>0，所以 f x在-1,+¥上单调递增， 所以当xÎ-1,0时， f x< f 0=0，与 f x³0矛盾； ②当a>0时，当xÎ-1,a-1时， f¢x<0, f x单调递减， 当xÎa-1,+¥时， f¢x>0, f x单调递增， 所以 f(x) = f a-1=lna-a-1， min 因为 f x³0恒成立，所以lna-a-1³0. 1 1-a 记ga=lna-a-1,g¢a= -1= ， a a 当aÎ0,1时，g¢a>0,ga单调递增，当aÎ1,+¥时，g¢a<0,ga单调递减，所以 g(a) =g1=0，所以lna-a-1£0. max 又lna-a-1³0，所以lna-a-1=0，所以a=1.（3）先证sinx0，设hx=sinx-xx>0，则h¢x=cosx-1£0， 所以hx在区间0,+¥上单调递减，所以hx0成立，证毕． （3）设PQ的中点为M ，因为直线RS经过点O和点M ， uuur uuur uuur uuuur 所以不妨设OR=t(OP+OQ)=2tOM,t>0，则S =2S =4tS ． PRQS OPRQ VOPQ 1 1 4p2+1 S = q x -x = q x +x 2 -4xx = q × ． VOPQ 2 1 2 2 1 2 1 2 2p2+1 由O uu R ur =t(O uu P ur +O uu Q ur )，得R点的坐标为 tx +x ,ty +y  ， 1 2 1 2 2q 又y +y = px +q+ px +q= px +x +2q= ， 1 2 1 2 1 2 2p2+1 ì 4pq tx +x =- t, ï ï 1 2 2p2+1 æ 4pq ö 2 æ 2q ö 2 所以í 代入C的方程得 ç- t÷ +2ç t÷ =3， ïiy +y = 2q t, è 2p2+1 ø è2p2+1 ø ï î 1 2 2p2+1 8q2t2 3  2p2+1  化简得 =3，则t = ． 2p2+1 8q2 3  2p2+1  4p2+1 4p2+1 1 所以S =4 × q × = 6× = 6× 2- Î[ 6,2 3)， PRQS 8q2 2p2+1 2p2+1 2p2+1 即四边形PRQS面积的取值范围为[ 6,2 3)．