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高 2024 届期中考试数学试卷
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. 3 B. 1 C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 的首项 ，前 项和为 ，且 成等差数列，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，若 ，则平面 与平面 夹角的余弦
值为（ ）
A. B. C. D.
6. 某款对战游戏，总有一定比例的玩家作弊该游戏每10个人组成一组对局，若一组对局中有作弊玩家，则认为这
组对局不公平.现有50名玩家，其中有2名玩家为作弊玩家，一次性将50名玩家平均分为5组，则5组对局中，恰
有一组对局为不公平对局的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数 ，若关于 的不等式 有解，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。
9. 设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 的最大值为2 D. 若复数 ，则
1
学科网（北京）股份有限公司10. 在 中，下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 为锐角三角形，则
C. 若 ，则 一定是等腰三角形
D. 若 为钝角三角形，且 ， ， ，则 的面积为
11. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 底面 ，
则（ ）
A.
B. 与平面 所成角为
C. 异面直线 与 所成角的余弦值为
D. 平面 与平面 夹角的余弦值为
12. 已知函数 ，若存在实数 使得方程 有四个互不相等的实数根，分别为
，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知 （ 为锐角），则 .
14. 已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，则
15. 在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为 ， ， ，若每次投球三人互不影响，则在一次
投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为 .
16. 已知对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是 .
四、解答题：共70分。
217. （10分）已知集合 ，不等式 的解集为 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
18. （12分）设数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项利 .
19. （12分）已知函数 （ ， ， ）的图象相邻两条对称轴间的距离为 . 函
数 的最大值为2，且______.
请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，① 为奇函数；②当 时 ；③ 是函
数 的一条对称轴. 并解答下列问题：
(1)求函数 的解析式；
(2)在 中， 、 ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积 ，求 的
值.
20. （12分）如图， ， 为圆柱 的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是 ， 的中点，
面 .
(1)证明： 平面ABC；
(2)若 ，求平面 与平面BDC的夹角余弦值.
3
学科网（北京）股份有限公司21. （12分）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均
温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据（ ）
5215 17713 714 27 81.3 3.6
(1)根据散点图判断， 与 （其中 …为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y
（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中 ， ，
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子
产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在
28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选
择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－
防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
22. （12分）已知函数 .
(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)若函数 ，且 ，证明： .
4高 2024 届期中考试数学试卷参考答案
单选：1—4：ADAB 5—8：BCCB
多选：9. ACD 10. AB 11. ACD 12. BD
详解：
1. 由 得 ， ，
所以 ，
2. 设 ，依题意 ，
， ，
所以 ，解得 ，
则 .
3. 由 ，得 ，即 ，
所以 .
4. 设等比数列 的公比为 ，
由于 成等差数列，
所以 ，由于 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 .
5. 四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，则此四棱锥可补形成长方体 ，如图，
1
学科网（北京）股份有限公司显然直线 是平面 与平面 的交线，由 平面 ，得 ，
因此 是平面 与平面 所成二面角的平面角，
在 中， ，则 ， ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
6. 所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局，
记该事件为事件 ，则 .
7. 设点 ，则 ，
令 ， ，
可知 的最小值即为 上的点 与 上的点 之间的距离平方的最小值，
若直线 与函数 的图象相切，设切点的横坐标为 ，
因为 ，可得 ，解得： ，
则切点为 ，且切点在 上，故 ，
点 到直线 的距离为 ，所以 ，
又因为 有解，则 ，
此时点P在 上，也在直线 在点P处的垂线即直线 上，
其中直线 在点P处的垂线的斜率为 ，
所以直线 在点P处的垂线方程为：
2即点 坐标满足 ，解得 ，即 .
8. 令 ，
设 且 ，则 ，
令 ，则 ，所以 单调递增，
则 ，故 单调递增，所以 ，
故 在 上恒成立，则 ，即 ，
由三角函数线， 时有 ，则 ，即 .
综上， .
9. 对于A，设 ( )，则 ，所以 ，
而 ，所以 成立，故A正确；
对于B，设 ( )，
当 均不为 时， 为虚数，
而 为实数，所以 不成立，故B错误；
对于C， ，则复数 对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
的几何意义为复数 对应的点 与 两点间的距离 ，
所以，如图可知，当点P为 时， 最大， 取最大值，最大值为2，故C正确；
对于D，设 ( )， （ ），
3
学科网（北京）股份有限公司由 ，则 ，
则
；
；
所以 ，故D正确.
10. 对于A：因为 ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B：因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，
因为 且 ， 在区间 单调递增，
所以 ，B正确；
对于C： ，
即 ，即 ，
所以 ，而A,B为三角形内角，
所以 或者 ，
所以 是等腰三角形或者直角三角形，C错误；
对于D：易求出 ，而 ，所以 ，
化简可得 ，解得 或者 ，
当 时此时 是最大角且 ，所以满足钝角三角形，
此时 ，
当 时此时 为最大角且 ，所以满足钝角三角形，
此时 ，所以D错误，
11. 设 ，
对于A选项， ，由余弦定理可得 ，
所以， ，所以， ，
因为 底面 ， 平面 ，则 ，
4因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，A对；
对于B选项，因为 底面 ，所以， 与平面 所成的角为 ，
且 ，又因为 为锐角，故 ，
即 与平面 所成角为 ，B错；
对于C选项，因为四边形 为平行四边形，则 ，且 ，
所以，异面直线 与 所成角为 或其补角，
因为 底面 ， 平面 ，则 ，
所以， ，则 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C对；
对于D选项，因为 底面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
所以， ，
所以，平面 与平面 夹角的余弦值为 ，D对.
5
学科网（北京）股份有限公司12. 作出 在 上的图象，如图所示：
对于A，因为 ，
又因为方程 有四个互不相等的实数根，所以 ，故A错误；
对于B，由题意可得 ， ，且有 ， ，所以 ，
故 ，当 ，即 时，等号成立，故B正确；
对于C，由题意可得 ，由A可知 ，
所以 ，故C错误；
对于D，由题意可知 与 关于直线 对称，且 ， ，所以 ，故
.
因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，在 上单调递减，
故 ,
所以 ， ，所以 .
因为 ， ，所以 ，
在 单调递增，所以 ，故 ，
6所以 的取值范围为 ，故D正确.
13. 14. 7 15. 16.
13. 因为 为锐角， ，
所以 为第二象限角，又 ，
所以
.
14. 若公差为 且 ，则 ，
由 .
15. 由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率
；
一次投球中，三人投篮均命中的概率 .
所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率 .
16. 根据题意可知， ，
由 ，可得 恒成立，
令 ，则 ，
现证明 恒成立，设 ，
，当 时，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
7
学科网（北京）股份有限公司故 时，函数 取得极小值即最小值， ，
所以 ，即 恒成立，
，
，
当且仅当 （该方程显然有解）时取等号，所以 ，即 .
所以实数 的取值范围是 .
17. （1）当 时， ； 或 ，
解 得 ，故 ，
故 ；
（2）由 得 ，
当 时， ；
当 时， ，
故 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 或 .
18. （1）因为 ，所以 不为常数，
由 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，
当 时， ，
所以， .
（2）当 时， ，
当 时，
8，①
则 ，②
①-②：
.
所以 ，
所以 .
经检验，当 时， 满足上式，
所以 .
19. （1）由题意得 ，
∴最小正周期 ，则 ，
∴ .
若选①， 为奇函数，则 ，
∴ ，即
∵ ，即 ，
9
学科网（北京）股份有限公司∴ 即 ，
∴ .
若选②，当 时 ，
∴ 即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
若选③， 是函数 的一条对称轴，
∴ 即
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ,即 ，
∵ 即 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， 的面积 ，
∴ 得 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得 .
20. （1）证明：如图所示，取 中点F，连接DF，EF，
10因为D，E，F分别为 ， ， 的中点，所以 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又因为 平面DEF，所以 平面 .
（2）解：如图所示，连接 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，且 ，
又因为D为 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，即四边形AOED为平行四边形，即 ，
因为 面 ，所以 面 .
又因为 面 ，所以 ，可得 ，
以 为原点，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，则 ，
可得 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ,
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
11
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
21. （1）由散点图可以判断， 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将 两边同时取自然对数，可得 ，
由题中的数据可得， ， ，
所以 ，
则 ，
所以z关于x的线性回归方程为 ，
故y关于x的回归方程为 ；
（3）用 ， 和 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为 万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为 万，
如果发生，则收益为 万，即 ，
同样，采用第3种方案，有
所以， ，
12，
.
显然， 最大，所以选择方案1最佳.
22. （1）设函数 ，
则 ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，
所以 ，从而 ，即 ；
（2）设函数 ，
当 时， ， ，则 恒成立，
则由 ，得 ，
又 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ,
要证 ，只需证 ，
即证 .
因为 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，从而 得证.
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