文档内容
合肥一中 2024~2025 学年度高三第二次教学质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两
位．
2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清
晰．作图题可先用铅笔在答
．
题
．
卷
．
规定的位置绘出，确认后再用 0.5毫米的黑色墨水签字笔描
清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿
．．．．．．．．．．．．． ．．．． ．．
纸
．
上
．
答
．
题
．
无
．
效
．
．
4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合M ={−2,−1,0,1,2 }，N = { y y =log ( x2 +1 )} ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
2
A．{−2,−1 } B．{−2,−1,0 }
C．{
0,1,2
} D．{−1,0 }
2．命题“∃x∈R，使x2 +x−1≠0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，使x2 +x−1=0 B．不存在x∈R，使x2 +x−1≠0
C．∀x∉R，使x2 +x−1=0 D．∀x∈R，使x2 +x−1=0
xsinx
3．函数 f ( x )= 的部分图象大致为（ ）
x3+1
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．“曲线y =lnx恒在直线y = x+b的下方”的一个充分不必要条件是（ ）
A．b>−1 B．−e0 )的图象关于直线x= 对称，且 f ( x )在0, 上没有最小
4 6 4
值，则ω的值为（ ）
3 9 15
A． B．4 C． D．
2 2 2
8．已知O是△ABC内一点，且OA+OB+OC =0，点M 在△OBC内（不含边界），若
AM = xAB+ yAC，则x+2y的取值范围是（ ）
1 2 5
A． ,1 B． ,1 C．( 1,2 ) D．1,
2 3 2
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0
分．
9．已知平面向量a =( 2,m )，b =( 1,−1 )，且 a+2b = a−2b ，则（ ）
π
A．m=2 B． a,b = C．a ⊥b D． a =2 2
3
10．已知b>1，若对任意的x∈( 1,+∞)，不等式ax3+4x2 −abx−4b≤0恒成立，则（ ）
A．a<0 B．a2b=16
C．a2 +16b的最小值为32 D．a2 +ab+4a+b的最小值为−8
11．已知函数 f ( x )的定义域为R，函数F ( x )= f ( 1+x )−( 1+x )为偶函数，函数G ( x )= f ( 2+3x )−1
为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f ( x )的一个对称中心为( 2,1 )
B． f ( 0 )=−1
C．函数 f ( x )为周期函数，且一个周期为4
D． f ( 0 )+ f ( 1 )+ f ( 2 )+ f ( 3 )+ f ( 4 )=5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
π 4
12．已知tan α+ =− ，则cos2α=______．
4 3
log x ,x>0
2
13．已知函数 f ( x )=1 ，方程 f ( x )=a有四个不同根x ，x ，x ，x ，且满足
x2 +x+2,x≤0 1 2 3 4
4
x x2( x +x )
x < x < x < x ，则 4 − 3 1 2 的最大值为______．
1 2 3 4 x 2
3
14．定义max { x,y }表示实数x，y中的较大者，若a，b，c是正实数，则
1 2 3
maxa, +maxb, +maxc, 的最小值是______．
b c a
四、解答题：本题共 5小题，第 15题满分 13分，第 16题、第 17题满分 15分，第 18题、
第 19题满分 17分，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
学科网（北京）股份有限公司a2 +b2 −c2
( c−2b ) cosA+ =0．
2b
（1）若a =4，b+c=8，求△ABC的面积；
c
（2）若角C为钝角，求 的取值范围．
b
16．（15分）已知函数 f ( x )= xlnx+( a−1 ) x ( a∈R )．
1
（Ⅰ）当a =0时，关于x的方程 f ( x )=m在区间 ,3 内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范
2
围；
1
（Ⅱ）求函数 f ( x )在区间
,e
上的最小值．
e
17．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从
高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座
舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H 关
于t的函数解析式；
（2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单
位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．
θ+ϕ θ−ϕ π π
参考公式：sinθ+sinϕ=2sin cos ．参考数据：sin ≈0.2079，sin ≈0.0654．
2 2 15 48
18．（17分）
已知函数 f ( x )=sinx．
（1）当x≥0时， f ( x )≤ax，求实数a的取值范围；
π
（2）若0<α<β< ，求证： f (β)− f (α)<(β−α) cosα；
2
（3）若n∈ *，a =0，a ,a ,,a 为正实数，且a +a ++a =1，求证：
0 1 2 n 1 2 n
学科网（北京）股份有限公司n a π
1≤∑ i < ．
1+a +a ++a a +a ++a 2
i=1 0 1 i−1 i i+1 n
19．（17分）
{ }
已知实数集X ={ x ,x ,,x }，定义：X ⊗X = x x x ,x ∈X （x 与x 可以相同）．记 X 为集合
1 2 n i j i j i j
X 中的元素个数．
（1）若X ={ 1,2,3,6 }，请直接给出X ⊗X 和 X ⊗X ；
（2）若x ,x ,,x 均为正数，且 X ⊗X =300，求 X 的最小值；
1 2 n
（3）若 X =11，求证： X ⊗X ≥17．
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数学参考试卷
1．A
【详解】N = { y y≥0 } ，所以阴影部分M ( N )={−2,−1 }．故选：A．
R
2．D
【详解】命题“∃x∈R，使x2 +x−1≠0”的否定是∀x∈R，使x2 +x−1=0．故选：D．
3．A
xsinx
【详解】易知函数 f ( x )= 的定义域为 { x x≠−1 } ，故可排除C，D；
x3+1
π π 2
− sin − π
π π 4 4 8
又− >−1， f − = = >0，所以可排除B，故选：A．
4 4 π 3 π 3
−
+1
−
+1
4 4
4．C
【详解】由曲线y =lnx恒在直线y = x+b下方，可得lnx< x+b，
b>lnx−x恒成立，即b>−1
所以“曲线y =lnx恒在直线y = x+b的下方”的充要条件是b>−1，故选：C．
5．C
I 2
【详解】依题意得， D =40%=e−6K，化成对数式，−6K =ln =ln2−ln5≈−0.9，
I 5
0
解得，K ≈0.15．故选：C．
6．C
学科网（北京）股份有限公司( )
【详解】因为a =2 3，且( sinA−sinB ) b+2 3 =c ( sinB+sinC )，
所以( sinA−sinB )( a+b )=c ( sinB+sinC )，
由正弦定理，可得( a−b )( a+b )=c ( b+c )，即a2 =b2 +c2 +bc，
b2 +c2 −a2 1 2π
所以cosA= =− ，又因A∈( 0,π )，所以A= ，
2bc 2 3
a 2 3
所以△ABC外接圆的半径为 = =2．S =π⋅22 =4π．故选：C．
2sinA 3
2×
2
7．A
π π π π π
【详解】由 f ( x )=sin ωx+ (ω>0 )的图象关于直线x= 对称可得ω + =± +kπ，k∈Z，
4 6 6 4 2
3 9
解得ω= +6k或ω=− +6k，k∈Z，
2 2
π π 5π 3
由于 f ( x )在0, 上没有最小值，所以 ≤ ⇒0<ω≤5，所以ω= ，故选：A．
4 4 4ω 2
8．C
【详解】因为△ABC内一点，OA+OB+OC =0，
所以O为△ABC的重心，
又M 在△OBC内（不含边界），且当M 与O重合时，x+2y最小，
2 1( ) 1 1
此时AM =λAB+µAC = ×
AB+ AC
= AB+ AC
3 2 3 3
1
所以x= y = ，即x+2y =1，
3
当M 与C重合时，x+2y最大，
此时AM = AC，
所以x=0，y =1，即x+2y =2，
因为M 在△OBC内且不含边界，
所以取开区间，即x+2y∈(
1,2
)，故选：C．
二．多选题
学科网（北京）股份有限公司9．ACD
【详解】由a =( 2,m )，b =( 1,−1 )，
可得a+2b =( 4,m−2 )，a−2b =( 0,m+2 )，
由 a+2b = a−2b ，可得16+( m−2 )2 =( m+2 )2 ，
解得m=2，故A正确；
由a =( 2,2 )，可得 a = 4+4 =2 2，故D正确；
a⋅b 2−2
又cos a,b = = =0，
a b 2 2× 2
π
则 a,b = ，a ⊥b ，故B错误，C正确．故选：ACD．
2
10．ABD
【详解】因为ax3+4x2 −abx−4b≤0，即( ax+4 )( x2 −b ) ≤0恒成立，
又因为b>1，x>1，
所以当1< x< b时，x2 −b<0，当x> b 时，x2 −b>0，
因为对任意的x∈( 1,+∞)，不等式ax3+4x2 −abx−4b≤0恒成立，
所以当0< x< b时，ax+4≥0，当x> b 时，ax+4≤0，
所以对于函数y =ax+4，必有a<0，单调递减，且零点为x= b ，
所以a b +4=0，所以a2b=16，
所以A正确，B正确；
4
对于C，因为a b +4=0，所以a=− ，
b
16 16
所以a2 +16b= +16b≥2 ⋅16b =32，
b b
16
当且仅当 =16b，即b=1时取等号，与条件不符，所以C错误；
b
16 16 16 16
对于D，a2 +ab+4a+b= −4 b − +b= +b − 4 b +
b b b b
学科网（北京）股份有限公司2
16 4 4 4
= +b −4 b + = b + −4 b + −8，
b b b b
4
令m= b + ，则m≥4，当且仅当b=4时，等号成立．
b
则原式=m2 −4m−8 ( m≥4 )，
由二次函数的性质可得y =m2 −4m−8 ( m≥4 )的最小值为−8，
此时b=4，a=−2，所以D正确，故选：ABD．
11．ABD
【详解】对于A，因为G ( x )= f ( 2+3x )−1为奇函数，所以G (−x )=−G ( x )，
即 f ( 2−3x )−1=−
f ( 2+3x )−1
，所以 f ( 2−3x )+ f ( 2+3x )=2，
所以 f ( 2−x )+ f ( 2+x )=2，所以函数 f ( x )的图象关于点( 2,1 )对称，所以A正确，
对于B，在 f ( 2−x )+ f ( 2+x )=2中，令x=0，得2f ( 2 )=2，得 f ( 2 )=1，
因为函数F ( x )= f ( 1+x )−( 1+x )为偶函数，所以F (−x )= F ( x )，
所以 f ( 1−x )−( 1−x )= f ( 1+x )−( 1+x )，所以 f ( 1+x )− f ( 1−x )=2x，
令x=1，则 f ( 2 )− f ( 0 )=2，所以1− f ( 0 )=2，得 f ( 0 )=−1，所以B正确，
对于C，因为函数 f ( x )的图象关于点( 2,1 )对称， f ( 0 )=−1，
所以 f ( 4 )=3，所以 f ( 0 )≠ f ( 4 )，所以4不是 f ( x )的周期，所以C错误，
对于D，在 f ( 2−x )+ f ( 2+x )=2中令x=1，则 f ( 1 )+ f ( 3 )=2，
令x=2，则 f ( 0 )+ f ( 4 )=2，因为 f ( 0 )=−1，所以 f ( 4 )=3，
因为 f ( 2 )=1，所以 f ( 0 )+ f ( 1 )+ f ( 2 )+ f ( 3 )+ f ( 4 )=5，所以D正确，故选：ABD．
三．填空题（共 1小题）
24
12．− ．
25
π 4
【详解】因为tan α+ =− ，
4 3
tanα+1 4
所以 =− ，可得tanα=7，
1−tanα 3
学科网（北京）股份有限公司cos2α−sin2α 1−tan2α 1−72 24
则cos2α= = = =− ．
cos2α+sin2α 1+tan2α 1+72 25
24
故答案为：− ．
25
129
13． ．
8
x +x
【详解】作出函数图像可得 1 2 =−2，−log x =log x
2 2 3 2 4
1
从而得x x =1，且−log x ∈( 1,2 ]，从而得 ∈( 2,4 ]，
3 4 2 3 x
3
1 x2( x +x ) 1
∴原式= − 3 1 2 = +2x2，
x2 2 x2 3
3 3
1 1 1
令 y = +2x2， ∈( 2,4 ]，∴ ∈( 4,16 ]，
x2 3 x x2
3 3 3
1 2
令t = ，则 f ( t )=t+ ，t∈( 4,16 ]，
x2 t
3
( ) 9 129
f ( t )在 2,+∞ 单调递增，∴ f ( t )∈ , ，
2 8
129
∴最大值为 ．
8
14．2 5
3 3 1 2 3
【详解】按c≤ 和c≥ 分类：记M =maxa, +maxb, +maxc, ，
a a b c a
3 2 3 2a 3 5a 3 5a 3
当c≤ 时，M ≥a+ + ≥a+ + = + ≥2 ⋅ =2 5，
a c a 3 a 3 a 3 a
学科网（北京）股份有限公司3 2
当且仅当a= ，b= ，c= 5时，等号成立；
5 5
3 2 3 2 5 5
当c≥ 时，M ≥a+ +c≥ + +c= +c≥2 ⋅c =2 5，
a c c c c c
3 2
当且仅当a= ，b= ，c= 5时，等号成立．
5 5
综上所述，M 的最小值是2 5．
四．解答题
15．（13分）【详解】（1）由( c−2b ) cosA+acosC =0和正弦定理得，
( sinC−2sinB ) cosA+sinAcosC =0，
因sinCcosA+sinAcosC =sin ( A+C )=sin ( π−B )=sinB，
则有sinB ( 1−2cosA )=0，
1 π
因0< B<π，sinB>0，则cosA= ，又0< A<π，故A= ．
2 3
由余弦定理，a2 =b2 +c2 −2bccosA，代入得，b2 +c2 −bc=16，
因b+c=8，则有( b+c )2 −3bc=16，即得bc=16，
1 1 3
故△ABC的面积S = bcsin A= ×16× =4 3．
2 2 2
b c c sinC 2π
（2）由正弦定理， = 可得 = ，因C = −B，
sinB sinC b sinB 3
2π 3 1
sin −B cosB+ sinB
c sinC 3 2 2 3 1
代入化简得： = = = = + ．
b sinB sinB sinB 2tanB 2
π
0< B<
2 π
因C为钝角，故由 可得0< B< ，
2π π 6
−B>
3 2
3 3 3 c c
则0 ，即 >2，故 的取值范围是( 2,+∞)．
3 2tanB 2 b b
学科网（北京）股份有限公司16．（15分）【详解】（Ⅰ）当a =0时， f ( x )= xlnx−x， f′( x )=lnx+1−1=lnx，
f′( x )>0 lnx>0 f′( x )<0
1
∴由1 ⇔ 1 ⇔1< x≤3，1 ⇔ ≤ x<1，
≤ x≤3
≤ x≤3
≤ x≤3 2
2 2 2
故可列表：
1 1
x ,1 1 ( 1,3 ) 3
2 2
y′ − 0 +
1 1
y − ln2− −1 3ln3−3
2 2
1 1
− ln2− <0<3ln3−3，
2 2
1 1 1
∴关于x的方程 f ( x )=m在区间
,3
内有两个不相等的实数根时−10 )，由 f′( x )=0得x=e−a．
1 1
①当e−a < ，即a>1时， f′( x )>0， f ( x )在
,e
上为增函数，
e e
1 a−2
f ( x ) = f = ；
min e e
1 1
②当 ≤e−a ≤e，即−1≤a≤1时，在
,e−a
上 f′( x )<0， f ( x )为减函数，
e e
在
e−a,e
上 f′( x )>0， f ( x )为增函数， f ( x ) = f ( e−a ) =−e−a；
min
1
③当e−a >e，即a<−1时， f′( x )<0， f ( x )在
,e
上为减函数， f ( x ) = f ( e )=ea．
e min
a−2
,a >1
e
综上所述， f ( x ) =−e−a,−1≤a≤1．
min
ea,a<−1
17．【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立
直角坐标系．
学科网（北京）股份有限公司π
（1）设t =0min时，游客甲位于点P ( 0,−55 )，以OP为终边的角为− ；
2
π
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约 rad min，
15
π π
由题意可得H =55sin t− +65，0≤t ≤30．
15 2
2π π
（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB= = ．
48 24
π π
经过tmin后甲距离地面的高度为H =55sin t− +65，
1 15 2
π π 13π
点B相对于点A始终落后 rad，此时乙距离地面的高度为H =55sin t− +65．
24 2 15 24
则甲、乙距离地面的高度差
π π π 13π π π 13π π
h= H −H =55sin t− −sin t− =55sin t− +sin − t ，
1 2 15 2 15 24 15 2 24 15
θ+ϕ θ−ϕ π π π
利用sinθ+sinϕ=2sin cos ，可得h=110 sin sin t− ，0≤t ≤30．
2 2 48 15 48
π π π 3π π
当 t− = （或 ），即t ≈7.8（或22.8）时，h的最大值为110sin ≈7.2．
15 48 2 2 48
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
π π 2
18．（17分）【详解】（1）首先， f =1≤ a，故a≥ ，
2 2 π
设g ( x )=ax−sinx，则∀x≥0，g ( x )≥0，由g′( x )=a−cosx，
可知当a≥1时，g′(
x
)≥0，g (
x
)在区间[ 0,+∞]上单调递增，故g (
x
)≥
g
(
0
)=0，满足；
学科网（北京）股份有限公司2 π π
当 ≤a<1时，由g′( x )在区间0, 上单调递增，且g′( 0 )=a−1<0，g′ =a>0，
π 2 2
π
故存在x ∈ 0, ，使得g′( x )=0，且x∈( 0,x )时，g′( x )<0，g ( x )单调递减，
0 2 0 0
此时，g ( x )< g ( 0 )=0，与题设矛盾．
综上所述，实数a的取值范围[ 1,+∞)．
（2） f (β)− f (α)<(β−α) cosα⇔ f (β)−βcosα< f (α)−αcosα
π
由0<α<β< ，可知βcosα>βcosβ，即 f (β)−βcosα< f (β)−βcosβ
2
故只要证 f (β)−βcosβ< f (α)−αcosα
π
设g ( x )= f ( x )−xcosx，x∈ 0, ，则g′( x )=cosx−( cosx−xsinx )= xsinx>0，
2
π
在g ( x )区间0, 上单调递增，即g (α)< g (β)，
2
f
(β)−βcosβ<
f
(α)−αcosα，故原不等式成立．
（3）一方面，由于a =0 z y >> z y > z y > z y >> z y 是X ⊗X 中的k+l−1=10个元素，且非正数；
1 1 1 2 1 k 2 k 3 k l k
学科网（北京）股份有限公司又 y y < y y < y y < y y < y y < y y < y y 是X ⊗X 中的7个元素，且为正数，
2 3 2 4 2 5 2 6 3 6 4 6 5 6
故X ⊗X 中元素不少于17个，
即 X ⊗X ≥17；
{ } { }
另外，当X = 0,±1,±2,±22,±23,±24 时，X ⊗X = 0,−1,±2,±22,±23,±24,±25,±26,±27,−28
满足 X ⊗X =17，
故 X ⊗X ≥17．
学科网（北京）股份有限公司
