文档内容
2023-2024 学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试
高二数学试卷
命题学校：武汉市吴家山中学 命题教师：邱道 审题教师：胡显义
考试时间：2024年6月27日 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 是可导函数，且 ，则 在 处 的切线的斜率等于（ ）
A. 2 B. C. D.
的
3. 已知变量 与 数据如下表所示，若 关于 的经验回归方程是 ，则表中 （
）
1 2 3 4 5
10 11 13 15
A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13
4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，
回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ）
A. 24 B. 36 C. 54 D. 60
5. 的展开式中 的系数是（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
6. 柯西分布（Cauchy distribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量 服从柯西分
布为 ，其中当 ， 时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为
．已知 ， ， ，则 （
）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，则“ 有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 ,若 ,则 的最小值等于( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“对任意 ， ”的否定是“存在 ，使得 ”
B. “ ”的充分不必要条件是“ ”
C. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件D. 设 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
10. 将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（
）
A. 共有256种放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有72种放法
C. 恰有两个盒子不放球，共有84种放法
D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种
11. 下列选项中正确的是（ ）
A. 已知随机变量 服从二项分布 ，则
B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量
，则 的数学期望
的
C. 某射击运动员每次射击击中目标 概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次
D. 设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某市的5个区县 ， ， ， ， 地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，
且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有______种．
13. 某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道 类试题，6道 类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对 这3类试题的概率分别为 ， ， ，学生甲答对试题的概
率为______．
14. 若对任意的 ，且 ， ，则 的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设命题 ，使得不等式 恒成立；命题 ，不等式
成立．
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围．
16. ， ，
， 这组公式被
称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历
史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用
在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进
行考查，其中高三年级的学生占 ，其他相关数据如下表：
合格 不合格 合计
高三年级的学生 54
高一年级的学生 16
合计 100（1）请完成2×2列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在
年级”是否有关？
（2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为 ，求 的分布列和数学
期望.
附： ，
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17. 甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1
分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立．
（1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率；
的
（2）若比赛共进行了三局，求甲得3分 概率；
的
（3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数 分布列与数学期望．
18. 已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若关于 的方程 有两根 （其中 ），
①求 的取值范围；
②当 时，求 的取值范围.
19. 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有 份血液样本（数量足够
大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验 次；方式二：混合检验，将其中 份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这 份血液
样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液
样本再分别化验一次，检验总次数为 次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概
率均为 ．
（1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验
就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中 份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ；采用
混合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求 关于 的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ， ， ， ， ．
