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丰城九中 2024-2025 学年高三上学期数学第一次段考试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设半径为 的圆内接正 边形的周长为 ，圆的直径为 ，解三角形求正六边形的周长，由
可得结论.
【详解】设圆的半径为 ，该圆的内接正 边形的周长为 ，圆的直径为 ，
则 ，
如图连接圆心与正六边形的各顶点，
由正六边形的性质可得 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又
所以，当 时， .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司2. 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案.
【详解】 是增函数，
又 ，
，
又 是增函数，
则 ，故充分性成立；
是增函数， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
是
又 增函数，
，故必要性成立.
即“ ”是“ ”的充要条件.
故选： .
4. 若函数 在 处有最小值 ，则常数 、 的值是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，利用辅助公式、差角的正弦公式进行求解.
【详解】由题意得：
，其中 ，
∵ 在 处有最小值−2，
∴ ，且 ，
解得 ，令 ，得 ，
∴ ，
∴ .故A，B，C错误.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知函数 满足对任意实数 ，都有 成立，则 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知函数 在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.
【详解】因为函数 满足对任意实数 ，都有 成立，
不妨假设 ，则 ，可得 ，即 ，
可知函数 在R上递减，
则 ，解得： ，
所以 的取值范围是 .
故选：D.
6. 嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固
定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数
的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 为奇函数 B. 的最大值是
C. 在 上单调递增 D. 方程 有2个实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即
可判断ABC；对D解出 ，再结合指数函数性质即可判断.
【详解】对A，∵ ，则 为偶函数，A错误；
对BC，又∵ ，根据 ，在R上均单调递增，
则在 在R上单调递增，且 ，
则当 时，则 ，当 时，则 ，
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，故C错误；
则 ，即 的最小值为 ，B错误；
对D，法一：因为 为偶函数，且最小值为 ， ，
并且根据C中 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，且 时， ，
所以 有2个实数解，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司法二：令 , ，
再结合指数函数性质知方程 有2个实数根,故D正确.,
故选：D
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解即可.
【详解】 ， ，
，
， ， ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故选：A.
8. 已知函数 满足 且 ，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司，则函数 在区间 上的零点个数为（ ）
.
A 0 B. 1 C. 5 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出函数图象找交点个数即可.
【详解】由题意，知4为函数 的一个周期且函数 的图象关于直线 对称．
当 时，由函数 的解析式，两出函数 的大致图象如图所示．
当 时，函数 的图象与函数 的图象有且仅有一个交点；
当 时，总有 ．而函数 在区间 上单调递增且 ，
，
所以函数 的图象与函数 的图象在区间 上没有交点．
综上，函数 在区间 上的零点个数为1．
故选：B．
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
二、多选题（每小题6分，共18分）
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学科网（北京）股份有限公司9. 已知函数 的一个零点到一条对称轴的最小距离为 ，则下列说法中正确
的是（）
A.
B. 是函数 的一条对称轴
C. 的对称中心为
D. 在 的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出 ,再由周期的计算公式求出 ，由
此可知 的表达式，进而可求 的对称轴、对称中心，及 时的值域.
【详解】对于A,由题意得 ,则 ,
所以 ,故 正确;
对于 时, ,故B错误;
对于C,由 ,解得 ,
所以函数 的对称中心为 ，故 正确;
对于 时, ,
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学科网（北京）股份有限公司所以当 ，即x=1时， ,
当 ，即 时， ,
所以 ,故 正确.
故选: .
10. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
的
A. 若 是 上 增函数，则
B. 当 时，函数 有两个极值
C. 当 时，函数 有两零点
D. 当 时， 在点 处的切线与 只有唯一个公共点
【答案】AB
【解析】
【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对 B：借助导数研究函数的单调性即可得；
对C：举出反例即可得；对D：计算出 在点 处的切线方程后，联立 ，解出方程即可得.
【详解】对A： ，由 是 上的增函数，
则有 恒成立，即 ，解得 ，故A正确；
对B：由 ，则当 时， ，
故 有两个不等实根，设这两个根分别为 且 ，
则当 时， ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 有两个极值 ，故B正确；
对C：令 ，
对 ，有 ，若 ，则 ，
此时 有两个非零不等实根，即 有三个零点，故C错误；
对D：当 时， ，则 ，
，由 ，则 在点 处的切线为 ，
令 ，即有 ，解得 或 ，
故 在点 处的切线与 有两个公共点，故D错误.
故选：AB.
11. 已 知 函 数 与 的 定 义 域 均 为 ， ， 且
为偶函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于 对称 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．利用偶函数的性质，结合赋值法即可得解；B．利用赋值法即可得解；CD．利用抽象函数的
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学科网（北京）股份有限公司奇偶性、对称性与周期性得到 与 的周期均为4，进而求得 与 ，从而得解．
【详解】A． 为偶函数， ，
即有 ，则 的图象关于 对称，A正确，符合题意；
B． ，令 ，可得 ，
又 ， ， B正确，符合题意；
C． ， ， ，
①， ②，
将①②式分别与 联立，化简得：
， ，
， ，
， ，即 与 的周期均为4，
， ，
， ，
又 函数 的图象关于 对称，
， ，
， C错误，不符合题意；
D．又 ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
， D正确，符合题意．
故选：ABD．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，解得 ，而 ，
故答案为：
13. 已知函数 ，若 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数的解析式及 ，可得 ，再代入 ，利用基本
不等式求解好即可.
【详解】解：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用基本不等式时，注意三个条件缺一不可.
14. 已知函数 ，若关于x的不等式 的解集中有且仅有
2个正整数，则实数a的取值范围为________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】原不等式 的解集有且只有两个整数解等价于 的解集中有且仅有两个正整数，
利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围.
【详解】设 ，则 ，
而 的定义域为 ，故 为 上的奇函数，
（不恒为零），故 为 上的单调减函数，
又 即为： ，
也就是 ，故 ，
故 的解集中有且仅有两个正整数，
若 ，则当 时， ，
此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意；
若 ，因为 ， ，
故 的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3，
不妨设 ，则 的解集中有且仅有两个正整数，
设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 在 上为增函数，由题设可得 ，
故 ，
故答案为： .
【点睛】思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数
图像的位置关系来处理.
四、解答题
15. 已知函数 是定义在R上的奇函数 ．
（1）求 的解析式；
（2）求当 时，函数 的值域．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答.
（2）由（1）的结论，求出函数 的解析式，结合二次函数求出值域..
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由函数 是 上的奇函数，则有 ，解得 ，即 ，
， ，
即 ， ，解得 ，经验证得 ， 时， 是奇函数，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，
当 时， ，因此当 时， ，当 时， ，
所以所求值域为 .
16. 已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得函数图象上
各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.
（1）求 的解析式；
（2）若关于 的方程 在区间 上有且只有两个实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得 .
（2）根据 在区间 上的图象列不等式来求得 的取值范围.
【小问1详解】
将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，
得到 的图象，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
，即 在区间 上有且只有两个实数解，
于是函数 与 的图象在区间 上有且只有两个交点，
，
，所以 .
画出 在区间 上的图象如下图所示，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 .
所以实数 的取值范围是 .
的
17. 丰义村位于海盐县通元镇，在村民 共同努力下近年来先后获得“浙江省新时代美丽乡村精品村”和“全
国乡村治理示范村”称号，完成了从传统自然村落到网红景区村的华丽变身．目前村里有一块三角形区域
待开发使用，其中 （单位：百米）．现规划于该区域中建造一座观景亭
，始终满足 ．
（1）求区域 的最大面积；
（2）当 时，求 的值；
（3）若打算从观景亭出发铺设三条垂直到达区域边界的景观道，其中到达边界 的景观道造价为1百
元/米，到达边界 的景观道造价为 百元/米．目前村委会筹集到2万元项目资金，问：这部分资
金能否保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） （百米 ）
（2）
（3）这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工
【解析】
【分析】（1）根据锐角三角函数可得 即可由三角函数的性质求解最值，
（2）由余弦定理即可求解，
（2）根据三角恒等变换得 ，即可由三角函数的最值求解.
【小问1详解】
记 ，则 （百米 ）．
当且仅当 ，即 取等号，
故最大值为
【小问2详解】
此时 ，
在 中， ．
【小问3详解】
易得 ，
记造价为 万元，则
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学科网（北京）股份有限公司，（ 时取到最大值）
故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工．
18. 已知 是定义在区间 上的奇函数，且 ，若 ， 时，有
.
（1）证明函数 在 上单调递增；
（2）解不等式 ；
（3）若 对所有 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）不等式的解集为
（3）实数 的取值范围
【解析】
【分析】（1）设 且 ，再利用函数的奇偶性和已知的条件，结合单调性定义即可证
得结论；
（2）利用函数的单调性解不等式即可得解；
（3）将已知变形为 恒成立，设 ,对 ， 恒成立，即
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学科网（北京）股份有限公司,解不等式组求得 的取值范围.
【小问1详解】
且 ，
则 ，
因为 ， ，
由已知可得 ， ，
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增；
【小问2详解】
因为 ，又 在 上为增函数，
所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ；
【小问3详解】
由 在 上为增函数，所以 ， ，
所以 对所有 ， ， 恒成立，
等价于 对任意 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，对 ， 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 或 或 ，
所以实数 的取值范围 .
【点睛】方法点睛：二次函数的“轴动区间定”求参数范围问题，可转化为关于参数的一次函数问题，借
用一次函数的图象和性质去分析问题更简便.
19. 若 函 数 在 上 存 在 ， 使 得 ，
，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为 在 上的中值点.
（1）判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的
“双中值函数”， 是 在 上的中值点.
①求 的取值范围；
②证明： .
【答案】（1） 是 上的“双中值函数”，理由见解析
（2）①(0,+∞)；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；
（2）①根据定义知 ，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条
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学科网（北京）股份有限公司件先转化问题为 ，构造差函数 ，利用多次求导判定其单调性去函数
符号即可证明.
【小问1详解】
函数 是 上的“双中值函数”．
理由如下：
因为 ，所以 .
因为 ， ，所以
令 ，得 ，即 ，解得 .
因为 ，所以 是 上的“双中值函数”.
【小问2详解】
①因为 ，所以 .
因为 是 上的“双中值函数”，所以 .
由题意可得 .
设 ，则 .
当 时， ，则 为减函数，即 为减函数；
当 时， ，则 为增函数，即 为增函数.
故 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ；
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学科网（北京）股份有限公司②证明：不妨设 ，
则 ， ，即 ， ．
要证 ，即证 ．
设 ，
则 ．
设 ，则 ，
所以φ(x)在(0,1)上单调递增，所以 ，所以 ，
则 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
由①可知 在 上单调递增，所以 ，即 得证．
【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转
化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元
转化证明 ，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
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学科网（北京）股份有限公司
