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2025 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高二数学试卷
命题学校：红安一中 命题教师：汪胜桥
审题学校：罗田一中 审题教师：张 晖
考试时间：2025 年 4 月 10 日下午 15：00-1700 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合要求.
1. 已知函数 在 处的导数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 25
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 当实数 变化时，方程 表示的曲线不可能是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
5. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3 月 12 日这天高二年级 1 至 6 班共 6 个班级决
定去 3 个不同林场植树，若要求每组 2 个班，且 1 班 2 班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ）
A. 48 B. 36 C. 18 D. 12
6. 若 在 上恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A B. 1 C. D.
7. 已知函数 的导函数 为偶函数，函数 为偶函数， ， ，则
（ ）
第 1页/共 4页A B. C. D.
8. 已知 元一次方程 （ ， ， ， ）的正整数解的个数为 ，
则方程 满足 （ ）的整数解的个数为（ ）
A. 35 B. 56 C. 84 D. 120
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
距求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 设数列 ， 均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（ ）
A B. C. D.
10. 已知椭圆 的离心率为 ，焦点为 ， ，左右顶点分别为 ， ， 为椭
圆 上的动点，则（ ）
A.
B.
C. 当 与 ， 不重合时，
D. 设 在 轴上的射影为 ，且 ，则点 的轨迹方程是
11. 已知函数 ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数 可能无零点
B. 若 ，则函数 可能存在最值
C. 若函数 存 两个极值点，则 且
D. 若 是函数 的极大值点，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 展开式中 的系数为______.
13. 若数列 满足 ， ， ，设数列 的前 项和为 ，则当
取最大值时， _____.
第 2页/共 4页14. 设 为原点，双曲线 的方程是 （ ， ），离心率 . 直线
与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，与圆 相切于点 .若 ，
，则直线 的斜率为_____，双曲线 的实轴长为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设等轴双曲线 的焦点在 轴上，焦距为 ，点 （ ）在曲线 上.
（1）求双曲线 的标准方程.
（2）若 ，证明数列 是等差数列.
（3）在（2）的条件下，若数列 为正项数列，求数列 的前 项和 .
16. （1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒 2》等 6 部备受瞩目的大片，某天 3 个家庭同时来观看电
影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？
（2）某市 2025 年初科创展览会上， ， ， 三家科技公司分别推出了 2 件，3 件，3 件机器人进行展览，
工作人员需要把 8 台不同型号的机器人排成一排，要求 公司的产品相邻， 公司的产品不相邻，共有多
少种排法？
（3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分
别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，
丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有
可能的出场顺序数.
17 已知函数 ， .
（1）讨论 的单调性.
（2）证明：当 时， .
18. 已知平面上动点 的坐标满足 ， ， .
（1）求点 的轨迹方程 .
第 3页/共 4页（2）设点 为直线 上的任意一点，过点 作曲线 的两条切线 ， .
（ⅰ）证明：直线 过定点 .
（ⅱ）设 为原点， ， 的面积分别为 ， ，令 ，当点 在 轴下方时，求 的
最大值.
19. “勤于思考，乐于探索，勇于创新”是学习数学的必备思维品质.某同学在学习了“杨辉三角”后发现杨辉三
角与数列紧密相关，自主构造了下述数阵.数阵的第一行是 （ ）个连续的自然数，从第二行起每一行
的数字均等于它肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数字.
请仔细观察数阵，解决下列问题：
（1）求数阵中数字为奇数的项数 .
（2）设数阵第 行的第一个数字为 ，请直接写出 与 的等量关系，并求 .
（3）设数阵所有行第一个数字之和为 ，试判断 与 的大小关系，并说明理由.
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