文档内容
名校联盟•2025 年上学期高二开学质量检测
数学
本试卷共 4 页．全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 在 轴的截距为（ ）
A. -3 B. C. D. 3
2. 已知椭圆的长半轴长等于焦距的 3 倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列 为等比数列，若 ， 是方程 两个不相等的实数根，则 （ ）
A 5 B. C. 4 D.
5. 已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则 与平面 所成角
的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，若曲线 在点 处 切线与直线 平行，则函数 的
所有极值之积为（ ）
第 1页/共 4页A B. C. D.
7. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过 作斜率为正且与双曲线 的
某条渐近线垂直的直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系 中，已知直线 与 交于点 ，点
是抛物线 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全音选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知在正项等比数列 中， ， ，则（ ）
A. 的公比为 2 B. 的通项公式为
C. D. 数列 为递增数列
10. 若方程 所表示的曲线为 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 曲线 可能是圆
B. 若曲线 为椭圆，则 且
C. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
D. 若曲线 为双曲线，则
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 上是增函数
第 2页/共 4页B. 的极大值点为 ，
C. 有唯一的零点
D. 的图象与直线 相切的点的横坐标为 ，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，设直线 ， ，若 ，则 ______．
13. 已知抛物线 的准线是圆 与圆 的公共弦所在的直线，则抛物线 的
标准方程为______．
14. 将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到数列 ，则使得 成立的
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．
15. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
16. 已知圆 关于 轴对称且经过点 和 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 直线 与圆 交于 ， 两点；若 ，求直线 的方程．
17. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
第 3页/共 4页18. 已知函数 ，定义域为 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求当函数 有且只有一个零点时， 的取值范围.
19. 已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，左，右顶点分别为 ， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，若点 是椭圆 上的一点，求 的最小值；
（3）已知直线 的斜率存在，且与椭圆 交于 ， 两点（ ， 与 ， 不重合），直线 斜率为
，直线 斜率为 ，若 ，请问直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说
明理由．
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