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新高中创新联盟 TOP 二十名校高三 10 月调研考试
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合A＝｛x｜（x－1）（x＋2）≥0｝，B＝｛x｜y＝ x＋1｝，则（ A）
U
∩B＝
A．｛x｜－1≤x＜2｝ B．｛x｜－1≤x＜1｝
C．｛x｜x＞－2｝ D．｛x｜－2≤x＜1｝
π π
2．“－ ＜x＜ ”是“角x的终边落在第一或第四象限”的
2 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
x－1
3．不等式 ＜0的解集为
x2－2x＋3
A．R B．｛x｜x＞1｝ C．｛x｜x＜1｝ D．｛x｜x＜－1｝
4．已知命题p：∀x∈R，2x＋1＞0；命题q：∃x∈Z，x2＋2是素数（素数是指只有1和它
本身两个因数的数），则
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
ax2－4ax－3，x＜1，
5．已知函数f（x）＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围为
lnx，x≥1
A．（0，1］ B．［－1，0）
C．（－∞，－1）∪（0，＋∞） D．（－l，＋∞）
1
学科网（北京）股份有限公司6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为
A．f（x）＝e ｜x｜－ln｜x｜
1
B．f（x）＝4sin｜x｜－
｜x｜
1
C．f（x）＝6cos｜x｜－
｜x｜
D．f（x）＝｜x｜－ln｜x｜
π
7．在△ABC中，若A＝ ，AB＝1，AC＝ 3，则BC边上的高为
6
3
A．1 B． 2 C． D．2
2
x
8．若函数f（x）＝x2＋（4ln －1）2，则f（x）
2
A．存在最大值，且最大值为4e2＋9 B．不存在最小值
C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为e2－3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设M，N，P为非空实数集，定义MN＝｛z｜z＝xy，x∈M，y∈N｝，则
A．M｛1｝＝M B．M｛0｝＝｛1｝
C．MN＝NM D．（MN）P＝M（NP）
10．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为CA延长线上一点，∠DAB
的平分线交直线CB于E，若a＝ 7，b＝3，c＝2，则
A．sin A ：sin B ：sin C＝ 7 ：3 ：2
π
B．A＝
6
3 3
C．△ABC的面积为
2
D．AE＝4
11．下列不等式成立的是
3
A．log （ 2＋1）＜log （ 3＋ 2） B．3 ln 2＞log 3
2－1 3－ 2 π
1
C．log 3＞log π－ D．ln（e＋0．001）＜e0.001
4 2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
2 π
12．已知α为第一象限角，sinα＝ ，则cos（α－ ）＝_______．
10 4
2
学科网（北京）股份有限公司13．若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度
数为_______．
14．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋2）f（x）＝1，若f（0）∈（1，2），则f（2 026）
的取值范围为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知集合A＝｛x｜－3≤1－2x≤－1｝，B＝｛x｜x2＋mx＋n≤0，m，n∈R｝．
（1）若A＝B，求m，n的值；
（2）若A⊆B，求3m＋2n的最大值．
16．（本小题满分15分）
已知函数f（x）＝ex－x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若－ln（e－1）＜t＜0，求f（x）在区间［t，t＋1］上的值域．
17．（本小题满分15分）
π
已知函数f（x）＝sin（2x－ ），g（x）＝cos x，令h（x）＝f（x）－g（x）．
3
（1）根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数f（x）在
13π
x∈［0， ］上的图象；
6
13π
（2）判断h（x）在［0， ］上零点的个数，并给出判断的依据．
6
3
学科网（北京）股份有限公司18．（本小题满分17分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（b－a）（sin B＋sin A）＝
c（sin C－sin A）．
（1）求B；
（2）若a＝2，c＝ 3，E为AC的中点，求BE2；
（3）若a＝2，b＝ 6，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形
ABCD的面积取得最大值时，求BD的长．
19．（本小题满分17分）
已知函数f（x）＝a x2＋a （a，a ∈R），g（x）＝ －sin x，h（x）＝f（x）＋xg（x）．
1 2 1 2
（1）当a ＝1时，求h（x）的值域；
1
x
（2）证明：当3a＝a ＝3时，曲线C：y＝（x＋3）f（x）＋lg 是中心对称图形；
1 2 x＋2
（3）若P为曲线Γ，Γ 的公共点，且Γ，Γ 在P处存在共同的切线，则称该切线为Γ，Γ
1 2 1 2 1 2
的共切线，若曲线y＝h（x）与曲线y＝g（′ x）存在两条互相垂直的共切线，求a，a 值．
1 2
4
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