文档内容
2025 学年第一学期温州十校联合体期中联考
高二年级数学学科试题
命题学校：塘下中学 黄相红 审题学校：虹桥中学 缪秀玲
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可得到答案.
【详解】 的斜率为 ，设其倾斜角为 ， ，
则 ，则 .
故选：A.
2. 双曲线 的焦距为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】【分析】由双曲线方程得出 ，求出 ，即可得焦距 .
【详解】由双曲线 可得 ，则 ， ，
则焦距 ，
故选：B.
3. 已知平面 的一个法向量 ，点 在平面内，则点 到平面 的距离为（
）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量法来求点到面的距离即可.
【详解】由题意得 ，平面 的一个法向量 ，
则点 到平面 的距离为 ，
故选：C.
的
4. 圆 与圆 位置关系是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】A
【解析】
【分析】由一般方程得标准方程，得出圆心、半径，求出圆心距，判断与 的关系即可得两圆的位置
关系.
【详解】圆 即 ，圆心 ，半径 ；
圆 即 ，圆心 ，半径 ；
，则两圆外离，故选：A
5. 过圆 外一点 作圆的两条切线，切点为 、 ，则 的外接圆半径是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】圆 的圆心 ，故以 为直径的圆就是 的外接圆， 即为所求半径．
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
因为 是圆的切线，所以 ， ，
∴以 为直径的圆就是 的外接圆，
∵ ，
∴ 的外接圆的半径为 .
故选：C.
6. 椭圆 的离心率可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出离心率表达式 ，再结合 范围即可得到答案.
【详解】 .
恒成立，则椭圆的焦点在 轴上，则离心率 ，
因为 ，则 ，
所以 ，对照选项可知D正确.
故选：D.
7. 已知点 在椭圆 上运动，圆 的圆心为椭圆的右焦点 ，半径 ，点 在圆
上，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，则 ，利用椭圆的焦半径公式求出 的取值范围，再结合圆的几何性质
可求得 的取值范围.
【详解】在椭圆 中， ， ，则 ，即 ，
设点 ，则 ，且 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 为椭圆的左端点，且 为射线 与圆 的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立，
，当且仅当 为椭圆的右端点，且 为线段 与圆 的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立，
综上所述， 的取值范围是 .
故选：A.
8. 已知球 是棱长为 的正方体 的内切球，点 为球 表面上一动点，且满足
面 ，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，证得平面 平面 ，得到点 在平面 与球 的截面圆上，求得正
的边长为 ，得到 ，圆的方程为 ，结合圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证： 平面 ，又因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
要使得 平面 ，且点 为球 表面上一动点，
所以点 在平面 与球 的截面圆上，且截面圆恰为 的内切圆，
因为正方体的棱长为 ，可得正 的边长为 ，其内切圆的半径为 ，
以 所在直线为 轴，以 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
可得 ，内切圆的方程为 ，
设 ，则 ，
，
因为 表示内切圆上点到原点的距离，
可得内切圆与 轴的交点为 时，距离最大，最大距离为 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是
符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知空间向量 ， ， ，则下列说法中正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 向量 在 上的投影向量的模长为 D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用空间向量共线求参数，由于无解可判断A，利用空间向量积为0可判断B，利用投影向量的
坐标运算可判断C，利用空间向量模的坐标运算可判断D．
【详解】对于A，空间向量 ， ，由 ，可得 ，
即 ，显然 和 无解，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B正确；
对于C，向量 在 上的投影向量的模长是 ，故C正确；
对于D， ，故D正确；
故选：BCD
10. 已知直线 ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 直线 恒过定点
B. 若直线 与直线 平行，则
C. 若直线 不经过第二象限，则
D. 原点到直线 的距离可能为2
【答案】ABD
【解析】
分析】选项A，将直线 整理成 ，则有 ，
【解出这个方程组的解就是直线 恒过的定点；选项B，求出直线 的斜率为 ，直线 的斜率
为 ，由这两条直线平行得到 ，代入 和 计算得解；选项C，第一种情况：当直线 存在斜率
时，求出直线 的斜率为 和在 轴上的截距，由 不过第二象限，得到 且在 轴上的截距小于等于
0，计算得到 的范围；第二种情况：当直线 不存在斜率时， ， ， 不经过第二象限，
符合题意，这两种情况求并集得到 的范围；选项D，利用点到直线的距离求出原点到直线 的距
离，这个距离等于2，得到 的一元二次方程，利用判别式与0的大小关系判断这个一元二次方程是否有
解，得到判断.
【详解】选项A， ，
， ，
， 直线 恒过定点 ，故选项A正确；
选项B， 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，这两条直线平行，
， ， ，故选项B正确；
选项C，第一种情况：当直线 存在斜率时，
，当 时， ，在 轴上的截距为 ，
不过第二象限，
， ， ，
第二种情况：当直线 不存在斜率时，
，
， ， 不经过第二象限， 符合题意，
综上，若直线 不经过第二象限，则 ，故选项C错误；
选项D， ，
原点到直线 的距离为
， ， ，
有根， 原点到直线 的距离可能为2，故选项D正确.
故选：ABD.
11. 在长方体 中， ， ，点 在底面四边形 内（含边界）
运动，且满足 ，点 是线段 的中点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 点 的轨迹是线段，其长度为
B. 三棱锥 的体积为定值C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为1
D. 存在点 ，使得 到 的距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用空间向量坐标运算来确定交线，再用坐标运算可求解线段长来判断A，线面是否存在垂直来
判断C，求点到线的距离来判断D，利用体积变换来判断B.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，根据 ， ，
可得： ，设点 ，
则
因为 ，所以 ，
化简得： ，令 得 ，令 得 ，
由此可得点 在以点 ，点 为端点的线段上，此时 ，故点 的轨迹是线段 ，其长度为 ，故A正确；
因为点 是线段 的中点，点 在底面四边形 内（含边界）运动，
所以三棱锥 的体积 ，故B正确；
由 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
要想使得直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，
则需要满足 平面 ，此时 ，
即存在 使得 ，解得 ，此时不满足 ，故C错误；
由 ，
则点 到 的距离为：，
此时取等号条件为 ，显然 ，所以等号不成立，故D错误；
故选：AB.
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．
【详解】点 关于平面 对称的点的坐标为 .
故答案为：
13. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若弦 的长度为4，则
实数 的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而可得答案.
【详解】圆 的方程为： ，
化为标准式得： ，
因此，圆 的圆心为 ，半径为 2，
弦长公式为： ， 为圆心 到直线 的距离，
把 代入得：，
解得： .
因此，直线 通过圆心 .
即：
解得： .
故答案为：1
14. 已知双曲线 ，过点 的直线 与双曲线相交于 ， 两点， 为弦 中点，则正
整数 的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】设 ，过点 的直线 与双曲线相交于 ， 两点， 为弦 中点，
则此直线一定存在斜率，利用直线的点斜式设出过点 的直线 的方程，将直线 的方程代入双曲线，
消去 ，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到 ，又 为弦 中点，利用中点坐
标公式建立 的等式，利用判别式大于0建立 的不等式，要求正整数 的最小值，则对 从1开
始取值，代入 的不等式中求出正整数 的最小值.
【详解】设 ，过点 的直线 与双曲线相交于 ， 两点， 为弦 中点，
则此直线一定存在斜率，设过点 的直线 的方程为 ，
整理得到 ，代入双曲线得到 ，
整理得 ，
则有 ， 为弦 中点，， ， ，
又 ，
， ， ，
当 时， 不成立；
当 时， 不成立；
当 时， 成立；
正整数 的最小值为3.
故答案为：3.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正方体 中，点 、 为棱 、 的中点，设 ， ，
.
（1）用 、 、 表示 ；
（2）证明： 、 、 、 四点共面.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由向量的线性表示即可求解；（2）法1：由题可得 ， ，进而得到 即可证明；法2：根据向量的线性运
算可得 即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明 即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
法1：连接 ，
易知 ， ，
故 ，得 、 、 、 四点共面；
法2： ；
故 ，得 、 、 、 四点共面；
法3：以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，易得 ， ， ， ，
得 ， ，
故有 ， ，
得 、 、 、 四点共面．
16. 已知 ， ，动点 满足
（1）指出动点 的轨迹是什么曲线，并写出它的方程；
（2）过 作直线 与曲线交于 ， 两点， 在 轴上方，直线 的斜率为 ，求经过 ， 且以坐
标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1）椭圆，
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1） 利用椭圆的定义可求得椭圆标准方程；
（2）利用直线与椭圆联立方程组可求得交点坐标，再由双曲线经过这两个交点，利用待定系数法求解，
最终因无解说明不存在.
【小问1详解】
由题意得： ，
所以动点 轨迹是焦点为 ， 长轴长等于10的椭圆，
则 ，
即 点的轨迹方程为 ；
【小问2详解】设直线 的方程为 ,
联立方程 ，化简得 ，
即 ，得到 ， ， ， ，
由 点在 轴上，可知顶点在 轴上，
设双曲线标准方程为： ，将 两点代入 ，
该方程组无解，所以不存在所要求的双曲线.
17. 四棱锥 中， 平面 ， ， 均为等腰直角三角形，斜边分别为 ，
，且 ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据四棱锥的性质，结合已知条件推出线、线平行，进而推出线面平行；（2）先建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量坐标，再分别求出两平米的法向量，最后利用向量
夹角余弦公式求出向量夹角余弦值，进而得出平面 与平面 的夹角的余弦值．
【小问1详解】
， 均为等腰直角三角形，斜边分别为 ， ，
，
又 ， ， ， ，
取 的中点 ，连接 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
【小问2详解】
以点 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
记面 和面 的法向量分别为 ， ，
平面 ， ，
设 ，
则 ，令 ，则 ，
，
平面 与平面 的夹角余弦值为 ．
18. 已知抛物线 与直线 相交于 ， 两点（ 在 左侧），给定点 、
在抛物线上．
（1）用 表示 ；
（2）若 ， ， ， 四点共圆，求实数 的值；
（3）在（2）的条件下，求过 ， ， ， 四点的圆的方程．【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）联立抛物线和直线方程，根据韦达定理列出关系式；
（2）根据四点共圆的性质，结合韦达定理分析四点共圆的成立条件求出 的值；
（3）先求出四点坐标，代入圆的一般方程求解．
【小问1详解】
抛物线 与直线 相交于 ， 两点，
联立方程得 ，移项得 ，
由已知 、 为方程的两个根，由韦达定理得： ．
【
小问2详解】
方法一：（代数法）
设圆的方程为： ，
代入点 得 ①，
代入点 得 ②，
由①②式，消去 ，得 ，
代入①式得 ，
点 在圆上，代入圆的方程 ，
同理对 成立， ， 是方程 的两根，
但 ， 也是 的两根， 两方程系数成比例，
又 得： ，③，
将 ， 代入③得 ，
化简得 ，
检验：当 时，直线为 ，与抛物线交点： ，解得 或 ，
即 ， ，此时四点共圆，但 ， 与 ， 重合，舍去；
当 时，直线为 ，与抛物线交点： ，解得 或 ，
即 ， ，与 ， 不同，四点共圆成立．
．
方法二：（几何法）
设直线 与直线 相交于点 ，
由圆幂定理知：若 ， ， ， 共圆，则 ，
直线 过 ， ，斜率 ， 直线方程为： ，
直线方程 ，
两直线联立求交点 ，
，则 ， ，即 ，
， ，
，
设 ， 横坐标为 ， ，则 ，
同理 ，
，抛物线 与直线 相交于 ， 两点，联立方程得 ，
由韦达定理得： ， ，
，
由圆幂定理得： ，解得 ，舍去 （重合情况），得 ．
方法三：
设圆的方程为： ， ， 横坐标为 ， ，
联立圆方程与抛物线方程得：
， ， ， ， 是该方程四个根，
，
展开 得：
， 即
，
抛物线 与直线 相交于 ， 两点，联立方程得 ，
，即 ，解得 ．
方法四：
直线 过 、 ，斜率 ， 直线 方程为： ，
直线 ，两直线相交于点 ，
抛物线关于 轴对称， 如果两直线也是关于 轴对称，则四点共圆，
．
【小问3详解】
当 时， ， ， ， ，设圆方程为： ，
代入点 得 ，
代入点 得 ，
代入点 得 ，
解得 ， ， ，
圆方程为： ，标准方程为： ．
19. 在平面直角坐标系中，若一条直线与一条圆锥曲线相交于 ， 两点，且满足 ，
其中 为坐标原点，则称该圆锥曲线关于此直线是“和谐”的，该直线称为圆锥曲线的“和谐线”.已知椭圆
和直线 （其中 ），直线 与椭圆 相交于 ， 两点.
（1）当 时，求直线 被椭圆 截得的弦长 （用 表示）；
（2）若直线 是椭圆 的“和谐线”，求 与 的关系式；
（3）在（2）的条件下，求 面积 的取值范围.【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）联立 与椭圆方程，求出点 ， 的坐标，即可表示弦长 ；
（ 2 ） 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 ， 由 可 得 ，
，代入韦达定理化简整理即可得 与 的关系式；
（3）由 的表达式，代入韦达定理以及（2）的结论，构造函数结合基本不等式求出范围即可.
【小问1详解】
当 时，直线 的方程为 ，
将 代入椭圆方程 得： ， ，
所以 ，对应的 .
因此，点 ， 的坐标分别为 和 .
弦长 .
【小问2详解】
设 ， ，则 ， .将 代入椭圆方程 得： ，
即 ，
，
由韦达定理得： ， ，
由 ，所以 ，
则 ，即 ，所以 .
又 ，
则 ，
将韦达定理的结果代入： ，
即 ，
展开并整理： ，
即 ，
即 ，即 ，
.
【小问3详解】
由（2）知 ，三角形 的面积 ，又 ，
由（2）有： ， ，
代入得：
,
将 代入： ，
又 ，
所以， ，
由已知 ，令 ，则 ，
设 ，则 .
设 ，
当 时 取到最大为 ， 取到最大值为1，
当 时， ， ，.
