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2024 年湖北云学名校联盟高三年级 12 月联考
数学试卷评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.A：由已知 ， ,则 ，答案为：
2.C: , ,则 =
3.B：
4.D：直线恒过定点 ，当直线与 垂直时，弦长最短为4
5.B：
6.D：
所以当 时，有 ，此时: ,
当 时，有 ，此时: ,
当 时，有 ，此时: ,
作出函数 的部分图象，如图所示：
可得
7.B： ，得： ；
由 ， 则 ； 令 ，
，
，所以
则 ；
又 ，所以 ，综上： .
8.D: 如图，过 的平面 如果平分长方体的体积，则 过长方体的中心
，将面 与长方体六个平面的交线画出，则二面角 即为所求，
，设二面角 为 ，则 ，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 1 页 共 9 页有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选或不选得0分.
9.ACD：对于A：由题意可得 ， ，
则有 ，又 ，解得 ，A正确；
对于B：由 ，得 ，B错误；
对于C：由 ，得 ， ，得
，C正确；
对于D：概率为 ，D正确。
10.ACD：由已知抛物线 ，设直线
联立方程组 ，整理得 ，则 ，且 ，
由 ，所以A正确；
由 ，所以B错误；
当 时， 到准线的距离为 ，则 两点到准线的距离之和为3，由抛物线的定义得：
即 ，又 ， ，可得 ，则C正确；
时， , ，直线与抛物线相切时切点 ，此
时 ，所以有三个点满足要求，则D正确
11.BC：A：因为 可化为 ，令 ，则 ，因
为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即不等式 的解集为 ．A错误
B：设 ，则 ,
, , 又 ，所以 , 在定义域上单调递
增, 对于不等式 转化为 ，又 ， ,
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 2 页 共 9 页, 而 在定义域上单调递增, ，B正确
C : 令 ，则 ，
因为当 时有 成立，所以当 时， 恒成立，所以 在 上
单调递减，所以当 时， ，所以 ，又 ，所以 ，
时， ，所以 ，又 ，所以 ， 在是 连续的函数，
所以 ， 时， ，又由 为奇函数， 时， ，
所以 或 ，解得 或 ，则 的取值范围
，C正确
D：构造函数 ， ，由 化为： ，
，函数 为 上的偶函数，则当 时， ， 在 上
单调递减．若 ，则 ,即 ，即 ，
，D错误
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.7种
13.
14.如图，设定
，则 ， ,
中 ，
， 在
,即 ，解得 ，
另
， 则 ， 由 ， 得
，带入得
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤.
15.解（1）由题： 平面 ， 平面
平面
......2分
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 3 页 共 9 页平面 ， 平面
平面
......2分
又因为
故平面 平面
又 平面 ，所以：
......6分
（2）由题：
， ，
z
E
所以： ，又 ，
以点 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴
F
D
C y
建 立 如 图 所 示 得 直 角 坐 标 系
A B
x
......8分
则 ， ， ，
，平面 得法向量为 ......9分
，
设平面 的法向量为
则
，取 ，则 ，所以： ......11
.
分
设平面 与平面 所成的锐二面角为
，则
平面 与平面 所成的夹角的余弦值为
......13分
16.解(1) = ，
则
......2分
可得 ，即 在 上单调递减，在 上单
调递增
......6分
（2） = ，则原式等价于
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 4 页 共 9 页，令 证明
......10分
①令 ， ， ， 在 上单调递减，
，
......12分
②令 ， ， ， 在 上单调递增，
， .
综上：当 ， ，此题得证.
......15分
17.解：
......4分
, ......5分
. ......6分
（2）解：由于
. ......8分
由正弦定理：
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 5 页 共 9 页......10分
令： ，则
......13分
，即：
故： 长度的最大值为 . ......15分
法二：三角形 中，由余弦定理可得：
有基本不等式： （ ）
......12分
故： 长度的最大值为 . ......15分
18.解（1）由题： ， ，设点 ，
则 ， ，
......4分
（2）由题：设直线 的方程为： ，设 ，
联立方程：
由韦达定理可得：
，
......6分
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 6 页 共 9 页......8分
由图形的几何性质：四边形 为平行四边形，故
由（1）可知
......10分
，
......12分
又因为 ，
解方程可得： ，由于 在下方，故
......15
分
......17分
解法二：由第一问可得 ，则直线 ： ，直线
设 ， ，则 ，联立方程如下：
可得 ......7分
可得 ......10分
......11分
，
由题意可知， 三点共线 ......15分
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 7 页 共 9 页带入 坐标得
， ......16分
......17分
19.解（1） ，
......1分
例如
......3分
（2）当 ， ①
当 ， ②
由①②可得： ，即 ，同理可得
当 ， ③
由②③可得： ，即 ，
......6分
同理可得如下结论：
当 ，可得
当 ，可得
当 ，可得
当 ，可得
当 ，可得
当 ，可得
当 ，可得
另外当 时， ，得到
+ +...+ + =19.
......9分
(3)证明：若数列 是 —连续可表数列，则对 ，均有：
①
若数列 又是 —连续可表数列，此时均有：
②
......11分
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则第 8 页 共 9 页③
......13分
②+③—①可得： ，即数列从第三项开始是等差数列
......15分
设公差为
又
= =
数列从第二项开始是等差数列
又
= =
数列从第一项开始是等差数列
综上：若“数列 既是 —连续可表数列，又是 —连续可表数列” ，则数列 是等差数
列
......17分
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