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2024——2025学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试数学参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C C B C C ABD BCD
题号 11
答案 ABD
12．9
13．26
14． 1
15．【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，得到 .
（2）因为 ，又 ，所以 ，解得 或 ，
所以 的坐标为 或 .
16．【详解】（1）因为 ，所以由正弦定理得 ，
化简可得 ，由余弦定理得 ，
因为 为三角形内角，B∈(0,π)，所以 .
（2）因为 的外接圆面积为 ，故其外接圆半径为 ，
因为 ，所以由正弦定理可得
故 ，
所以 ，因为 为锐角三角形，则 ，
，
即 的周长的取值范围为 .
17．【详解】（1）由频率分布直方图有 ，解得 ，
因为 ，所以中位数在区间 内，设为
x，则有 ，得 ，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；
（2）设 “任选一道题，甲答对”， “任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得： ， ，所以有 ，
记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有 ，且有 与 互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与 ， 与B， 与 均相互独立，
所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率 .
18． 【详解】（1）由已知 ， ，因为 为棱 的中点， 为棱 的中点，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，连接 ，因为 ， ，
因为 为棱 的中点， 为棱 的中点，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， ，又 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由已知 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
所以直线 两两垂直，以点 为原点， 为 轴的正方向，建立空间直角坐标
系，则A(√3,0,0)， ， ， ， ，
所以 ， ，设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，则
，所以 ，取 ，可得 ， ，
所以 为平面 的一个法向量，又 为平面 的 法向量，
设二面角 的平面角为 ，所以 ，
观察可得 ，所以 ，所以 ，
所以二面角 的正切值为 .（3）因为 ， ，所以 ，
因为平面 平面 ， 为平面 的一个法向量，
所以 为平面 的一个法向量，设 与平面 所成角为 ，
所以 ，所以 与平面 所成角的正弦值为 .
19．【详解】（1）设 ，函数过 ，代入，即 ，解得 ，则
. 定义域为R的奇函数，则 ，解得 ，则 ，
由于 ，解得 ，则 .
检验： ，则 满足题意.则 .
（2） ，即 ，
即存在 ，使得 成立.
由于 ， 越大，则由指数单调性知道 越大，
则 也变大， 变小， 变小.则 在定义域内单调递减.
即存在 ，使得 成立. 即存在 ，使得 .
则对于 ，使得 即可.对于 ， ，则 .
（3） 恰有2个零点,即 有两个不同根.
即 有两个不同根. 由于 是定义域为R的奇函数且单调递减，
则 有两个不同根即可. 则 有两个不同根即可.
令 ，q与x个数一一对应，转化为 有两个不同正根即可.
满足 ，解得 ，即 .实数 的取值范围为
