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2024~2025 学年度第一学期高二期末调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人：倪伟 刘祥云 邹勇泉 李建新
审题人：鲁彬 吴春胜
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 圆 的圆心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得圆心.
【详解】由 的标准式为 ，故圆心为 .
故选：A
2. 双曲线 的焦距为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线方程可得 ，即可得焦距.
【详解】由双曲线 ，则 ，可得 ，
所以焦距为 .
故选：D3. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导，再代入自变量求导数值即可.
【详解】由题设 ，则 .
故选：C
4. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，过点 作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于
两点，则 的周长为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可.
【详解】由题意 ，
所以 的周长为16.
故选：C
5. 已知函数 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，问题化为 至少有两个变号零点，导数求 的极值并列不等式
求参数范围.【详解】由题设 ，令 ，
则 ，
当 或 时， ，则 在 和 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
， 且 时 趋向 ， 时 趋向 ，
要使函数 既有极大值又有极小值，
即 至少有两个变号零点，所以 至少有两个变号零点，
所以 .
故选：A
6. 若 ，则称表达式 为n阶有限连分数，通常记为
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设有限连分数定义求对应值即可.
【详解】由题设 .
故选：B7. 点A（与原点O不重合）在抛物线 上，直线 与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴
的直线交抛物线于点C，则 的最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 令 且 ， 进 而 求 得 ， 应 用 两 点 距 离 公 式 并 整 理 得
，应用换元法、二次函数性质求最值即可.
【详解】令 且 ，则 ，联立抛物线准线 ，可得 ，
令 ，故 ，故 ，
所以 ，
令 ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
故选：B8. 图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线
（其中 为正数）的一部分（图2）．若 是曲线 上的一点，且
，过点P的两条互相垂直的直线与曲线 的另外两个交点分别为 ，其中一条直线的斜率为
1．若 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由 整理可得 ，所以曲线 可由双曲线 和双
曲线 组成，分别将过 点斜率为 和 的直线与双曲线方程联立，解出 点坐标，再根据
两点的距离公式求解即可.
【详解】由 整理可得 ，所以 ，
所以曲线 可由双曲线 和双曲线 组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为 ，
因为 是曲线 上的一点，且 ，所以点 在第一或第三象限，
根据对称性，不妨设点 在双曲线 上，且在第一象限，此时 ，
因为过点P的两条互相垂直的直线与曲线 的另外两个交点分别为 ，其中一条直线的斜率为1，所以另一条直线的斜率为 ，点 在双曲线 上，不妨令 ， ，
过点 斜率为 的直线方程为 ，
与 联立得 ，解得 ，
将 代入 整理得 ，所以 ，即 ，
过点 斜率为 的直线方程为 ，
与 联立得 ，解得 ，
将 代入 整理得 ，所以 ，即 ，
所以
，
解得 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线 转换成熟悉的双曲线方程，再根据
点坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出 坐标，进而即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 我们称离心率相同的二次曲线相似．则二次曲线相似的为（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】AB
【解析】
【分析】根据各项给定的曲线方程求离心率，并判断是否相等即可答案.
【详解】对于 有 ，则 ，
对于 有 ，则 ，
对于 有 ，则 ，
对于 有 ，则 ，
对于 有 ，则 ，
对于 有 ，则 ，
综上，A、B中曲线相似，C、D不相似.
故选：AB
10. 已知数列 满足 ，且 是公比为 的等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意写出前7项，观察归纳得到 ， ，再应用数学归纳法证明判断
A、B；应用裂项相消法、放缩法证明不等式判断C、D.
【详解】由 ，且 是公比为 的等比数列，
所以 为 ， 为 ， 为 ， ，
由上观察归纳有 ， ，显然 时 ， 满足，
若 时 ， 成立，
又 是公比为 的等比数列，
则 ， ，
所以 ，有 ， 满足归纳结论，
综上， ， ，A错，B对；
由 ，则 ，C对；
由，D对.
故选：BCD
11. 已知函数 ，若 ，则下列说法正确的有（
）
A. 若 ，则 成等比数列 B. 若 ，则 成等比数列
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】设当 时， 成等比数列，利用等比中项可知 ，代入
解得 ，验证 和 时是否满足题意验证AB，利用作商法画出 的大致图
象， 可看作对应函数与 交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可.
【详解】设当 时， 成等比数列，则 ，即 ，
由 得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
经检验，当 时，满足 ，
当 时， ，此时 ，不满足题意，故A正确，B错误；
因为 在 恒成立， 在 恒成立，
所以 ， 在 恒成立，又 ，所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 的大致函数图象如图所示，
由图象可知当 时，由 可得 ，
当 时，由 可得 ，CD正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将 可看作对应函数与 交点对应的横坐标，利用函
数图象判断，数形结合.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆 与圆 相交于 两点，若直线 的倾斜角为 ，则实数
的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】两圆方程相减可得公共弦 的方程，再利用直线 的倾斜角求出斜率即可求解.
【详解】因为圆 ，即 与圆 相交于 两点，
所以两圆方程相减可得公共弦 的方程 ，即 ，
因为直线 的倾斜角为 ，
所以直线 的斜率 ，解得 ，为
故答案 ：
13. 过点 作曲线 的切线，写出其中的一条切线方程_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将 代入解出切点坐标，即可得切线方
程.
【
详解】由 可得 ，
设过点 作曲线 的切线的切点为 ，则 ，
则该切线方程为 ，
将点 代入切线得 ，解得 或 ，
所以切点为 或 ，
所以切线方程为 或 .
故答案为： （答案不唯一）
14. 设数列 的前n项和为 ，若数列 为各项均为正数的等差数列， 成等
比数列，其中m为正整数，则 ______．
【答案】96
【解析】
【分析】令 的公差为 ，由等差数列片段和的性质及已知可得 ，再应用等比中项的性质得
求得 ， ，最后应用等差数列前n项和公式求 .【详解】令 的公差为 ，由题设 ，
且 为等差数列且公差为 ，则 ，
由 成等比数列，则 ，
所以 且m为正整数， ，可得 ， ，则 ，
所以 .
故答案为：96
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线： （a为实数）， 与 相交于点M．
（1）若 过点M，求a的值；
（2）设直线 过定点N，求 ．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）联立直线求得交点 ，代入 求参数值即可；
（2）根据直线确定直线 过定点 ，再应用两点距离公式求 .
【小问1详解】
由 ，得 ，即 ，
因为 过点 ，所以 ，即 ．
【小问2详解】
因为 ，所以直线 过定点 ，所以 .
16. 已知 为数列 的前 项和， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）由 ，可得数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，从而得到数列
的通项公式；
（2）由（1）知， ，利用分组求和法得到结果.
【详解】解：（1）∵ ，
∴当 时， ，故 ，得 .
当 时， ，
故 ，
∴当 时， ，
∴数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，
∴ .
（2）由（1）知， ，
∴
，，
.
【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分
组求和法的合理运用．
17. 已知点 的坐标为 ，且以点 为圆心的圆与y轴相切．
（1）过点 作圆 的切线l，求l的方程；
（2）圆 上是否存在点P，使得点P到 距离之比为 ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） 或 ；
（2）不存在点P，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设圆 的方程为 、 ，讨论直线斜率的存在性，结合点
线距离公式求直线方程；
（2）根据已知及两点距离公式得点P的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆N，进而得到圆 内含
于圆N，即可得结论.
【小问1详解】
因为 ，且以点 为圆心的圆与y轴相切，
所以圆 的方程为 ．
因为 ，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为 ，
设l的方程为 ，则 到l的距离为 ，所以 ，故 ，所以l的方程为 ，
综上，l的方程为 或 ．
【小问2详解】
设 ，由点P到 距离之比为 ，
得 ，即 ，
所以点P的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆N，
由 ，则圆 内含于圆N，
所以不存在点P，使得点P到 距离之比为 .
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）证明： ．
【答案】（1）增区间为 ，无减区间；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究 的单调区间；
（2）对函数求导，讨论 、 、 ，结合 恒成立求参数范围；（3）根据（2） 的结论有 得 ，令 ，则 ，
即可证结论.
【小问1详解】
当 时， ，所以 ，
设 ，则 ，
当 时，有 ，所以 在区间 上单调递减，
当 时，有 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的增区间为 ，无减区间．
【小问2详解】
，
（i）当 时，有 ，与 矛盾；
（ii）当 时，有 ，所以 ，
所以 在 单调递增，故 ，满足题意；
（iii）当 时，设 ，则 ，
当 时，由 得 ，所以 在 上单调递减，则 ，
即 ，所以 在 单调递增，故 ，满足题意；
当 时，若 ，则 ，所以 在 上单调递，所以 ，即 ，所以 在 单调递减，故 ，与 矛
盾；
综上所述：a的取值范围为 ．
【小问3详解】
由（2）知当 时， ，其中a的取值范围为 ，
令 得 ， ，即
令 ，则 ，
所以 ．
19. 已知椭圆 ，平行四边形 的四个顶点在椭圆 上，直线 的斜率分别
为 ．
（1）求直线 在y轴上的截距之和；
（2）若四边形 为菱形，证明：直线 之间的距离为定值；
（3）若 成等比数列，射线 分别交椭圆 于 两点，求四边形 面积的
取值范围．
【答案】（1）0； （2）证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）设两条平行线 的方程分别为 ， ，联
立椭圆并应用韦达定理及弦长公式得 ，进而可得 ，即得结果；（2）根据已知有 ，由（1）知点 A 与点 C、点 B 与点 D 关于原点对称，结合韦达公式得
，进而有 ，再应用平行线的距离公式证明结论；
（3）由等比中项的性质得 ，设直线 的方程为 并联立 得到 、
，再根据四边形 的面积 、 求面积的范围.
【小问1详解】
设两条平行线 的方程分别为 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
又 ．
所以
，
同理， ．
由平行四边形 得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以两条平行线 在y轴上的截距之和为0．
【小问2详解】由四边形 为菱形得 ，所以 ，
由（1）知 关于原点对称，
由椭圆的对称性知点A与点C，点B与点D均关于原点对称，
所以
．
整理得 ，所以直线 之间的距离 ，
所以直线 之间的距离为定值．
小问3详解】
【
由（2）知 ，则 ，因为 ，所以 ．
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，四边形 的面积 ，
因为 ，且 ，故 ，因为点O到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以四边形 的面积 .
【点睛】关键点点睛：第三问，利用相关三角形的面积比例与相关线段的等比例关系得到
得到四边形 的面积 为关键.
