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南宁三中五象校区高 2023 级高二上数学（一）
出题人：罗卫玲 审题人：黄兵
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知两条直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知直线l倾斜角的余弦值为 ，且经过点 ，则直线l的方程为（ ）
.
A B. C. D.
4. 已知向量 的夹角为 ，且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是
中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升
空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，
彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一
个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司（参考数据： ， ）
A. B. C. D.
7. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品
的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A. 极差是4 B. 众数小于平均数
C. 方差是1.8 D. 数据的80%分位数为4
.
10 已知 ， ，且 ，则（）
A. B. C. D.
11. 如图，正方体 的棱长为1，E为棱 的中点，P为底面正方形ABCD内（含边
界）的动点，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 三棱锥 的体积为定值 B. 直线 平面
C. 当 时， D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数 的取值范围是______．
为
13. 已知 第一象限角， 为第三象限角， ， ，则
_______.
14. 已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选
出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 ，
共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；
的
（2）若认定评分在[80,90)内 学生为“运动爱好者”，评分在[90,100]内的学生为“运动达人”，现采用分层
抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽
取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图，在四棱锥 中 平面ABCD，E为PD的中点， ， ，
．
（1）求证：平面 平面
（2）求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断并证明 在 上的单调性；
（3）解不等式 .
18. 已知 内的角 所对的边分别是 .
（1）求角 ；
（2）若 外接圆的面积为 ，且 为锐角三角形，求 周长的取值范围.
19. 如下图，在 中， ， ，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，
且 ；将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥；
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若 ，二面角 是直二面角，求二面角 的正切值；
（3）当 时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
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