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河南省环际大联考“逐梦计划”2025-2026学年高二上学期阶段考试
（一）数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．已知 、 是椭圆 的两焦点，点 在椭圆 上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 ，圆 ，若圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为 ，
则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
8．若椭圆 的离心率为 ，左顶点为 ，点 、 为 上任意两点且关于 轴对称，则直线 和直线 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 在y轴上的截距为2
B．直线 过定点
C．过点 且平行于直线 的直线方程为
D．三条直线 交于同一点
10．已知圆 与圆 ，下列选项正确的有（ ）
A．若 ，则两圆外切
B．若 ，则直线 为两圆的一条公切线
C．若 ，则两圆公共弦所在直线的方程为
D．若 ，则两圆公共弦的长度为
11．已知椭圆 的左､右两个焦点分别为 为椭圆上一动点， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．存在点 使
B． 的周长为16
C． 的最大面积为12
D． 的最小值为三、填空题
12．点 关于点 的对称点 的坐标是 .
13．若焦点在x轴上的椭圆 的焦距为4，则 ．
14．若 是圆 上两点，且 ，若存在 ，使得直线
与 的交点 恰为 的中点，则实数 的取值范围为 .
四、解答题
15．已知 ， 、 、 ，求：
(1) 边上的中线所在直线的方程；
(2) 边上的高所在的直线的方程；
(3)三角形 的面积.
16．已知圆 的圆心为 ，且过点 .
(1)求圆 的半径及标准方程；
(2)过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
17．已知椭圆的焦点为 、 ，该椭圆经过点
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上的点 满足 ，求 .
18．已知圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切，直线 被圆 截得的弦长为 .
(1)求圆 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，且与 轴、 轴分别交于点 、 .
①写出 与 的关系式；
②求 面积的最小值，并写出此时的直线 的方程.19．已知椭圆 的 为2，离心率为 为 的左，右焦点， 是椭圆 上的
两点.
(1)求 的方程；
(2)若 两点都在 轴上方，且 ，
①若 ，求 ；
②求四个点 所构成的四边形面积的最大值.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C A D A BCD BD
题号 11
答案 ACD
1．B
由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】由直线方程为 可知直线 的斜率为 ，
因此倾斜角为 ．
故选：B．
2．C
利用直线垂直的等价条件可得出关于实数 的等式，解之即可.
【详解】因为直线 ， ，且 ，则 ，
解得 .
故选：C.
3．C
根据圆的一般方程性质列式计算求参数.
【详解】因为方程 表示圆，所以 ，所以 ，
则实数 的取值范围是
故选：C.
4．C
由已知条件得出 ，再利用公式 可求出椭圆 的离心率.
【详解】因为椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 ，即 ，
故椭圆 的离心率为 .
故选：C.
5．C
先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.【详解】圆 ，所以圆心 ，半径 ，
所以弦心距为 ，
所以弦长为 ，
故选：C
6．A
设点 ，其中 ，可得出 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本
性质可求得 的最小值.
【详解】对于椭圆 ，
则 ， ， ，
所以 、 ，
设点 ，其中 ，且 ，故 ，
所以 ， ，
故 ，
故当 时， 取最小值 .
故选：A.
7．D
由圆心到直线的距离，即可判断.
【详解】圆 的圆心到直线 距离 ，
若圆 上有且仅有三个点到直线 的距离为 ，则 ，即 .
故选： D.
8．A根据椭圆的离心率求出 的值，设点 ，则点 ，其中 ，可得出
，再利用斜率公式可求出 的值.
【详解】由题意可知，椭圆 的离心率为 ，故 ，
设点 ，则点 ，其中 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，可得 ，
易知点 ，所以 ，
故选：A.
9．BCD
对于A项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B项，把直线方程化成关于参数 的方程，依题得到
，解之即得；对于C项，根据平行设直线 ，再代入求参即可；对于D项，联立
求解即可.
【详解】对于A项，由 可得： ，可得直线 在 轴上的截距是 ，故A项错
误；
对于B项，由 可得： ，因 ，则有： ，
故直线 恒过定点 ，故B项正确；
对于C项，不妨设平行于直线 的直线方程为 ，因为过点 ，所以
，即 ，故C项正确；对于D项， ，所以 ，所以三条直线 交于同一
点 ，故D项正确.
故选：BCD.
10．BD
利用圆与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系可判断B选项；将两圆方程相减可判断C
选项；利用勾股定理可判断D选项.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为，
对于A选项，若两圆外切，则 ，解得 ，A错；
对于B选项，若 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与圆 相切，
圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与圆 相切，
故当 时，则直线 为两圆的一条公切线，B对；
对于C选项，若 ，因为 ，此时两圆相交，
将两圆方程相减得 ，即 ，
故当 时，两圆公共弦所在直线的方程为 ，C错；
对于D选项，当 时，圆心 到直线 的距离为 ，
此时两圆的公共弦长度为 ，D对.
故选：BD.
11．ACD
对于A，由 可得点 的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点 的轨迹与椭圆 没有交点，
由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得 的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当 为椭圆短轴顶点时，可得 的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三
角形边长的不等式可得 ，从而得以判断.
【详解】由 ，得 .
对于A：假设存在点 使得 ，则 ，
所以点 的轨迹是以原点 为圆心， 为直径的圆 ，则 ，
因为椭圆 上的任一点到原点 的最小距离是短轴顶点与原点 的距离，即 ，
由 可知，圆 与椭圆 有交点，
所以假设成立，即存在点 使得 ，故A正确；
对于B： 的周长为 ，故B错误；
对于C：当 为椭圆 短轴顶点时，点 到 的距离最大，则 的面积最大，
所以 ，故C正确；
对于D： ，又 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
12．设点 ，由题意可知 为线段 的中点，利用中点坐标公式可求出点 的坐标.
【详解】设点 ，由题意可知 为线段 的中点，
由中点坐标公式可得 ，解得 ，
因此点 关于点 的对称点 的坐标是 .
故答案为： .
13．4
根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.
【详解】因为椭圆 的焦点在x轴上且焦距为4，
所以 ，
解得 .
故答案为：4.
14．
由直线与圆相交以及弦长 ，可得 点的轨迹方程，又直线 与 相
交，可得交点 的轨迹方程，由已知可得圆 与圆 有公共点，根据圆与圆的位置关系列出不等式，解出
实数 的取值范围．
【详解】圆 的半径 ，
为 的中点，且 ，解得 ，
点的轨迹方程为 ，
又直线 过定点 ， 即 过定点 ，且 ，则 点是两垂线的交点，所以 点在以 为直径的圆上，圆心为 ，半径为 ，
的轨迹方程为 ，由于 的斜率存在，所以点 的轨迹要去掉点 ，
由已知可得：圆 与圆 有公共点， ，即 ，又 ，所以
，解得 ，
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
（1）求出线段 的中点 的坐标，求出线段 的两点式方程，化为一般式方程即可；
（2）求出直线 的斜率，可求出边 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方
程；
（3）求出直线 的方程，即可求出点 到直线 的距离，再求出 的值，再利用三角形的面积公式
可求得 的面积.
【详解】（1）由题意可知线段 的中点为 ，
所以 边上的中线所在直线的方程为 ，即 .
（2）直线 的斜率为 ，故边 上的高所在直线的斜率为 ，
因此 边上的高所在的直线的方程为 ，即 .
（3）直线 的方程为 ，即 ，
，点 到直线 的方程为 ，
因此， .
16．(1)3，
(2) 或 .
（1）由圆心和圆上的点求得半径，写出到圆的标准方程；
（2）讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然成立；斜率存在时，先设直线方程，由圆心到直线的距
离和半径表示出弦长，解得斜率值，写出直线方程.
【详解】（1）半径 ，
所以 的方程为 .
（2）当 的斜率不存在时， 的方程为 ， 与圆相交，
圆心到直线 的距离 ，弦长为 ，满足条件；
当 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
圆心到直线 的距离 ，
所以弦长 ，
即 ，
所以 的方程为 或 .
17．(1)
(2)（1）利用椭圆的定义可求出 的值，结合 的值可得出 的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）由题意得出 ，由题意得出 ，结合平面向量数量积的坐标运算求出 的值，
结合三角形的面积公式可求得 的值.
【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为 ，
由椭圆的定义可得 ，故 ，
又因为 ，所以 ，
因此椭圆的标准方程为 .
（2）由题意可得 ，故 ，
， ，
因为 ，所以
，解得 ，
故 .
18．(1) 或
(2)① ；②最小值为 ，直线 的方程为
（1）不妨设圆心坐标为 ，由题意可知，该圆的半径为 ，利用勾股定理和点到直线的距
离公式可得出关于 的等式，解出 的值，即可得出圆 的标准方程；（2）①首先根据题设条件 对（1）中求得的两个圆进行讨论，确定唯一满足条件的圆 的方程，
然后利用直线与圆相切的条件（圆心到直线的距离等于半径）得出 与 的关系式；
②利用基本不等式可求出 面积的最小值，利用等号成立的条件求出 、 的值，即可得出直线 的方
程.
【详解】（1）不妨设圆心坐标为 ，由题意可知，该圆的半径为 ，
所以圆 的标准方程为 ，
由勾股定理可知，圆心 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，
所以 ，解得 ，
故圆 的标准方程为 或 .
（2）①由题意，直线 的截距式方程为 ，化为一般式方程为 ，
若圆 的方程为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
此时直线 与圆 相离，不合题意，
所以圆 的方程为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，整理得 ，
故 ；②
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，此时
故 面积的最小值为 ，此时直线 的方程为 .
19．(1) ；
(2)①1；②2.
【详解】（1）由已知得 ，解得 ，
所以 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）①设 关于原点 的对称点为 ，则四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 ， 两点都在 轴上方，且 ，
所以 ，
，设直线 ，
由 ，消去 得 ，
，
设 ，则 （1）； （2），因为 ，所以 （3），
由（1）（2）（3）得 ，解得 ，由图知此时 ，
则
，故 .
②由①知 ，且 ，所以 ，
所以
当且仅当 ，即 时取等号．
所以四个点 所构成的四边形面积的最大值为2．
