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2024-2025 学年浙江省 9 1 联盟高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x(x−2)≥0}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0} B. {−2,−1,3} C. {−2,−1,0,2,3} D. {−2,−1,0,3}
2.若复数z满足2z+z=3+2i(其中i为虚数单位)，则复平面内该复数z所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知A、B、C是球O的球面上三个点，且AB=AC=BC=√3，球心O到平面ABC的距离为1，则球O
的表面积为( )
8√2 32
A. π B. 8π C. π D. 16π
3 3
4.已知S 为等比数列{a }的前n项和，且a =1，则“S =3”是“q=−2”的()条件
n n 1 3
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
6
5.已知a= ，b=ln2.2，c=e0.2，则a，b，c的大小关系为( )
5
A. a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>a>c
6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点(其中点M在第一象限)，点M到
|MF|
抛物线C的准线的距离为5，则 的值为( )
|NF|
5 8
A. 2 B. C. D. 4
2 3
7.从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2(a−bcosC)=csinB，BC边上的高为2，
且b=3，则△ABC周长为( )
A. 4+4√5 B. 5+2√2+√5 C. 6√2+2 D. 4+2√5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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1 19.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1∼8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的
面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的点数为偶
数”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
3 1
A. P(A∪B)= B. P(A|B)=
4 2
C. 事件B与C互斥 D. 事件A与B相互独立
π
10.已知函数f(x)=2sin(3x− )，下列说法正确的是( )
6
2π
A. f(x− )=f(x)
3
π
B. 函数f(x)的图象关于点( ,0)中心对称
18
π
C. 将f(x)的图象向左平移 个单位长度，可得到g(x)=2sin3x的图象
6
π
D. 函数f(x)在区间(0, )上单调递增
3
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2 111.已知函数y=ex−e−1与y=ln(x+e+1)交于M、N两点，如图截取两函数在M、N之间部分图像得
到一条封闭曲线τ，则( )
A. τ关于直线y=−x对称
B. 若点M的横坐标为x ，则x ∈(1,2)
0 0
√2
C. τ上的点到直线y=x距离的最大值为 e
2
D. A，B是τ上互异的两点，分别过A，B作τ的切线，斜率记为k ，k ，若k =k ，称(A,B)为τ的一组关
1 2 1 2
联点，则τ的关联点有无数组．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2
12.(x+ ) 4 的展开式中的常数项为 ．
x3
13.已知点M(0,3)，直线x−ky−2=0被圆x2+ y2=8所截得弦的中点为N，则|MN|的最大值是 ．
14.若三次函数 有三个相异且成等差的零点，则 的取值范围为 ．
f(x)=ax3+x2+cx+1(a>0) a
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AD=4，AB=3，点M为
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3 1PD的中点，连接MC．
(1)求三棱锥M−ACD的体积;
(2)求异面直线MC与PB所成的角的余弦值．
16.(本小题15分)
D公司开发了两款AI图像检测模型(分别记为甲模型、乙模型)，用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在
2 1
单张图像中检测到目标的概率为 ，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为 .假设每张图像在同一模型
3 2
中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，
乙模型检测到目标的图像张数为Y．
(1)写出随机变量X的分布列、均值及方差．
(2)求事件“X+Y =3”的概率．
17.(本小题15分)
已知 ， ．
f(x)=lnx g(x)=a(x2−1)(a∈R)
(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，讨论ℎ(x)的单调性和极值;
(2)若x≥1时，不等式xf(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
x2 2√3
已知双曲线C的顶点与椭圆E: + y2=1的左右顶点A ，A 重合，且离心率为 ．
3 1 2 3
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过双曲线上一点R(R位于第一象限)作切线l，l分别与x轴，y轴交于M，N两点，与椭圆E交于P，Q
两点．
(ⅰ)若点R，M，N的横坐标成等差数列，求直线l的斜率．
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4 13
(ⅱ)已知△OPQ的面积为 ，求点R的坐标．
4
19.(本小题17分)
无穷整数数列{a }满足0≤a ≤a ≤⋯≤a ≤a ≤⋯，对任意的k∈N∗，记b 为数列{a }中小于k的项
n 1 2 n−1 n k n
的个数，称数列{b }是数列{a }的“联盟数列”．
n n
(1)若数列{x }有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列{x }的“联盟数列”的前七项;
n n
(2)若数列{x }的“联盟数列”为{y }，数列{y }的“联盟数列”为{z }，
n n n n
(ⅰ)证明：z =x ;
n n
(ⅱ)记S=x +x +⋯+x +x ，T= y + y +⋯+ y + y ，证明：S+T>nm．
1 2 n−1 n 1 2 m−1 m
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5 1参考答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.C
6.D
7.C
8.D
9.ABD
10.AB
11.BCD
12.8
13.√10+1
√3
14.(0, )
9
15.解：(1)过点M作MH//AP，
因为PA⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ABCD，即MH为三棱锥M−ACD的高．
1
又点M为PD中点，所以MH= PA=2，
2
1
又底面为矩形，可知S = ⋅AD⋅DC=6，
△ACD 2
1 1
所以三棱锥M−ACD的体积V = ⋅S ⋅MH= ×6×2=4；
3 △ACD 3
(2)设AC∩BD=O，连接OM，可知OM//PB．
则∠OMC(或其补角)即为异面直线MC与PB所成的角，
1 5 1 5
在△OMC中，OM= PB= ，OC= AC= ，MC=√17，
2 2 2 2
1
MC
所以 2 √17．
cos∠OMC= =
OM 5
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6 1√17
所以异面直线MC与PB所成的角的余弦值为 ．
5
2
16.解：(1)由题可知随机变量X服从二项分布：X∽B(3, )，
3
2 1
所以随机变量X的分布列为P(X=k)=Ck ( ) k ( ) 3−k ，k=0，1，2，3．
3 3 3
2
均值为E(X)=3× =2．
3
2 1 2
D(X)=3× × = ．
3 3 3
(2)由题可知“X+Y =3”的情况可分为四类：
1 1 1
①X=0，Y =3:P =( ) 3 ⋅( ) 3= ，
1 3 2 216
2 1 1 18
②X=1，Y =2:P =C1 ( ) 1 ( ) 2 ⋅C2 ( ) 3= ，
2 3 3 3 3 2 216
2 1 1 36
③X=2，Y =1:P =C2 ( ) 2 ( ) 1 ⋅C1 ( ) 3= ，
3 3 3 3 3 2 216
2 1 8
④X=3，Y =0:P =( ) 3 ⋅( ) 3= ，
4 3 2 216
63 7
所以P(X+Y =3)=P +P +P +P = = ．
1 2 3 4 216 24
17.解：
(1)ℎ(x)=f(x)+g(x)=lnx+a(x2−1);
1 2ax2+1
ℎ′(x)= +2ax= ，x>0;
x x
①a≥0时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，没有极值：
1
②a<0时，令 ℎ′(x)>0，则2ax2>−1，x2<− ;
2a
√ 1 √ 1
解得0− 1 ;解得x> √ − 1 ，所以ℎ(x)在( √ − 1 ,+∞)上单调递减;
2a 2a 2a
√ 1 √ 1 1 √ 1 1
此时f(x) =f( − )=ln − +a(− −1)=ln − − −a，无极小值．
极大值 2a 2a 2a 2a 2
当 时， 恒成立，即 恒成立，
(2) x≥1 xf(x)≤g(x) xlnx≤a(x2−1)
令 ， ，则 恒成立，
φ(x)=xlnx−a(x2−1) x∈[1,+∞) φ(x)≤0
对φ(x)求导，φ′(x)=lnx+1−2ax，
1
令m(x)=lnx+1−2ax，m′(x)= −2a，
x
1 1
当a≥ 时，对于x∈[1,+∞)，m′(x)= −2a≤0，所以m(x)在[1,+∞)上单调递减，
2 x
m(x)≤m(1)=1−2a≤0，即φ′(x)≤0，
所以φ(x)在[1,+∞)上单调递减，φ(x)≤φ(1)=0，满足条件，
1
当a≤0时，对于x∈[1,+∞)，m′(x)= −2a>0，m(x)在[1,+∞)上单调递增，
x
m(x)≥m(1)=1−2a>0，即φ′(x)>0，
φ(x)在[1,+∞)上单调递增，φ(x)≥φ(1)=0，不满足条件，
1 1 1
当01，
2 x 2a
1
当10，m(x)单调递增，m(x)>m(1)=1−2a>0，
2a
即φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(1)=0，不满足条件。
1
综上，a的取值范围是[ ,+∞)。
2
18.解：(1)由题意可得，椭圆E左右顶点A A 分别为(−√3,0)，(√3,0)，而双曲线的顶点与A ，A 重
1 2 1 2
合，
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8 1x2 y2
故可设双曲线的标准方程为 − =1(a,b>0)，此时a=√3，
a2 b2
c 2√3 x2
由e= = 得c=2，b2=c2−a2=4−3=1，因此双曲线的标准方程为 −y2=1．
a 3 3
(2)(i)由题意可得，切线l的斜率存在，
{x2−3 y2=3
不妨设l:y=kx+m，切点R(x ,y )，联立方程： 整理可得：
0 0 y=kx+m
(1−3k2 )x2−6mkx−3m2−3=0，
由于l与双曲线相切：因此△=0，即36m2k2+12(m2+1)(1−3k2 )=0，经化简可得：m2+1=3k2 (∗)，
3mk m m
此时x = ，y =kx +m= ，且x =− ，x =0，
0 1−3k2 0 0 1−3k2 M k N
3mk 2m
若点R，M，N的横坐标成等差数列，则2x =x +x ，即 =− ，
M 0 N 1−3k2 k
√3
若m=0，则根据(∗)式可得，k=± ，此时l为双曲线的渐近线，不可能为切线，
3
3k 2 √6
故 =− ，解得3k2=2，∴k= (切点在第一象限)，
1−3k2 k 3
(ii)不妨设P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
{x2+3 y2=3
此时切线l:y=kx+m与椭圆联立： 整理得：(1+3k2 )x2+6mkx+3m2−3=0(※)，
y=kx+m
(※)式中，△=36k2−12m2+12=24>0恒成立，
此时 ，
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9 17 5 2
解得k2= ，m2=6或k2= ，m2=
，
3 9 3
√14 √6 √30 √6
则R的坐标为( , )或( , ).
2 6 2 2
19.解：(1)因为数列{x }有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，
n
设数列{x }的“联盟数列”为{y }，
n n
则y =0，y =2，y =3，y =3，y =4，y =5，y =5；
1 2 3 4 5 6 7
(2)(i)y表示数列{x }中小于i的项的个数，y 表示数列{x }中小于i+1的项的个数，
i n i+1 n
显然y ≤ y ，因此0≤ y ≤ y ≤ y ≤⋯≤ y ≤ y ≤⋯，
i i+1 1 2 3 n−1 n
设 的联盟数列 中的任意一项 ，
{y } {z } z =t(k∈N∗,t∈N)
n n k
则由“联盟数列”的定义可知y n(m+k)−kn=mn，
当x
