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晋江侨声中学、南安侨光中学 2025 秋季高二年两校联考二
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1.在等差数列 中, , ,则 的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若过点 的直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3.四面体 中， ， ，设 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4.已知椭圆 ，过 的右焦点作 轴的垂线交 于 两点， ，则
的离心率 为( )
A． B． C． D．
5.已知实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，点 ， 分别为 ，
的中点， ， ，则点 到平面 的距离是（ ）
A. B． C． D．
7.已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于点A，B，且与 的准线交于点 ，若 且 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8.造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原
点O，且C上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线
的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值 与1的
关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸
出2个球，则（ ）
A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件
B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件
C．“摸出的球颜色相同”的概率为
D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立
10.已知椭圆 ，双曲线 ，它们的离心率分别为 ， ，
则（ ）
A． 可能为等轴双曲线 B． 的焦距小于 的焦距
C． 与 恰有四个公共点 D．
11.直四棱柱 的所有棱长都为4， ，点P在四边形 及其内部运
动，且满足 ，则（ ）．
A．存在点P使得 平面
B．直线 与平面 所成的角为定值
C．直线 与 所成角的范围为D．点P到平面 的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知数列 的前n项和为 , , ,则
.
13.点P在直线 上运动，从点P向圆 引切线，则切线长的最小值为
.
14.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与C交于M、N两点，设
的内切圆圆心为 ，外接圆圆心为 ，则 的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本题13分)在长方体 中，底面 为正方形， ， ， 为
中点， 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求 与平面 成角的正弦值.
16.（本题15分）如图所示，已知双曲线 与抛物线 有相同的焦点F，它们在第一
象限内的交点为M.(1)写出抛物线 的焦点坐标和准线方程；
(2)若双曲线 的渐近线为 .
(i)求双曲线的标准方程；
(ii)求点M到双曲线 两个焦点的距离之和.
17.（本题15分）设等差数列 的公差为 ,且 .令 ,记 , 分别为数列
, 的前 项和,已知 ,
(1)求 , 的通项公式;
(2)若 = ，数列 的前 项和为 ,求
.
18.（本题17分）如图，在四棱锥 中， ， ．(1)证明： 平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形， ．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面
ABCD的夹角的余弦值为 ．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范
围．
19.（本题17分）已知椭圆的标准方程为 ，离心率为 且过点 ，
直线 与椭圆交于 、 两点且不过原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 ，求证：直线 经过定点，并求出定点的坐标；
(3)若直线 ， ， 的斜率分别为 ，且 ，求 面积的取值范围．题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B D B C D
7. 如图，设准线 与 轴的交点为 ，过 作 ，过 作 ，垂足分别为 ，则
．
根据抛物线定义知 ， ，设 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，得 ，所以 ，所以
，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ． 故选：C.
8.设曲线C上任意一点为 ，
由题意知，曲线C方程为： ，其中 ，
将点 代入曲线方程，得： ，则 .
故曲线C方程为： ，其中 .
可得 ，
当 时， .
因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值 . 故选：D.
二、
题号 9 10 11
答案 ABC BD ABD
9.记2个红球为A，B，3个白球为a，b，c，则任意摸出2个球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，
ac，bc，共10种，
“摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1个红球”有AB，Aa，Ab，Ac，
Ba，Bb，Bc，
“摸出的球颜色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球” 有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，
ac，bc，A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故 B正
确；
C：“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为 ，故C正确；
D：设M＝“摸出的球中有红球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知
P(M)＝ ，P(N)＝ ，P(MN)＝ ，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故D错误． 故选ABC.
10.根据题意，因为 ，所以 不可能为等轴双曲线，A错误；
椭圆 ，半焦距 ，
的焦距为 ，
双曲线 ，半焦距 ，
的焦距为 ，显然 ，B正确；
因为椭圆 中 ，
双曲线 中 ，
则 与 只有 和 两个交点，C错误;
，则 ，D正确. 故选：BD
11.由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且 ，则 ，
根据直棱柱的结构特征知， 关于平面 对称且 面 ，
由 ，点P在四边形 及其内部运动，则 ，
所以 的轨迹是以 的中点 为圆心， 为半径的半圆（含端点），如下图示，
当 与 重合时， ，即 ， 面 ， 面 ，
所以 平面 ，A对；
由上分析知，直线 与平面 所成的角，即为半圆锥 的母线与底面所成角，所以直线 与平面 所成的角为定值，B对；
由 ，直线 与 所成角，即为直线 与 所成角 ，
根据对称性，当 从 运动到半圆的最上方时， 由最小逐渐增加到最大，
即 与 重合时，最小 为 ，显然不满足区间 的最小值;C错
令点P到平面 的距离为 ，到直线 的距离为 且 ，
而 ， ， ，
由 ，则 ，整理可得 ，
所以 ，D对.
故选：ABD
三、
题号 12 13 14
答案
14.由题意可得 ，由 解得 和 ，
即 ，易知直线 经过点 ，
由 可得 ，故 的外接圆圆心 为 的中点，即 ，
又 的内切圆圆心为 ，则由对称性可知，点 在 轴上，不妨设 ，
易得直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离等于该点到直线 的距离，
即 ，解得 或 （不合题意，舍去），故得 ，
故 .
四、
15.（1）法1：取 的中点 ,连接 , ,
依题意可知： 且 , 且
所以 且 ,四边形 为平行四边形，故 ，………………………4分
又 平面 , 平面 ,所以 平面 .…………………………6分
法2：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系
， ， ， , ,
， ，………………………………2 分
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，…………………………4分
,又 面 ，所以 平面 ，……………………………6分（2）由（1） ，…………………………………………………………8分
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 . …………………………………13分
16.（1）因为抛物线 ，
所以抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ……………………………4分
(i) 设双曲线的方程为
（2）
则 ， ， ∴ ， ，
∴双曲线 的方程为 ……………………………………………………………8分
(ii)由 ，可得 或 (舍去) 所以 ，……………10分
由抛物线的定义可知 ，…………………………………………………12分
由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，…………………………………14分
∴点M到双曲线 两个焦点的距离之和为 .…………………………………15分
17.(1)由 ,得 , …………………………………………………1分
则 ……………………………………………………3分
又 …………………………………………………5分
所以 即 解得 (舍去)…………7分所以 ………………………………………………………………………………9分
则 ……………………………………………………………………10分
(2) ……………………12分
……………………………14分
…………………………15分
18.（1）因为 平面PAD， 平面PAD，所以 ．
又 ， 平面ABCD， 平面ABCD， ，
所以 平面ABCD．……………………………………………………………………3分
（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
（ⅰ） ， ， ，
， ， ，设
，
则 ．
设平面AEF的法向量为 ，则 即 ，
取 ，得 ， ，
所以 是平面AEF的一个法向量，……………………………………………6分
因为 平面ABCD，所以 是平面ABCD的一个法向量．……………………7分因为平面AEF与
平面ABCD的夹角的余弦值为 ，
所以 ，得 ，所以 ．……………9分（ⅱ）设 ，则 ．
因为 为平面AEGF的一个法向量，所以 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 ， ．………………………………………………………11分
， ， ， ， ， ，
因为M在平面PBC上，所以 ，
所以 ．
设平面MAD的法向量 ，则 即 ，
取 得 ， 所以 是平面MAD的一个法向量，………………14分
设EG与平面MAD所成角为 ，则
因为 ，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 ．………………………………17分
19.（1）由已知得 ， 且 ，
所以椭圆的标准方程为 ；…………………………………………………………3分
（2）分类讨论：
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程组 消去 得 ，
则 ， ，
由 ，得 ，…………………………………6分
由 ，得 ，即 ，
化简得 ，
从而 ，
化简得 ，
即 ，所以 或 （直线过点 ，舍去），
即直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．……………………………9分
②当直线 的斜率不存在时，令 ，代入椭圆方程得 ，
则 ，所以 ，
可得 ，则 ，解得 或 （舍），
所以直线 的方程为 ，也过定点 ；…………………………………………10分
（3）由（2）知 且 ， ，，
因为直线 ， ， 的斜率分别为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，
又 ，所以 ， ，……………………………………………………………13分
因为直线 的斜率存在且不过原点，结合 可得 ，
而 斜率存在，故 不为上下顶点，故 ，
设 为点 到直线 的距离，
则 ………………16分
，
