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2025-2026 学年十堰市八校教联体 11 月联考
高二数学试卷
考试时间：2025年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距
离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量法求点到平面的距离公式即可求解.
【详解】由题得 ，
所以 到平面 的距离为 ，
故选：C.
2. 若直线 ： 与直线 ： 平行，则 ＝（ ）
A. B. 或3 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求 的值即可.
【详解】因为两直线平行，所以：
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 或 .
故选：B
3. 已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向量 方向上的投影向量的模长
为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量 在向量 方向上的投影数量为 ，运算即可得解.
【详解】由题意， ， ， ，
则空间向量 在向量 方向上的投影数量为 .
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
4. 已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将直线 与直线 垂直转化为斜率相乘为-1求出 的值，再根据二倍角公式将
用 表示，即可得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得 ， ， .
故选：B.
5. 从四双不同的鞋中任意取出 只,事件“ 只全部不成对”与事件“至少有 只成对”（ ）
A. 是对立事件 B. 不是互斥事件
C. 是互斥但不对立事件 D. 都是不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】
从 双不同的鞋中任意摸出 只,可能的结果为:“恰有 只成对”,“ 只全部成对”,“ 只都不成对”,即可求
得答案.
【详解】从 双不同的鞋中任意摸出 只,可能的结果为:
“恰有 只成对”,“ 只全部成对”,“ 只都不成对”,
故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有 只成对”+“ 只都不成对” “至少有两只不成对”.
事件“ 只全部不成对”与事件“至少有 只成对”是:对立事件.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了判断2个事件是否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体
分析,考查了分析能力,属于基础题.
6. 如图，在四面体 中， 分别为 的中点， 为 的重心，则 （ ）
A.
B.
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学科网（北京）股份有限公司C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算，将 用 表示即可.
【详解】因为 分别为 的中点，所以 .
因为 为 的重心，所以 ，
所以 .
故选：B.
7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 ），先后抛掷两次，将得到的点数分
别记为m，n，记向量 ， 的夹角为 ，则 为钝角的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知求出满足条件的 满足的关系式，然后分别令 ，求得满足条件的
.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.
【详解】由 可得， ，
所以 .
因为 为钝角，所以 ，且 不共线，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，且 .
当 时，有 且 ，所以 可取1，3，4，5，6；
当 时，有 ， 可取3，4，5，6；
当 时，有 ， 可取5，6；
当 ， ， 时， ，此时无解.
综上所述，满足条件的 有11种可能.
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以 为钝角的概率
故选：D.
8. 在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，
若 ，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 外接球的表面积为
②点 与点 之间的距离为
③四面体 的体积为
④异面直线 与 所成的角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知线段 的中点为四面体 外接球球心，结合球体表面积公式可判断①；过点
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学科网（北京）股份有限公司在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 作 交 于点 ，以点 为坐标原点， 、
所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的垂线为 轴建立空间直角坐标系，利用
空间向量法可判断②③④的正误.
【详解】对于①，取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
因为 ，所以， ，
所以， 为四面体 的外接球球心，球 的表面积为 ，①对；
对于②③④，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，过点 作 交 于点 ，
则二面角 的平面角为 ，
在 中， ， ， ，则 ， ，
，则 ， ， ，
， ， ， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的垂线为 轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为 ，则 、 、 、 ，
，②错，
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学科网（北京）股份有限公司， ，③对，
， ，
，故异面直线 与 所成角为 ，④错.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中
去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求
出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线 ，则（ ）
A. 直线 不过原点
B. 直线 可能与坐标轴垂直
C. 时，直线 与直线 垂直
D. 时，直线 的一个方向向量为
【答案】AC
【解析】
【分析】由 不满足直线方程可判断A，根据直线方程可得直线的斜率可判断B，根据直线的位置关
系可判断C，根据直线的方向向量可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为直线 ，
所以 不满足直线方程，即直线 不过原点，故A正确；
由直线方程可知直线 的斜率为 ，且不为0，故直线 不可能与坐标轴垂直，故B错误；
当 时，直线 ，由 可知直线 与直线 垂
直，故C正确；
当 时，直线 ，直线 的一个方向向量为 ，而 ，故D错误.
故选：AC.
10. 已 知 一 组 样 本 数 据 ， 其 中 为 正 实 数 ． 满 足
．下列说法不正确的是（ ）
A. 样本数据的第50百分位数为
B. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
C. 已知这组数据的极差是6，则数据 的极差是11
D. 样本数据的方差 ，则这组样本数据的总和等于80
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由百分位数求法可判断；对于B，根据频率分布直方图可判断；对于C，根据极差变化
可得数据 的极差是12；对于D，由 可得 ，
然后可得总和.
【详解】因为 ，样本数据的第50百分位数为 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B， 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，
则样本数据的平均数小于中位数，故B正确；
对于C，由题知，这组数据的极差为 ，
则数据 的极差为 ，故C错误；
对于D， ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：C.
11. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在球台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍
物后也遵从反射定律.如图，有一张正方形球台 ，现从角落 沿角 的方向把球打出去，球经2次
碰撞球台内沿后进入角落 的球袋中，则 的值可以为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，分两种情况作图计算：第一种情况：现从角落 沿角 的方向把球打出去，球先接触
边 ；第二种情况：现从角落 沿角 的方向把球打出去，球先接触边 .
【详解】第一种情况：现从角落 沿角 的方向把球打出去，球先接触边 ，反射情况如下：
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学科网（北京）股份有限公司设 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ；
如图；根据直线的对称性可得： ；
第二种情况：现从角落 沿角 的方向把球打出去，球先接触边 ，反射情况如下：
设 关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ，
如图；根据直线的对称性可得： ；
故选：AD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 求过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程（答案写成直线的一般方程）________.
【答案】 或
【解析】
【分析】对截距不为0时及为0时进行分类讨论，设出直线 并代点计算即可得.
【详解】当截距不为0时，设直线 的方程为 ，
又 过点 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，所以直线 的方程为 ；
当截距为0时，设直线 的方程为 ，
又 过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
综上，直线 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
13. 在正三棱锥 中， ，且该三棱锥的各个顶点均在以 为球心的球面上，设
点 到平面 的距离为 ，到平面 的距离为 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，得到 两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建
立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】在正三棱锥 中， ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
同理可得 ， ，即 两两垂直，
把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示，
正方体的体对角线就是外接球的直径，则 ，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
则点 到平面 的距离 ，
所以 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求点 到平面 距的离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体 的体积，然后计算出 的面积，利用锥体的体积公式可计
算出点 到平面 的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面 的一个法向量 的坐标，进而可得出点 到平面 的距离为
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学科网（北京）股份有限公司.
14. 从方程 的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法求出非负整数解和正整数解的个数，再利用古典概率公式，即可求解.
【详解】因为方程 的非负整数解有 个，
它们是 ， ，
， ，
其中 均为正整数解有 个，
所以从方程 的所有非负整数解中随机取出一组解，则该解是正整数解的概率为 .
故答案为： .
四、解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知坐标平面内三点 ， ， .
（1）求直线 ， ， 的斜率和倾斜角；
（2）若 为 的边 上一动点，求直线 的斜率的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；
（2）根据 点移动时，直线 夹在直线 和直线 之间，运动时 不可能与 轴垂直，由此可得
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学科网（北京）股份有限公司斜率范围．
【小问1详解】
解：因为 ， ， ，
由斜率公式，可得 ，
再由直线倾斜角的定义得：
直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 .
【小问2详解】
如图所示，当直线 由 绕点 逆时针转到 时，直线 与线段 恒有交点，
即 在线段 上，此时 的斜率 由 增大到 ，
所以 的取值范围为 .
16. 为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者
中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为 6组，并作出了如图所示的频率分布
直方图（最低40分，最高100分）．
（1）求a的值；
（2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数；
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学科网（北京）股份有限公司（3）认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数）
【答案】（1）
（2）众数为65分，平均数为71.8分
（3）68分
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，可求出 的值；
（2）根据众数和平均数的定义求解即可；
（3）根据频率分布直方图计算出第40百分位数，即可得出结果.
【小问1详解】
在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1，
可得 ，解得 ，
【小问2详解】
估计本次竞赛成绩的众数为 分，
估计本次竞赛成绩的平均数为
分.
【
小问3详解】
由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数，
前两个矩形面积之和为 ，
前三个矩形面积之和为 ，
设第40百分位数为 ，则 ，
则 ，解得 ，
因此，估计良好认定的分数线为68分.
17. 如 图 ， 在 四 棱 柱 中 ， 平 面 ， ，
． 分别为 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得 ，
结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
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学科网（北京）股份有限公司故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
【小问2详解】
以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有 、 、 、 、 、 ，
则有 、 、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 ， ，
分别取 ，则有 、 、 ， ，
即 、 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 ，平面 的法向量为 ，
则有 ，
即点 到平面 的距离为 .
18. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角
逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：
的
第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组 胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四
名；
第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；
第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.
已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为 ，高
二、高三对高一和行政组的胜率均为 ，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对
阵高三，高一对阵行政组.
（1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；
（2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；
（3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每
组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以
上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）得冠军的概率分别为 与 ，“双败淘汰制”对高二夺冠有利
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由题意可得高二两场全输，计算其概率即可得；
（2）由题意可得高二后三场全胜，结合每轮的对手及胜率计算即可得；
（3）在“双败淘汰制”下，分别计算高二全胜、只输了第一场与只输了第二场的概率，求和即可得其夺冠概
率；在“单败淘汰制”下，高二需全胜，计算其概率即可得其夺冠概率；比较两者概率大小，即可得解.
【小问1详解】
设高二在第 场比赛获胜的事件为 ，
由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输，
则 ；
【小问2详解】
由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军，
则 ；
【小问3详解】
在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场，
若高二全胜，其概率为 ，
若高二只输了第一场，则 ，
若高二只输了第二场，则 ，
则高二获得冠军的概率为 ；
在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则 ，
由 ，故 ，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于计算“双败淘汰制”下高二获得冠军的概率需要分全胜、只
输了第一场与只输了第二场的情况进行计算.
19. 如图①所示，矩形 中， ， ，点M是边 的中点，将 沿 翻折到
，连接 ， ，得到图②的四棱锥 ，N为 中点，
（1）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小；
（2）设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）借助面面垂直的性质，以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用
线面角的向量求法求出大小.
（2）连接DG，过点D作 平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标
运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，由 ，得 ，而平面 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司平面 平面 平面 ，则 平面 ，
过 作 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，
在矩形 中， ， ，则 ，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设直线BC与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线BC与平面 所成角的大小为 .
【小问2详解】
连接 ，由 ，得 ，而 ，则 为 的平面角，即
，
过点 作 平面 ，以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ，
显然 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
在平面 内过 作 于点 ，则 平面 ，
设 ，而 ，则 ， ， ，
即 ， ，
所以 ，
于是 ， ，
设平面PAM的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 和平面 为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
令 ， ，则 ，即 ，则当 时， 有最小值 ，
所以平面 和平面 夹角余弦值的最小值为 ．
【点睛】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求
得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个
半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角．
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学科网（北京）股份有限公司
