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2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上
映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵
轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ）
A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势
B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）
C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）
D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）
4． 的展开式中为常数项的是（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
5．与椭圆 有公共焦点，且离心率 的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．定义域为 的可导函数 ，其导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．函数 是一个偶函数 B．在区间 内，函数 的单调性为先减再增
C．函数 至少有五个零点 D．函数 有两个极大值
7．化简 ，其结果等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知公差为 的等差数列 满足 ， ， 成等比数列，则（ ）
A． B． 的前 项和为
C． 的前100项和为100 D． 的前10项和为
10．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开
“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个
航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（）
A．若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法
B．若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法
C．若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法
D．若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法
11．已知函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． 与 的图象有且仅有一个交点
B．函数 在其定义域上单调递增
C．若方程 有实数根，则
D．
三、填空题
12．已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ．
13．若函数 ，则 ．
14．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马
数字的表示法如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为
，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那
么可以表示的不同的三位数的个数为 ．
四、解答题15．已知 ，它的二项式系数之和为64．
(1)求n的值；
(2)求 的值．
16．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性．
17．如图，在圆锥 中，底面圆 的直径 ，母线 ，若点 是 上靠近点 的三等分
点， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值．
18．为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开
展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进
行家访．
(1)每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？
(2)如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？
(3)若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师
四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？
19．在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数 描述，光线的
曲率 决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为： ．
其中， 是函数 的导函数， 是函数 的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜
的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数 ，定义在区间 上．假设
光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率 决定其聚焦能力．
(1)若 ，求函数 在 处的曲率k；
(2)已知实数 ，对于任意的 ，若 恒成立，
i.求a的值；
ⅱ.证明：对于任意 ，曲率 满足不等式 ，并解释其光学意义．（参考数据：
）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B C D A D AD ACD
题号 11
答案 ACD
1．B
解一元二次不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
2．A
根据三角函数的定义求出 ，再由诱导公式计算可得.
【详解】因为角 的终边经过点 ，所以 ，
所以 .
故选：A
3．C
根据极差、中位线、百分位的定义计算可得.
【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下
降趋势，故A错误；
对于B：上映前十天的票房极差为 （亿），故B错误；
对于C：上映前十天的票房从小到大排列为 、 、 、 、 、 、 、 、 、
，
所以上映前十天的票房中位数为 （亿），故C正确；
对于D：因为 ，所以上映前十天的票房第70百分位数为 （亿），故D错误.
故选：C
4．B写出展开式的通项，令 ，求出 ，即可得解.
【详解】 展开式的通项为 ，（ ），
令 ，解得 ，
所以 的展开式中为常数项的是第2项.
故选：B
5．C
依题意设双曲线方程为 ，再由离心率求出 ，即可得解.
【详解】椭圆 的焦点为 ，
依题意设双曲线方程为 ，
又双曲线的离心率 ，所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 .
故选：C
6．D
根据导函数图象得到函数的单调性，即可得到函数的极值点，即可判断.
【详解】由导函数 的图象可知，当 或 时 ，当 时 （仅在
处取等号），
所以 在 ， ， 上单调递增，
当 或 时 ，
所以 在 ， 上单调递减，所以 在 、 处取得极大值，即函数 有两个极大值，故D正确，B错误；
若 为偶函数，则 ，所以 ，
则 为奇函数，显然 不为奇函数，故A错误；
由于只知道 的单调性，不知道其函数值的特征，故无法判断其零点，故C错误.
故选：D
7．A
根据二项式定理 ，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理
的形式求出结果．
【详解】设 ．
根据组合数的性质 ，则 ．
由二项式定理可知 ，
即 ．
那么 ，
因为 ，所以 ．
即 ，则 ．
故选：A．
8．D
据已知条件构造函数 并得出函数 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数 的单
调性进而可以即可求解.
【详解】设函数 ，定义域为 ，则 ，
因为当 时， ，所以当 时， ，∴ 在 上单调递增，
∵函数 是定义在 上的奇函数， ，
∴ ，
∴函数 是定义域为 的偶函数，
∴ 的单调递减区间为 ，
∵ ，∴ ， ，
当 时， 等价为 ，即 ，解得 ，
当 时， 等价为 ，即 ，解得 ，
当 时， 不符合题意，
综上不等式 的解集是 ，
故选：D.
9．AD
根据等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利
用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D.
【详解】对于A：因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，则 ，故A正确；
对于B： 的前 项和为 ，故B错误；
对于C：因为 ，
所以 的前100项和为，故C错误；
对于B：因为 ，
所以 的前10项和为 ，故D正确.
故选：AD
10．ACD
对于A，利用捆绑法求解判断即可；对于B，分神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位或神
舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，两种情况求解判断即可；对于C，利用插空法求解判
断即可；对于D，先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，再剩下4名航天员全排列，进
而求解判断即可；
【详解】对于A，先将神舟十七号航天员乘组3名航天员看成一个整体，
再与神舟十八号乘组3名航天员进行排列，
因此共有 种不同的排法，故A正确；
对于B，有两种情况：神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位；
或者神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，
因此共有 种不同的排法，故B错误；
对于C，先排神舟十八号乘组3名航天员，在其前后会留下4个空位，
再将神舟十七号乘组3名航天员插入空位中，
因此共有 种不同的排法，故C正确；
对于D，先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，再剩下4名航天员全排列，
因此共有 种不同的排法，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
令 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断A，C，利用特殊值判断B，由A选项可知恒成立，当且仅当 时取等号，从而得到 ，即可判断D.
【详解】对于A：令 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 有且仅有一个零点，所以 与 的图象有且仅有一个交点，故A正
确；
对于B： ，定义域为 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在定义域上不可能单调递增，故B错误；
对于C：若方程 有实数根，即 与 有交点，
由A可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，当 时 ，
所以 ，故C正确；
对于D：由A可知 恒成立，即 恒成立，
则 恒成立，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 ，
即 ，即 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD
12．
根据数量积的定义求出 ，再由 及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为向量 与 的夹角为 ， ， ，
所以 ，
所以
.
故答案为：
13．6
先对原式进行变形，使其符合导数定义的形式，再结合复合函数求导法则求出 的导数，进而求出极限
值.
【详解】已知 ，给分子分母同时乘以 ，可得：
令 ，当 时， ，则上式可化为 .
根据导数的定义可知 ，所以 .
已知 ，根据复合函数求导法则， 得 .
将 代入 ，可得 .
可得 .
故答案为：6.14．
将5根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解.
【详解】用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
5根火柴：表示数字 ，此时表示的数有 个（ ）；
1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有
个；
2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示
的数有 个.
1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9，
所以能表示的数有 个；
1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5，
所以能表示的数有 个；
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故答案为： .
15．(1)
(2)728
（1）根据二项式系数之和的性质求出 的值，
（2）通过赋值法求出 的值.
【详解】（1）根据二项式系数之和的性质：可得 ，即 ，所以 ．
（2）已知 ，且 ，
则 ．
令 ，可得 ，即 ．
令 ，可得 ，即 ．将 代入 ，可得 ，移项可得
．
16．(1)
(2)答案见解析
（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当 时 ，则 ， ，
所以 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）函数 的定义域为 ，
又 ，
当 时 恒成立，所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
综上可得：当 时，单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
17．(1)证明见解析
(2)
（1）根据三角形中位线证明 ，根据线面平行的判定定理即可证明结论.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图连接 ，
因为底面圆 的直径 ，所以 为 的中点，
因为点 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）如图取 的中点 ，连接 ，则 ，
如图建立空间直角坐标系，因为底面圆 的直径 ，母线 ，
所以 ，又点 是 上靠近点 的三等分点，连接 ，则 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ；
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 .18．(1)
(2)
(3)
（1）按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先分组，再分配，部分平均分组，需要除以组（平均的组）数的全排列；
（3）分 小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得.
【详解】（1）每位老师都只安排到一个住宅小区，
则每位老师都有 种安排方法，
所以不同的安排方法有 种；
（2）先将 人分成人数为 或 的三组，
再将分好的三组安排到 三个小区，
则不同的安排方法有 种；
（3）分两种情况，
第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区，
再将其余四人分成人数为 的三组安排到B，C，D三个小区，
则不同的安排方法为 种；
第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区，
再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为 种，
所以不同的安排方法种数为 种.
19．(1)0(2)i.1； ⅱ.答案见解析
（1）需要先求出函数的一阶导数和二阶导数，再代入曲率公式计算；
（2）i.要根据函数单调性求出最小值，结合不等式恒成立求出 的值；ii.先求出曲率表达式，再令 ，
则原命题等价于 ，证明： .分类讨论，再证明 即可，并解释光学意义.
【详解】（1）当 时， . 求一阶导数 .
求二阶导数可得 .
， .
代入曲率公式 ，得到 .
（2）i.求 的一阶导数 ，
因为 ， ，所以 ，即 在 上单调递增.
则 在 上的最小值 .
因为对于任意的 ， 恒成立，所以 .
令 ， ，求导 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以 在 处取得最大值 ，则 ，
又因为 ，所以 ，即 .
ii.由前面计算可知 时， ， ， .代入曲率公式 可得： .
令 ，则原命题等价于 ， ，证明： .
首先证明： ：
因为 ，对于 ，绝对值 ，
分母 ， ，所以 .
再来证明 ：
因为 ，
当 ， ；当 ， ；
当 ， ，分母 （当 时取等号），
所以 .
当 ， ，
所以分子 最大值小于 ,分母 最小值大于 ，
则 .
当 时， .
综上所得， ， .
即对于任意 ，曲率 满足不等式 .
光学意义：曲率 满足 表示在 这个区间内，
光线的聚焦能力在 到 之间变化，当 时，光线无聚焦能力；
当 时，光线聚焦能力最强.
