文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．“点A在直线 上”用符号语言可以表示为 .
【答案】
【解析】A在直线 上，即
故答案为：
2．在正方体 中， ，则直线 到平面 的距离为 ．
【答案】2
【解析】根据正方体的性质可知， .
又 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 .
所以，点A到平面 的距离，即等于直线 到平面 的距离.
又 平面 ，所以点A到平面 的距离即为 .
所以，直线 到平面 的距离为2.
学科网（北京）股份有限公司故答案为：2.
3．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是 ．
【答案】
【解析】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即 ，另一边长为2，
故圆柱的侧面面积为 .
故答案为：
4．如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角为 ．
【答案】
【解析】在正方体 中，连接 ，
正方体 的对角面 是矩形，则 ，
因此 是异面直线 与 所成的角或其补角，
学科网（北京）股份有限公司而 ，即 是正三角形，则 ，
所以异面直线 与 所成的角为 .
故答案为：
5．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为 ，则该圆锥的高为 ．
【答案】√3
【解析】由已知得该圆锥的高为 .
故答案为：√3.
6．一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且 ，则原梯形的面积为
.
【答案】8
【解析】在 坐标系中作出直观图对应的原图形 ，它是直角梯形，如图.
学科网（北京）股份有限公司易得 ， ， ，
故原梯形的面积为： ，
故答案为：8.
7．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的 倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为
.
【答案】 /
【解析】设斜线和平面所成角为 ，则 ， .
故答案为： .
8．已知球的两个平行截面的面积分别为 ， 且两个截面之间的距离是 ，则球的表面积为
．
【答案】
【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为 ， ，球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
当两截面在球心的同侧时， ，
解得 ，球的表面积为 ；
当两截面在球心的同侧时， ，无解；
学科网（北京）股份有限公司综上，所求球的表面积为 .
故答案为： .
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面
PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 ．
【答案】45°
【解析】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，
又因为PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AD＝A，PA、AD在⊂面PAD内，所以CD⊥平面PAD，
又因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD，
于是∠PDA⊂为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
因为PA⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，PA⊥AD，
又因为PA＝1，AD＝1，所⊂以∠PDA＝45°，
于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．
故答案为：45°．
10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 .
（1）直线 与直线 相交；
（2）直线 与直线 平行；
（3）直线 与直线 是异面直线；
（4）直线 与直线 成 角.
【答案】（3）（4）/(4)(3)
学科网（北京）股份有限公司【解析】解：由正方体的平面展开图可得正方体 ，
可得 与 为异面直线，故（1）错误；
与 为异面直线，故（2）错误；
直线 与直线 是异面直线，故（3）正确；
连接 ， ，由正方体的性质可得 ，所以 为异面直线 与直线 所成的角，因为
为等边三角形，所以 ，即直线 与直线 所成角为 ，故（4）正确；
故答案为：（3）（4）．
11．设 和 都是平面 的垂线，其垂足分别为 .已知 ，那么线段
.
【答案】 或
【解析】如图所示，因为 和 都是平面 的垂线，其垂足分别为 ，
可得 ，且 ，
如图（1）所示，当点 在平面的同侧时，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
在直角 中，可得 .
如图（2）所示，当点 在平面的两侧时，
过点 作 的延长线的垂线，设 ，垂足为 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司在直角 中，可得 .
故答案为： 或 .
12．如图，平面 平面 ， ， ， ．平面 内一点 满足 ，记直
线OP与平面OAB所成角为 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】如图，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ， ，
取 的中点为 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，
平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 在平面 上的射影就是直线 ，
故 就是直线 与平面 所成的角 ，即 ，
， ，
又 ， ， ， 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司平面 ， 平面 ， ，
故点 的轨迹就是平面 内以线段 为直径的圆 点除外 ，
，且 ， ，
设 ，则 ，从而 ，
，如图，
当且仅当 ，即 是圆 的切线时，角 有最大值， 有最大值，
取得最大值为： ．
故答案为： .
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．下列说法错误的是（ ）
A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形
C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】B
【解析】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.
故选：B
14．已知 是直线， 是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【解析】若 ，则有 ，故可判断A错误.
若 ，则 或 ，故B错误.
若 ，则 存在直线与 平行，所以 ，故C正确.
若 ，则 或 ，故D错误.
故选：C.
15．《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体 ，其中 ，“羡除”形似
“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长 、 、 ，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平
面的距离 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离 （如图）．羡除的体积公式为
，过线段 ， 的中点 ， 及直线 作该羡除的一个截面 ，已知 刚好将羡除
分成体积比为 的两部分．若 、 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】因为 、 、 ， ， 为线段 ， 的中点，
所以 且 ，
所以 ， ，
即 ， ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，即 ，解得 .
故选：B
16．如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则以下命题正确的序号为（ ）
①直线 平面
②平面 与平面 的夹角大小为
③三棱锥 的体积为定值
④异面直线 与 所成角的取值范围是
A．①② B．①③ C．①③④ D．①④
【答案】B
A B C D
1 1 1 1
【解析】如图，连接 ，正方形 中， ，
A B C D A B C D
正方体的棱 平面 1 1 1 1， 平面 1 1 1 1， ，
学科网（北京）股份有限公司， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，同理 ．
， 平面 ，所以 平面 ，①正确；
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
则 是平面 与平面 的夹角，显然三角形 为等腰直角三角形，则该角大小为 ，②错；
因为 ， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，因此有 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
，因此 到平面 的距离为定值，三棱锥 的体积为定值，③正确；
由于 ，因此异面直线 与 所成角就是 与 所夹的角，
即图中 或 ，设正方体棱长为1，易知 ，
当点 为 中点时，此时 ，
因为 是等边三角形， 在线段 ，因此 或 中较小的角的范围是 ，④错误．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，已知 分别是正方体 的棱 的中点，且 与 相交
于点 ．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线 与 所成角的大小．
【解析】（1）平面 平面 ，
由于 平面 ， 平面 ，
所以 ，也即点Q在直线DC上. （6分）
（2）根据正方体的性质可知 ，
所以异面直线 与 所成角为 ， （8分）
由于 分别是 的中点，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 . （14分）
18．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点， ，
， 平面ABCD， ，M是PD的中点．
学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面ACM
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
【解析】（1）连接 ，在平行四边形 中，
因为 为 与 的交点，
所以 为 的中点， （2分）
又 为 的中点,所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 平面 . （6分）
（2）取 中点 ,连接 , ，
因为 为 的中点,所以 ,且 ,
学科网（北京）股份有限公司由 平面 ，得 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角. （8分）
因为底面 为平行四边形，且 ， ，
所以 ，则 ，
在Rt 中, ,所以 ,从而 ，
因为 平面 , 平面 , ，
所以在Rt 中， ， ，
所以直线 与平面 所成角大小为 . （14分）
19．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半
径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高
为30cm，底面的周长为 .
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到 ）；
(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱
网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元）
【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为 ，圆柱高为 ，
则由题意有 ，得 ，圆锥高 ，
学科网（北京）股份有限公司所以“笼具”的体积 . （6分）
（2）圆柱的侧面积 ，圆柱的底面积 ，
圆锥的侧面积 ，
所以“笼具”的侧面积 . （12分）
故造50个“笼具”的最低总造价为 元. （14分）
答：这种“笼具”的体积约为 ；生产50个笼具需要138.7元.
20．如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ， ．
(1)证明： 与平面 不垂直；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)如果 ，二面角 等于 ，求二面角 的大小．
【解析】（1）若 平面 ，
则 ，
由已知 ，
得 ， （2分）
这与 矛盾，所以 与平面 不垂直． （4分）
（2）取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由 ， ，得 ，
，
为直角梯形的中位线， （6分）
，又 ，
∴CD⊥平面PEF， （8分）
学科网（北京）股份有限公司由 平面 ，得 ，又 且梯形两腰 、 必交，
平面 ,
又 平面 ，
平面 平面 , （10分）
（3）由（2）及二面角的定义知 为二面角 的平面角,
作 于 ，连 ，
由于 平面 , 平面 ,故 ,
, 平面 ,故 平面
平面 ,所以
故 为二面角 的平面角, （12分）
即 ，
由已知，得 ，
又 ．
，
． ，
故二面角 的大小为 ． （18分）
21．如图，斜三棱柱 中， ， 为 的中点， 为 的中点，平面 ⊥平面
．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：直线 平面 ；
(2)设直线 与直线 的交点为点 ，若三角形 是等边三角形且边长为2，侧棱 ，且异面
直线 与 互相垂直，求异面直线 与 所成角；
(3)若 ，在三棱柱 内放置两个半径相等的球，使这两个球
相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱 的高．
【解析】（1）斜三棱柱 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， （2分）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ； （4分）
（2）因为AC=BC， 为 的中点，所以CD⊥AB，
因为平面 ⊥平面 ，交线为AB，CD 平面ABC，
所以CD⊥平面 ，故 ⊥平面 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ,又 与 互相垂直， , 面
故 面 ,得 .即 为直角三角形， （6分）
在 中， 为中点， ，所以 为 的三等分点，设 ，
由余弦定理可得：
解之： ，所以 故
⊥平面 ， 在 中， .
与 所成的角为
（10分）
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，连
为直截面，小球半径为 的内切圆半径
因为 ，所以 ，
故AC⊥BC，则 （12分）
学科网（北京）股份有限公司设 所以 ，由 解得 ，
；
由最小角定理
（14分）
由 面 ,易知 ，
内切圆半径为：
则 （18分）
学科网（北京）股份有限公司
