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2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2．2
3．
4．
5．√3
6．8
7． /
8．
9．45°
10．（3）（4）/(4)(3)
11． 或
12．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13 14 15 16
B C B B
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）平面 平面 ，
由于 平面 ， 平面 ，
所以 ，也即点Q在直线DC上. （6分）
（2）根据正方体的性质可知 ，
学科网（北京）股份有限公司所以异面直线 与 所成角为 ， （8分）
由于 分别是 的中点，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 . （14分）
18．（1）连接 ，在平行四边形 中，
因为 为 与 的交点，
所以 为 的中点， （2分）
又 为 的中点,所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 平面 . （6分）
（2）取 中点 ,连接 , ，
因为 为 的中点,所以 ,且 ,
由 平面 ，得 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角. （8分）
因为底面 为平行四边形，且 ， ，
所以 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司在Rt 中, ,所以 ,从而 ，
因为 平面 , 平面 , ，
所以在Rt 中， ， ，
所以直线 与平面 所成角大小为 . （14分）
19．（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为 ，圆柱高为 ，
则由题意有 ，得 ，圆锥高 ，
所以“笼具”的体积 . （6分）
（2）圆柱的侧面积 ，圆柱的底面积 ，
圆锥的侧面积 ，
所以“笼具”的侧面积 . （12分）
故造50个“笼具”的最低总造价为 元. （14分）
答：这种“笼具”的体积约为 ；生产50个笼具需要138.7元.
20．（1）若 平面 ，
则 ，
由已知 ，
得 ， （2分）
这与 矛盾，所以 与平面 不垂直． （4分）
（2）取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由 ， ，得 ，
，
学科网（北京）股份有限公司为直角梯形的中位线， （6分）
，又 ，
∴CD⊥平面PEF， （8分）
由 平面 ，得 ，又 且梯形两腰 、 必交，
平面 ,
又 平面 ，
平面 平面 , （10分）
（3）由（2）及二面角的定义知 为二面角 的平面角,
作 于 ，连 ，
由于 平面 , 平面 ,故 ,
, 平面 ,故 平面
平面 ,所以
故 为二面角 的平面角, （12分）
即 ，
由已知，得 ，
又 ．
，
． ，
故二面角 的大小为 ． （18分）
21．（1）斜三棱柱 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以四边形 为平行四边形，
所以 ， （2分）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ； （4分）
（2）因为AC=BC， 为 的中点，所以CD⊥AB，
因为平面 ⊥平面 ，交线为AB，CD 平面ABC，
所以CD⊥平面 ，故 ⊥平面 ，
所以 ,又 与 互相垂直， , 面
故 面 ,得 .即 为直角三角形， （6分）
在 中， 为中点， ，所以 为 的三等分点，设 ，
由余弦定理可得：
解之： ，所以 故
⊥平面 ， 在 中， .
与 所成的角为
学科网（北京）股份有限公司（10分）
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，连
为直截面，小球半径为 的内切圆半径
因为 ，所以 ，
故AC⊥BC，则 （12分）
设 所以 ，由 解得 ，
；
由最小角定理
（14分）
由 面 ,易知 ，
内切圆半径为：
则 （18分）
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