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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 D A C C D B A B BD ABD ACD 135 18、25
2．解：因为 ，则 ，因此， 的虚部为 .故选：A．
3．解：由 ，得 ．又 ，则 ，
所以 ，所以 ．故选：C．
4．解：若 ， 在直线 的同侧，则 ，解得 ．
若 ， 分别在直线 的两侧，则直线 经过 的中点 ，则 ，解得
．故选：C
5. 解：由数列：-2， ，10成等差数列得， ， ，∴ ，∴
.故选：D
6. 解 ： 由 题 意 ， 在 中 ， ， ，
，所以 ，
由正弦定理可得， ，
则 ；
又在 中， ， ，
由余弦定理可得，
，所以 ，
第1页，共8页因此救援船到达 点需要的时间为 小时.故选：B.
7. 解：甲、乙、丙等6人进行全排列共有 (种)排法,
∵甲、乙、丙的排列为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种,其中甲、
乙均在丙同侧的排列有4种,
∴所求不同的排法共有 ，故选A.
8．解： ．
令 ，则 .
令 ;
当 ，函数 在 时与 只有一个交点，对应的 有两个；
对应的 值有1个，故 不为0，所以 ． 故选B．
9．解：由图知 ，则 ，
，所以 ，则 ，
即
因为 ，所以 ， ，即 ，
因为 ，得 ，所以
对于选项A, 时， ，故A错;
对于选项B,当 时， ，故B对;
对于选项C,当 时， ，最小值为 ，故C错;
第2页，共8页对于选项D, ，故D对;故选：BD.
10. 解：对于选项A，两次都拿到白巧的概率为 ；
对于选项B，第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为 ；
对于选项C，第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为 ；
对于选项D，因为袋子里共有十块巧克力，其中黑巧有6块，
所以每次拿到黑巧的概率都是 ；故选：ABD.
11．解：如图， ，
连接 ，由于 平面 ，
所以 与平面 所成的角为 ，如图，
所以 ，因为 ，所以 ，故A正确；
连接 ，在 中， ，
所 以 ， 因 为 ， 所 以
，所以 的取值范围是 ,故B错误；
设 在底面的射影为 ， 为 中点，连接 ，
则 ，又 ，
则 ，
，
故 ，故C正确；
第3页，共8页以 为坐标原点，直线 为 轴， 为 轴， 为 轴，如图，
则 点 的 坐 标 满 足 ， 可 设 的 坐 标 为
，
由球心在BC的中垂线（即过 外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标
为 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，故 ，所以外接球的半径 ，
所以 ，故D选项正确；故选：ACD.
12. 解： 展开式的通项为 展开式中的
常数项为 .
13. 解：由题可知， 在 上恒成立，
即 恒成立
令 ，则 在 上单调递增
，解得 .
14. 解：当 ， 时， ①，
当 ， 时， ②．
由①②得 ， ，所以 ， ，…， ，
，
累加得 ，所以 ．
第4页，共8页令 ， ，则 且n为奇数， ，
当 时， 满足上式，所以当n为奇数时， ，
此时 ，所以当n为偶数时， ．
所以 ，故 ．
，
所以数列 的前n项和为 ．
数列 的前50项和为
，
令 ，解得 （ 舍去）．故答案为：18；25
解答题：
{a } a
d 0
15.解：（1）设等差数列 n 的公差为 且 n>
a +2a +2d=12 2a +3d=10
由题意得 1 2 1 且 1 ......................2分
解得
a
1
=2
d=2
..............................4分
∴a =2 a =2n
1 n ................6分
1 1 1 1 1
b = = = ( − )
(2) 由(1)
n 4n2 −1 (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
.............9分
第5页，共8页1 1 1 1 1 1
∴T = (1− + − +...+ − )
n 2 3 3 5 2n−1 2n+1
....................11分
1 1 n
（1− )=
=
2 2n+1 2n+1
......................13分
2a 2
∵f' (x)= +
(1) x (x+1) 2
16.解：
1
∴f' (1)=2a+
2
..................3分
x−1
f(x)=2alnx+
∵
x+1
在
x=1
处的切线与直线
x+2 y+1=0
平行，
1 1 1
∴f' (1)=2a+ =− ∴a=−
2 2 2
........5分 ............6分
x−1
f(x)=2alnx+
(2)
∵函数
x+1
的定义域为
(0,+∞)
，
(7 )
x∈ ,+∞
5
可得 ...............9分
x2 +1
又∵f' (x)=− <0，
x(x+1) 2 f(x)在(0，+∞)
所以 上单调递减 ..........13分
又
f(x2 −1)5x−7
，解得：
x<2
或
x>3
(7 )
,2 ∪(3，+∞)
5
因此原不等式的解集为 ． ......................15分
第6页，共8页∵PA⊥平面ABCD CD⊂平面ABCD
17.(1)证明: ,
∴PA⊥CD
又因为底面
ABCD
为正方形
∴CD⊥AD且PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD
............. 3分
又
AE⊂平面PAD ∴CD⊥AE
又∵PA=AD且E为PD中点 ∴AE⊥PD
∴AE⊥平面PCD
...............6分
∵AE⊂平面AEC
∴平面AEC⊥平面PCD
................7分
PE
=λ
(2)建立空间直角坐标系
A−xyz
,设
PD
（
0<λ<1
）,可设
PA=AB=2
..........8分
P(0,0,2)C(2,2,0)D(0,2,0)
⃗AC=(2,2,0) ⃗AE=(0,2λ,2−2λ)
则 ，
..........10分
设平面PAC,平面ACE ⃗n ,⃗n
的法向量分别为 1 2
( λ )
⃗n = −1,1,
⃗n = ⃗BD=(−2,2,0) 2 λ−1
由题意得： 1
.............12分
√6 4
=
3 √ λ 1
2√2 2+（ ） 2 λ=
又由
λ−1
得
2
...............14分
PE 1
=
PD 2
即
..............15分
第7页，共8页30 3 25 1
= =
50 5 50 2
18.解：(1)甲同学的投篮命中率为 ， 乙同学的投篮命中率为 .............2分
1 3 1 1 11
× + × =
1 1 2 5 2 2 20
从甲、乙中随机选择 人投篮 次，投中的概率为 .................4分
（2）由题意：至少投中3次的概率为
甲 乙
3 1 1 1 3 2 3 1 24 6
（ ） 2 × × +（ ） 2 × × +（ ） 2 ×（ ） 2 = 投中 30 25
5 2 2 2 5 5 5 2 100 25
=
未投中 20 25
.............8分
(3)由题意得:甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，有2种情况，
第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，
即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为
3 1 1 27
（ ） 3 × ×（1− ）=
5 2 2 500
................11分
第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，
即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次
投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中。
3 3 1 3 3 1 36
( ) 2 ×(1− )×(1− ) 2 +( ) 2 ×(1− )×(1− ) 2 =
5 5 2 5 5 2 500
其概率为 ............... 15分
27 36 63
+ =
∴ 500 500 500
甲投了第三次后停止比赛的概率为 .................17分
第8页，共8页a+c=2+√2且b=√2
19.解： (1) 由题意可得 ： ................1分
a=2,b=√2
解得： ..............3分
x2 y2
+ =1
4 2
所以椭圆的方程为 .................4分
(2)如图所示：
PB y=k(x−4) B(x ,y ),E(x ,y ),则A(x ,−y )
由题意，可设直线 的方程为 , 1 1 2 2 1 1
联立方程组 消去y得方程: (1+2k2)x2 −16k2x+32k2 −4=0
PB
因为直线 与椭圆有两个不同的交点，
Δ=(16k2) 2 −4(1+2k2)(32k2 −4)>0
所以
16k2 32k2 −4
x +x = ,x x =
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
...................7分
y +y
y+y = 2 1 (x−x )
AE 1 x −x 1
所以直线 的方程为 2 1
x y +x y
x= 1 2 2 1
y=0 y +y
令 ，则 2 1
2(32k2 −4) 64k2
−
x
1
k(x
2
−4)+x
2
k(x
1
−4) 2x
1
x
2
−4(x
1
+x
2
) 1+2k2 1+2k2
= = = =1
k(x +x −8) x +x −8 16k2
1 2 1 2 −8
1+2k2
.........9分
第9页，共8页Q(1,0)
故直线过定点 ........................10分
MN
O⃗M⋅O⃗N=−4
(3)①当直线 与x轴重合时， .................11分
MN MN x=my+1
②当直线 与
x
轴不重合时，设直线 的方程为
联立 ，消去x得方程
(2+m2)y2 +2my−3=0
−2m −3
y +y = , y y =
可知
Δ>0
．
M N 2+m2 M N 2+m2
....................13分
O⃗M⋅O⃗N=x x +y y =(1+m2)y y +m(y +y )+1
所以 M N M N M N M N
−3(1+m2) −2m2 7
= + +1=−4+
2+m2 2+m2 2+m2
............15分
7 7
0< ≤
因为
m2 ≥0
， 所以
2+m2 2
7 1
−4<−4+ ≤−
所以
2+m2 2
1
(−4，− ]
O⃗M⋅O⃗N 2
所以 的取值范围是 ....................16分
[ 1]
−4，−
O⃗M⋅O⃗N 2
综上可知， 的取值范围是 ． ................17分
第10页，共8页
