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2025 年湖北云学名校联盟高二年级期中联考
数学试卷评分细则
1．【答案】A
【解析】由题知 ．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】对于 A，∵ ，∴A 不正确；
对于 B， ， 故 B 不正确；
对于 C， ，故 C 不正确；
对于 D，显然正确．
故选：D．
3．【答案】C 【解析】根据全
概率公式可得:
故选：C．
4．【答案】B
【解析】因为 展开式的通项公式为
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 的展开式中 的系数为 ，得 ．
故选：B．
5．【答案】B
【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定在 8:00~9:00 去金顶、太子坡、南岩宫游玩，且每
人只能去一个地方，则每人有 3 种选择，则 5 人一共有 种情
况， 若金顶没人去，即五位同学选择了太子坡、南岩宫，
每人有 2 种选择方法，则 5 人一共有 种情况，
故金顶一定要有人去有 种情况．
故选：B．
6．【答案】D
【解析】解：设抛物线 的焦点为 ，
由抛物线的定义可知 ．
设 于点 ，则 ，
当 三点共线，且 在 中间时， 取得最小值．
高二期中联考数学答案 第 1 页 共 11 页由抛物线 ，得 ，
所以 的最小值为 ．
故选：D ．
7．【答案】B
【解析】根据题意可令 ，
所以 在 上单调递增，则原不等式等价于 ，
由 ，解之得 ．
故选：B．
8．【答案】C
【解析】解：对 A 选项，根据题意可得： ， A 选项正确；
对 B 选项，设每次插入项的个数构成数列 ，则 ，
数列 是以首项为 1，公比为 2 的等比数列，
数列 的前 项和即为 ， ， B 选项正确；
对 C 选项，
， C 选项错误；
对 D 选项，由 B 选项分析可得 ,又
又
是以首项为 ，公比为 3 的等比数列，
D 选项正确．
故选：C．
9．【答案】AC
【解析】选取的 4 名学生都是男生的不同选法共有 种，故 A 正确；
恰有 2 名女生的不同选法共有 种，故 B 错误；
至少有 1 名女生的不同选法共有 种，故 C 正确；
选取的 4 名学生中至多有 2 名男生的不同选法共有 种，故 D 错误.
故选：AC．
10．【答案】ABD
高二期中联考数学答案 第 2 页 共 11 页【解析】因为 ， , , 且
则 没有最大值，所以 A、D 正确，C 错误；
又由 所以 B 正确．
故选：ABD．
11．【答案】BCD
【解析】对于 A，因为 在 上是先减后增的函数，在对称轴左边的两点连线斜率为
负数，所以对于不相等的实数 不恒成立，故 A 错误；
对于 B，当 时， 令
当 时， 和 都单调递增，所以 在 上单调递增，
又 所以 在 上必有零点，
又当 时可证 恒成立，
综上所述，当 时，函数 恰好有 3 个零点，故 B 正确；
对于 C，由 ，得 ，即
令
则 ， 在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
即 必唯一有零点，
即存在 满足
使得当 时， ；当 时， ；
所以 先减后增，
即存在不相等的实数 使 即 ，故 C 正确．
对于 D,
又： ，
当且仅当 时等号成立，
所以对于任意不相等的正实数 都有 ，故 D 正确．
故选 BCD．
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．【答案】
补充：斜截式和一般式都可以得分
【解析】由 得, ，
所以在 处切线方程为:
故答案为： ．
高二期中联考数学答案 第 3 页 共 11 页13．【答案】
补充：只要化简后的最终结果一致都可以得分
【解析】
故答案为： ．
14．【答案】 （2 分）， （3 分）．
【解析】（1）当 时，双曲线方程为： 由于点 在双曲线上，设点
， ．
．
（2）在 中，由正弦定理：
，
由（1）可得：
故答案为：（1） ，（2） ．
15． 【解析】（1）当 时， ，令 ．．．．．．．．．2 分
故： ，当 时， ；当 时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
故：当 时，数列 前 项和取得最小值．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
高二期中联考数学答案 第 4 页 共 11 页（补充：得出结论但未说明“当时，”扣 2 分）
（2）解法一：当 时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．10分
因为数列 是公差 为等差数列
所以： 不为常数，
故： 的值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．13分
解法二：由解法一知： ， ，可得： ， ．．．．．．．．．．．8 分
因为数列 是公差 为等差数列
解得： 或
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．10分
检验：当 时， ，故： 满足条件；
当 时， ，
，此时： ，
故： 为常数数列，不满足条件．
综上： 的值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．13分
16．【解析】（1）当 时， ， ．．．．．．．．1 分
令 ，
同理：
所以： 在 单调递增，在 单调递减，在 单 调 递 增
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当 时， 取得极大值 ；
高二期中联考数学答案 第 5 页 共 11 页当 时， 取得极小值
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（补充：没有讨论单调性扣 2 分，最后结果没有写出具体极值扣 2 分。）
（2）解法一：由题： ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．8
分
①当 时， ， 在 单调递增， ．
②当 时， ， 在 单调递减， ．
③当 时， 在 单调递增，在 单调递减．
此时： 不合题意．
④当 时， ， 在 单调递增， ．
综上： 的值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．15分
（补充：分类讨论差一种情况或错误扣 2 分，没讨论导数零点取区间端点值的情况扣 2 分。）
解法二：由题： ，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
①当 时， ， 在 单调递增，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．11分
②当 时，由于 ，
在 上的最小值小于 ， 与 题 目 矛 盾 ， 故 不 成 立
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
综上： 的值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．15分
解法三：由题： ，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由题： 的最小值为 ，则必有： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
11分
当 时， ， 在 单调递增，
．
故： 的值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．15分17．【解析】（1）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
，令： ①
②
高二期中联考数学答案 第 6 页 共 11 页① ②得：
所以：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．7 分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．8分
（2）由题：
化简可得：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．10分
令： ，
．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
当 时，此时： ；
（补充：只待入 n=1，n=2，未讲 n≥2， 扣 1 到 2 分）
当 时，此时： ，
补充：
故：数列 满足：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
所以：
故： 的取值范围是
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
18． 【解析】（1）由题：
故：椭圆 的标准方程为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）①解法一：由条件 ，可知直线 的斜率存在，设直线 ， ，
高二期中联考数学答案 第 7 页 共 11 页联立方程组：
（▲）
（未求出 扣 1 分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．7分
由条件 ，
即：
由于直线 不过点 ，故：
化简可得：
．．．．．．．．．．．．．12 分
代入（▲）式，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．13分
此时直线 恒过定点
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
②又因为 ，所以：点 在以 为直径的圆上，圆心为 ，半径为 ．
所以：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
此时 的坐标为 ， 的斜率 ，满足条件．
故： 的最小值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．17分
解法二：设 ， ，由条件 ，即 （ ★ ）．．．．．．．．．．．．．．
5 分
（补充：第（2）问未讨论直线 l 的斜率是否存在或为 0 一律不扣分；全部缺失或未检验 总共只扣 2 分）
由点 在椭圆上，则有： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
6分高二期中联考数学答案 第 8 页 共 11 页① ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．8分
同理： ②
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
① ②可得：
代入（★）式可得：
即： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．12分
变形可得：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．13分
所以：直线 恒过定点
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
下同解法一．
19．【解析】（1） ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1分
由于 不是定义域区间的端点，且 在定义域上连续
故： 不仅是函数 的 最 小 值 ， 同 时 也 是 极 小 值
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．4分
检验：当 时，
，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增．
所以： 成立，
故： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 补充两种解法：高二期中联考数学答案 第 9 页 共 11 页（2）①当 时， ，
令： ；同理：
所以 在 上单调递减，在 单调递增
当 时， ；当 时， ；且 ；
所以：方程 有两个不同的根时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②由题可知： ，
即： 且
构造函数：
所以： 在 上单调递减，故： ．
所以： ，
又因为 所以： ，
又因为 ，所以：
因为： 在 单调递增，
所以：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
要证： ，
即证： ，
即：
高二期中联考数学答案 第 10 页 共 11 页只须证明： ，
即证：
因为： ，故只须证明：
因为 成立．
所以：原不等式 成 立
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分
高二期中联考数学答案 第 11 页 共 11 页
