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文山市第一中学高二年级 12 月月考
数学试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C C C B BD BC
题号 11
答案 AC
1．A 【详解】解：由等差数列的性质可知 ，
所以 ．
故选：A．
2．B 【详解】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.
3．C 【详解】由题意得 ,即 ,解得 或 .
当 时，两直线方程都为 ，两直线重合，不合题意，舍去；
当 时，两直线方程分别为 和 ，此时两直线平行，符合题意.
故选：C.
4．A 【详解】由 的圆心为 ，半径为 ，
而 到 的距离为 ，
所以 .
故选：A
5．C 【详解】设等比数列 的公比为 ，
由题意可得 ，解得 或 ，
又数列 为递增等比数列，所以 ，所以 .
故选：C.
6．C 【详解】数列 为等比数列，设公比为q，且 ， ，
则 ，则 ，
则 ，
则 ，
故选：C.
7．C 【详解】由椭圆定义得： ，又因为 ，
所以解得： ，再由于 ， ，结合勾股定理可得：
，解得 ，所以椭圆 的离心率为 ，
故选：C.
8．B 【详解】把 代入 ，得 ，
所以点 在抛物线 里面，
圆 的圆心记为 ，
因为 的最小值为 ，而 正好是抛物线 的焦点，
过点 作抛物线准线 的垂线垂足为 ，
则根据抛物线的定义得 ，
所以 的最小值等于求 的最小值，
当 三点共线时 最小，最小值为 ，
故 的最小值为 ，
故选：B
9．BD 【详解】依题， ，解得 故A错误，B正确；
则 ， ，故C错误，D正确.
故选：BD.
10．BC 【详解】等差数列 中， ，解得 ，而 ，
因此公差 ，通项 ，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ， 为递减数列，C正确；
对于D， ，所以 的前5项和为
，D错误.
故选：BC
11．AC 【详解】对于A， ，所以表面积为 ，故A对；
对于B，如图所示：
答案第2页，共7页设点 在平面 内的投影为 ， 为 的中点，则由对称性可知 为三角形 的重心，
所以 ，又因为 ，
所以正三棱锥 的高为 ，
所以题图所示几何体的体积为 ，故B
错；
对于C，由B选项可知 面 ，由对称性可知 三点共线，
所以 面 ，而 面 ，
所以面 面 ，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：
其中 轴平行 ，因为 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，所以 ，
不妨取 ，解得 ，所以取 ，
又 ，
而 ，所以直线 与平面 不平行，故D错.
故选：AC.
12． 【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
13． 【详解】当 时， ；
当 时， .所以 .
故答案为：
14. 5【详解】数列 的前n项和 ，当 时， ；当时， 满足上式，则 ，令 ，则
对任意 都成立，即 ，数列 单调递增，因
此 ，故答案为：5
{a +3d=7
15.【答案】解：(1)设等差数列{a }的公差为d，则 1 ，--------------------------------------2分
n a +9d=19
1
解得：a =1，d=2，-----------------------------------------------------------------------------------------------4分
1
∴a =1+2(n−1)=2n−1，-------------------------------------------------------------------------------------5分
n
n(1+2n−1)
S = =n2 ．-------------------------------------------------------------------------------------------------6分
n 2
1 1 1 1 1
(2)b = = = ( − )，-------------------------------------------------------------
n a a (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
n n+1
8分
1 1 1 1 1 1
∴数列{b }的前n项和为T = [(1− )+( − )+…+( − )]----------------------------------11分
n n 2 3 3 5 2n−1 2n+1
1 1 n
= (1− )= ． ---------------------------------------------------------------------------------------------13分
2 2n+1 2n+1
16.【答案】 证明： 3a ， 1 2 1 ， ---------------------------------------------2分
(1) ∵a = n ∴ = +
n+1 2a +1 a 3 3a
n n+1 n
1 1 1
可得 −1= ( −1)，-----------------------------------------------------------5分
a 3 a
n+1 n
1 2
又∵ −1= ≠0，
a 3
1
1 2 1
∴数列{ −1}为等比数列，首项为 ，公比为 ．---------------------------------------7分
a 3 3
n
1 2 1 1 1
(2)解：由(1)知， −1= ×( ) n−1 ，∴ =2×( ) n+1，------------------------------9分
a 3 3 a 3
n n
答案第4页，共7页1 1
[1−( ) n ]
1 1 1 3 3 1
∴S = + +…+ =2× +n=1−( ) n+n，------------------------------11分
n a a a 1 3
1 2 n 1−
3
由 ，则 (1) n ，-----------------------------------------------------12分
S <100 n+1− <100
n 3
(1) n在定义域内单调递增，------------------------------------------------14分
∵y=n+1−
3
所以n =99． ---------------------------------------------------------------------15分
max
17.【答案】解：(1)设等差数列{a }的公差为d，
n
等比数列{b }的公比为q，因为b >0，所以q>0，
n n
{ q2+3+3+d=12 {q2+d=6
依题意得 ,即 ----------------------------------------------------------------------2分
3+4d−2q=3+2d d=q
解得d=q=2或d=q=−3(舍)，-------------------------------------------------------------------------------------4分
∴a =2n+1,b =2n−1 ；--------------------------------------------------------------------------------------------6分
n n
n(3+2n+1)
(2)由(1)可得S = =n(n+2)，---------------------------------------------------------------------------7分
n 2
2 2 1 1
∴ = = − ， ------------------------------------------------------------------------------------------------9
S n(n+2) n n+2
n
分
{1 1
− ,n为奇数
∴c = n n+2 ,-----------------------------------------------------------------------------------------------10
n
2n−1,n为偶数
分
设数列{c }的前2n项和为T ，
n 2n
则T =(c +c +⋯+c )+(c +c +⋯+c )------------------------------------------------------------11分
2n 1 3 2n−1 2 4 2n
1 1 1 1 1
=(1− + − +⋯+ − )+(21+23+25+⋯+22n−1 )------------------------------------------13分
3 3 5 2n−1 2n+1
1 2(1−22n ) 1+22n+1 1
=1− + = − . ----------------------------------------------------------------------------1
2n+1 1−22 3 2n+1
5分18.【答案】解：(1)证明：数列{a }的前n项和为S ，a =2a +2n (n∈N∗)，a =1，
n n n+1 n 1
由a =2a +2n ，两边同时除以2n+1，
n+1 n
a a 1 a a 1
可得
n+1= n+
⇒
n+1− n=
，-----------------------------------------------------------------------------------2分
2n+1 2n 2 2n+1 2n 2
a 1 a 1
又 1= ，所以数列{ n }是首项、公差均为 的等差数列，------------------------------------------------------3分
2 2 2n 2
a 1 1 n
由等差数列的通项公式可得 n= + (n−1)= ，---------------------------------------------------------------4分
2n 2 2 2
所以a =n⋅2n−1 ；--------------------------------------------------------------------------------------------------------5分
n
(2)由S =1×20+2×21+3×22+⋯+n⋅2n−1，--------------------------------------------------------------6分
n
可得2S =1×21+2×22+3×23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n ，------------------------------------------7分
n
所以−S =1+21+⋯+2n−1−n⋅2n -------------------------------------------------------------------------------8分
n
1−2n
= −n⋅2n=(1−n)2n−1，-------------------------------------------------------------------------------------10分
1−2
所以S =(n−1)2n+1；-----------------------------------------------------------------------------------------------11分
n
(3)若S ≤2a −4n−λ对任意n∈N∗恒成立，
n n
即有(n−1)2n+1≤n·2n−4n−λ，
整理得λ≤2n−4n−1恒成立，--------------------------------------------------------------------------------------12分
令c =2n−4n−1，
n
则c −c =[2n+1−4(n+1)−1]−(2n−4n−1)=2n−4，----------------------------------------------13分
n+1 n
当n=1时，c c ，
n+1 n
所以c >c =c 0，得t2<1+2k2，
−4kt 2t2−2
可得x +x = ，x ⋅x = ，-----------------------------------------------------------------------------10分
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
所以|MN|=√ 1+k2|x −x |=√ 1+k2 ⋅√ (x +x ) 2−4x ⋅x
1 2 1 2 1 2
=√ 1+k2 ⋅ √ ( −4kt ) 2 −4 2t2−2 =√ 1+k2 ⋅ √ 8(1+2k2−t2 ) ， -------------------------------------------------11
1+2k2 1+2k2 1+2k2
分
|t+1|
点A(0,−1)到直线m的距离为d
A
=
√ 1+k2
，------------------------------------------------------------------------12分
所以△AMN的面积S=
1
|MN|⋅d =
1
⋅√ 1+k2 ⋅
√ 8(1+2k2−t2 )
．
|t+1|
2 A 2 1+2k2 √ 1+k2
= |t+1|√ 2(1+2k2−t2 ) =|t+1|⋅ √ 2(1+2k2−t2 ) =|t+1|． √ 2 [ −t2 1 + 1 ] ，-----------
1+2k2 (1+2k2
)
2 (1+2k2) 2 1+2k2
---------14分
1 1 1 1 1
①当t2≥ 时，y=−t2 + 在 = 时取最大值，
2 (1+2k2 ) 2 1+2k2 1+2k2 2t2
| 1 | √ 2| 1| √ 2 3√ 2
所以S≤|t+1|⋅ = 1+ ≤1+ <
，-------------------------------------------------------------15分
√ 2t 2 t 2 2
1 1 1 1
②当0≤t2< 时，y=−t2 + 在 =1时取最大值，
2 (1+2k2 ) 2 1+2k2 1+2k2π π
设t=sinθ(− <θ< )，
4 4
1 3
所以S≤√ 2|t+1|⋅√ 1−t2=√ 2(1+sinθ)|cosθ|≤√ 2(|cosθ|+ |sin2θ|)< √ 2．------------------16
2 2
分
3
综上，△AMN的面积小于 √ 2． ---------------------------------------------------------------------------------------17分
2
答案第8页，共7页
