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黑龙江省“六校联盟”高三年级联合适应性测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在正项等比数列 中， 为其前 项和，若 ， ，则 的值为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．110
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 为抛物线 ： 的焦点，过 且斜率为 1 的直线交 于 ， 两点，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，
即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离是在南北方向上旅
行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得距离（简称欧氏距离）”是指平面上两点的直线距离，
如图a所表示的就是曼哈顿距离，b所表示的就是欧氏距离，若 ， ，则两点的曼哈顿距
离 ，而两点的欧氏距离为 ，设点 ，
在平面内满足 的点组成的图形面积记为 ， 的点组成的图形面积记为 ，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．0 B． C． D．
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．以正方体 的8个顶点中的某4个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取
一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线 是函数 图象的一条对称轴，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是 图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减 D．当 时，函数 取得最小值
10．已知 ， ，点 为曲线 上动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 为抛物线 ，则
B．若 为椭圆 ，则
C．若 为双曲线 ，则
学科网（北京）股份有限公司D．若 为圆 ，则
11．容器中有 ， ， 3种颜色的小球，若相同颜色的两颗小球发生碰撞，则变成一颗 球；不同颜色的
两颗小球发生碰撞，会变成另外小球．例如，一颗 球和一颗 球发生碰撞则变成一颗 球，现有 球10
颗， 球8颗， 球9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗球．则下列结论正确的是（ ）
A．一定经过了26次碰撞 B．最后一颗球可能是 球
C．最后一颗球可能是 球 D．最后一颗球可能是 球
三、填空题：本题共3小题．每小题5分．共15分
12．复数 的实部与虚部的和为________．
13．今年冬天冰雪旅游大热，黑龙江全省人民热情招待着来自南方的游客们，某旅行团共有游客 600人，其
中男性400人，女性200人．为了获得该团游客的身高信息，采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法
抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），经计算得到男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的
均值为161，方差为30．根据以上数据，估计该旅行团游客身高的均值为________；估计该旅行团游客身高
的方差为________．
14．已知正三棱锥的外接球的表面积为 ，则正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在锐角三角形 中，边 ， ， 对应角 ， ， ，向量 ，
，且 与 垂直， ．
（1）求角 ；
（2）求 的取值范围．
16．（15分）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
（1）若数列 满足 ，求 通项公式；
（2）求数列 的通项公式，并求 ．
17．（15 分）已知：斜三棱柱 中， ， 与面 所成角正切值为 2，
学科网（北京）股份有限公司， ，点 为棱 的中点，且点 向平面 所作投影在
内．
（1）求证： ；
（2） 为棱 上一点，且二面角 为 ，求 的值．
18．（17分）已知椭圆 ： 过点 ，且离心率为 ，过右焦点 的直线交椭圆
于 ， 两点，直线 ： 交 轴于 ，过 ， 分别作 的垂线，交 于 ， 两点， 为 上
任一点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的值；
学科网（北京）股份有限公司（3）设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，求 的值．
19．（17分）设函数 ，
（1）已知 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）已知直线 与曲线 ， 分别切于点 ， ，其中
（I）求证：
（II）已知 对任意 恒成立，求 的取值范围．
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数学答案
一、单项选择题
ABDB ABCB
二、多项选择题
AC BCD ABD
三、填空题
16
12. -13 13.167 40 14.
3
四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.解：（1）
即
（2） ，
由正弦定理得
锐角三角形
学科网（北京）股份有限公司16.解：（1）
为等比数列，公比为6，首项为2
（2）由（1）可知
学科网（北京）股份有限公司17.(1)证明：取 中点 ，连
由斜三棱柱 ，点 为棱 的中点
共面
，
(2)解：由（1）知
学科网（北京）股份有限公司过 作 ，垂足为 ，
为 与面 所成角
过 作直线 ， ,
以 为原点，射线 方向为 轴正方向建立空间直角坐标系
设 ,设
即
18.解：（1）
（2）设直线 方程为 ，联立 得
设 ，则
学科网（北京）股份有限公司（3）设 ，则
19.解：（1）由已知
设 ，则
当 单调递增，当 单调递减
所以
设 ，则
当 单调递减，当 单调递增
所以
学科网（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围为
（2）(Ⅰ)由已知 ，
由 得：
由 得：
故有 ，所以 即
设
所以
因为 且 在 上递增
所以
当
又 在 内无零点
即
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
由 得
设
学科网（北京）股份有限公司对 成立
递增
，
学科网（北京）股份有限公司
