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一．选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若二项式 的展开式中 的系数是84，则实数 （ ）
A.2 B. C. 1 D.
3. 设 为全集， 是集合，则“存在集合 使得 是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.根据如下样本数据
3 4 5 6 7 8
4.0 2.5 0.5
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科网] 源:学科网ZXXK]
得到的回归方程为 ，则（ ）
A. , B. , C. , D. ,
5.在如图所示的空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，
1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②
6.若函数 、 满足 ，则称 、 在区间 上的一组正交函数，
第1页 | 共6页给出三组函数：① ；② ；③ .
其中为区间 的正交函数的组数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7.由不等式 确定的平面区域记为 ，不等式 ，确定的平面区域记为 ，
在 中随机取一点，则该点恰好在 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，
其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底
面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为
3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）
A. B. C. D.
9.已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ,则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A. B. C.3 D.2
10.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ，
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答
题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14题）
11.设向量 ， ，若 ，则实数 .
12.直线 和 将单位圆 分成长度相等的四段弧，则
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13.设 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成 的3个数字按从小到大排成的三
位数记为 ，按从大到小排成的三位数记为 （例如 ，则 ， ）.阅读如图所示的程序框图，
运行相应的程序，任意输入一个 ，输出的结果 .
14.设 是定义在 上的函数，且 ，对任意 ，若经过点 ，
的直线与 轴的交点为 ，则称 为 关于函数 的平均数，记
为 ，例如，当 时，可得 ，即 为 的算术平均数.
（1）当 时， 为 的几何平均数；
（2）当 时， 为 的调和平均数 ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
（二）选考题
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图， 为⊙ 的两条切线，切点分别为 ，过 的中点 作割线交⊙ 于 两点，若
则 .
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第3页 | 共6页16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线 的极坐标方程是 ，则 与 交点的直角坐标为 .
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分11分）
某实验室一天的温度（单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系；
.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？
18.（本小题满分12分）
已知等差数列 满足： ，且 、 、 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式.
（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 若存在，求 的最小值；若不
存在，说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，点
分别在棱 , 上移动，且 .
（1）当 时，证明：直线 平面 ；
（2）是否存在 ，使平面 与面 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由.
第4页 | 共6页20.（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流
量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低
于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概
率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多 1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下
关系:
年入流量
发电量最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电
站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多1，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹为 的方程；
（2）设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共
点时 的相应取值范围.
22.（本题满分14分）
为圆周率， 为自然对数的底数.
（1）求函数 的单调区间；
（2）求 ， ， ， ， ， 这6个数中的最大数与最小数；
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第5页 | 共6页（3）将 ， ， ， ， ， 这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
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