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数量关系 基础精讲班 数 量 关 系 贾 文 博  第0页数量关系 数 量 关 系 目录 课 堂 导 语............................................................................................................................5 数学运算..................................................................................................................................1 第一讲 代入排除思想....................................................................................................1 课前导读..................................................................................................................1 第二讲 数字特性法(一).................................................................................................2 数字特性..................................................................................................................2 参考答案：BCC CADDAC.....................................................................................3 随堂练习..................................................................................................................3 第三讲 数字特性法(二).................................................................................................4 课前导读..................................................................................................................4 奇偶性质..................................................................................................................5 不定方程..................................................................................................................5 参考答案：AC BDABA..........................................................................................6 随堂练习..................................................................................................................6 第四讲 基础计算问题....................................................................................................8 课前导读..................................................................................................................8 尾数性质..................................................................................................................8 参考答案：DABAA AAB.......................................................................................9 随堂练习..................................................................................................................9 第五讲 经济利润问题(一)...........................................................................................10 课前导读................................................................................................................11 参考答案：DDABBC..............................................................................................12 第六讲 经济利润问题(二)...........................................................................................12 逆推法....................................................................................................................12 参考答案：BBBDD CB........................................................................................13 随堂练习................................................................................................................13 第七讲 工程问题..........................................................................................................16  第1页数量关系 课前导读................................................................................................................16 赋值法：(比例类中只给定一个量).....................................................................16 随堂练习................................................................................................................17 第八讲 容斥问题..........................................................................................................19 课前导读................................................................................................................19 参考答案：CDCADB..............................................................................................21 随堂练习................................................................................................................21 第九讲 几何问题(一)...................................................................................................22 课前导读................................................................................................................22 参考答案：BCBCBB...............................................................................................24 第十讲 几何问题(二)...................................................................................................24 参考答案：BCCBBA...............................................................................................25 随堂练习................................................................................................................25 第十一讲 等差数列......................................................................................................27 课前导读................................................................................................................27 参考答案：DBCDBD..............................................................................................29 随堂练习................................................................................................................29 第十二讲 浓度问题......................................................................................................30 课前导读................................................................................................................30 十字交叉法............................................................................................................31 参考答案：CBDDCAA............................................................................................32 随堂练习................................................................................................................32 第十三讲 排列组合问题(一).......................................................................................33 课前导读................................................................................................................33 第十四讲 排列组合问题(二).......................................................................................35 参考答案：DBBCAA..............................................................................................36 随堂练习................................................................................................................36 第十五讲 行程问题(一)...............................................................................................39 课前导读................................................................................................................39  第2页数量关系 参考答案：BDDCD B..........................................................................................41 第十六讲 行程问题(一)...............................................................................................41 参考答案：ACCCBB...............................................................................................42 随堂练习................................................................................................................42 第十七讲 最值问题......................................................................................................45 课前导读................................................................................................................45 参考答案：BCDBABD............................................................................................46 随堂练习................................................................................................................46 第十八讲 趣味杂题(二)...............................................................................................48 课前导读................................................................................................................48 星期日期问题........................................................................................................48 植树问题................................................................................................................49 剪绳计数................................................................................................................50 参考答案：ABDCB AABAD BB........................................................................51 随堂练习................................................................................................................51 第十九讲 趣味杂题(二)...............................................................................................53 牛吃草问题............................................................................................................53 空瓶换酒问题........................................................................................................53 方阵计数................................................................................................................54 参考答案：BADCD DBCC...................................................................................55 随堂练习................................................................................................................55 数字推理................................................................................................................................58 第一讲 数字推理(一)...................................................................................................59 课前导读................................................................................................................59 特征：位置关系明显............................................................................................59 特征：分数个数较多............................................................................................60 参考答案：CBDBD DBDBB.................................................................................60 随堂练习................................................................................................................61 第二讲 数字推理(二)...................................................................................................63 课前导读................................................................................................................63  第3页数量关系 特征：倍数关系明显............................................................................................63 特征：幂次数明显................................................................................................64 特征：幂次数附近波动........................................................................................65 参考答案：BDDCC DCBBC CCC.......................................................................65 随堂练习................................................................................................................65 第三讲 数字推理(三)...................................................................................................67 课前导读................................................................................................................67 特征：变化趋势平缓............................................................................................67 圈三法....................................................................................................................67 特征：变化趋势剧烈............................................................................................68 参考答案：DCBAD CDBC...................................................................................68 随堂练习................................................................................................................68  第4页数量关系 课 堂 导 语 【授课内容】 数学运算部分，具体包括解题代入排除思想、数字特性思想与赋值思想等解题逻 辑，还有工程问题、行程问题、牛吃草问题、钟表问题、星期日期问题、经济利润问 题、容斥问题、几何问题、排列组合问题、浓度问题、等差数列问题、端点类问题、 阵列问题、过河问题、剪绳子问题、空瓶换酒问题、构造问题以及有理计算等重点考 察的基本题型与其相应的快速解题公式与技巧。 数字推理部分，具体包括多重数列、幂次数列、多级数列、递推数列、分式数列 等数列着手，讲解数字的外观特征，比如项数多、幂次数、倍数、变化趋势、分数等， 以确保只要能发现外观特征快，就能迅速锁定正确答案。 【授课特色】 每个课件20分钟左右，涉及一个完整的知识点，内容形似多样、方法简单易懂、 语言简洁明了； 每个课件包括考点命题特征、解题技巧，全方位了解考点相关内容。 【针对人群】 开接触数量关系的学员，可以全方位的了解考点内容，正确把握复习的方向； 已有一定知识储备，但是做题速度较慢，正确率忽高忽低的学员，可以梳理最优 化的解题思路和实用的解题技巧，能做到学以致用。 【培训目标】 构建数量关系考点体系，达到考试中能准确迅速的识别题型，并掌握正确的解题 方法； 根据常见试题特征，能够举一反三，缩短复习时间，达到真正意义上的事半功倍 快。  第5页数量关系 数学运算 ◆ 什么是数学运算？ 数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能 力，要求报考者熟练运用加、减、乘、除等基本运算法则，并利用其他基本数学知识， 准确迅速地计算或推出结果。 第一讲 代入排除思想 课前导读 多位数问题以及一些计算量比较大的题目，利用直接代入选项进行排除的方法是 最快捷的途径之一，代入的的过程中经常会设计数字本身所具有的一些特性。 【例1】一个三位数的各位数字之和是16，其中十位数字比个位数字小3，如果 把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原 三位数大495，则原来的三位数是多少？ A.169 B.358 C.469 D.736 【例2】2012年，小张过完生日后说：我现在的年龄恰好是我出生年份的四个数 字之和。那么小张出生于( )年。 A.1982 B.1985 C.1987 D.1989 【例3】有三个连续的奇数，它们的平方和是四个相同数字组成的四位数，那么 这三个连续奇数之和是( )。 A.117 B.123 C.129 D.135  第1页数量关系 参考答案：BCC 第二讲 数字特性法(一) 数字特性 【例1】牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。有一个过路人牵着一 只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶来的这群羊有100只吧？”牧羊人答道： “如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你 牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满100只。”牧羊人的这群羊一共有( )。 A.72只 B.70只 C.36只 D.35只 【例2】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数 比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？( ) A.329 B.350 C.371 D.504 【例3】某学校组织一批学生乘坐汽车出去参观，要求每辆车上乘坐的学生人数 相同，如果每辆车乘20人，结果多3人；如果少派一辆车，则所有学生正好能平均 分乘到其它各车上，已知每辆汽车最多能乘坐25人，则该批学生人数是( )。 A.583 B.256 C.324 D.483 【例4】某俱乐部中女会员的人数比男会员的一半少61人，男会员的人数比女会 员的3倍多2人，问该俱乐部共有会员多少人？( ) A.475人 B.478人 C.480人 D.482人 【例5】实验中学初中部三年级有4个班级，本学期末要评选三好学生，名额分  第2页数量关系 配方案如下：三年一班、二班、三班评选32名三好学生，三年二班、三班、四班评 选出28名三好学生，并且三年一班和四班三好学生总数是三年二班和三班的三好学 生总数的2倍。请计算，本学期末三年级要评选出三好学生的总数是( )。 A.45名 B.50名 C.42名 D.40名 【例6】一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所 得的三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？( ) A.17 B.16 C.15 D.14 参考答案：CADDAC 第三讲 数字特性法(二) 课前导读 奇偶性质不仅是代入排除法中经常应用的一种数字特性，还是解决不定方程问题 中讨论解的一种有效性质。 奇偶性质 【基础】奇数＋奇数= 偶数 ； 偶数＋偶数= 偶数 ； 偶数＋奇数= 奇数 ； 奇数＋偶数= 奇数 。 奇数 ×奇数= 奇数 ； 偶数 ×偶数= 偶数 ； 偶数×奇数= 偶数 ； 奇数×偶数= 偶数 。 任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 【例1】某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其 余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问  第3页数量关系 这四个班共有多少人？( ) A.177 B.176 C.266 D.265 【例2】一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的 个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说：“您应该付39元才 对。”请问书比杂志贵多少钱？( ) A.20 B.21 C.23 D.24 不定方程 【例1】一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和 是( )。 A.8 B.9 C.7 D.6 【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所 有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完， 且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4 名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心 还剩下学员多少人？ A.36 B.37 C.39 D.41 【例3】共有20个玩具交给小王手工制作完成，规定制作的玩具每合格一个得5 元，不合格一个扣2元，未完成的不扣，最后小王共收到56元，那么他制作的玩具 中，不合格的共有( )个。 A.2 B.3 C.5 D.7  第4页数量关系 【例4】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支 同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、 铅笔各买一支，共用多少钱？( ) A.21元 B.11元 C.10元 D.17元 【例5】去超市购买商品，如果购买9件甲商品、5件乙商品和1件丙商品，一 共需要72元；如果购买13件甲商品、7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。若 甲、乙、丙三种商品各买2件，共需要多少钱？( ) A.88 B.66 C.58 D.44 参考答案：AC BDABA 第四讲 基础计算问题 课前导读 尾数经常用于复杂计算，需要结合选项进行排除尾数不一致的选项。 尾数性质 【例1】9876×77－9877×76的值为( ) A.9877 B.9876 C.9801 D.9800 【例2】1994×2002－1993×2003的值是( ) A.9 B.19 C.29 D.39 【例3】计算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值为( ) A.4555940.8 B.4555940.9  第5页数量关系 C.4555941.18 D.4555940.29 【例4】123456788×123456790－123456789×123456789＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 【例5】1995×19961996－1996×19951995＝( ) A.0 B.3982482020 C.－3982482020 D.1 【例6】1！＋2！＋3！＋…＋2013！的个位数为( ) A.3 B.5 C.6 D.8 【例7】书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具 书、7本科技书，3本小说、4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右 边的一本是什么书？( ) A.小说 B.教材 C.工具书 D.科技书 【例8】100张多米诺骨牌整齐地排成一列，依顺序编号为1、2、3……99、100。 第一次拿走所有奇数位置上的骨牌，第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨 牌，依此类推。请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少( ) A.32 B.64 C.88 D.96 参考答案：DABAA AAB  第6页数量关系 第五讲 经济利润问题(一) 课前导读 经济利润问题基本公式必须掌握。 【例1】小王花了60元买了一块手表，转手以70元的价格卖出，此后又用80元 的价格买回，90元再卖出，那么小王在整个交易中销售情况是( )  亏损10元 B. 赚10 元 C. 亏损20元 D. 赚20元 【例2】某支新发行的股票第一天上涨了15%，第二天下跌了10%，该股票现在 的价格与原始价格相比有什么变化？ A.下跌2.5% B.价格不变 C.上涨1.5% D.上涨3.5% 【例3】某商品定价为进价的1.5倍，售价为定价的8折，每件商品获利24元， 该商品定价为？( ) A.180 B.160 C.144 D.120 【例4】某服装店老板去采购一批商品，其所带的钱如果只买某种进口上衣可买 120件，如果只买某种普通上衣则可买180件。现在知道，最后该老板买的进口上衣 和普通上衣的数量相同，问他最多可以各买多少件？ A.70件 B.72件 C.74件 D.75件 【例5】2010年某种货物的进口价格是15元／公斤，2011年该货物的进口量增 加了一半，进口金额增加了20%。问2011年该货物的进口价格是多少元／公斤？( )  第7页数量关系 A.10 B.12 C.18 D.24 【例6】某商店以每件6元的进价买回一批商品，售价为每件8.4元，当卖了这 3 批商品的 时，不仅收回了购买这批商品所付的款项，而且还获得利润90元，这批 4 商品有( )。 A.500件 B.400件 C.300件 D.600件 参考答案：DDABBC 第六讲 经济利润问题(二) 【例1】为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，月标准用水量以内每吨 2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元。若该用户 下个月用水12吨，则应交水费多少钱？( ) A.42.5元 B.47.5元 C.50元 D.55元 【例2】某市规定，出租车合乘部分的车费向每位乘客收取显示费用的60%，燃 油附加费由合乘客人平摊，现有从同一地方出发的三位客人合乘，分别在D、E、F 点下车，显示费用分别为10元、20元、40元，那么在这样的合乘中，司机的营利比 正常多( )。 A.2元 B.10元 C.12元 D.15元  第8页数量关系 逆推法 【例1】袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样 做了五次，袋中还有3个球，问原来袋中有( )个球 A.18 B.34 C.66 D.158 【例2】从某货栈运大米，大车运走一半又2袋，小车运走余下的一半又2袋， 人力车再运走余下的一半又2袋，这时仓库里还有2袋。如果这批大米共值2200元， 每袋大米值( )。 A.22元 B.44元 C.100元 D.50元 【例3】小王开车上班需经过4个交通路口，假设经过每个路口遇到红灯的概率 分别为0.1，0.2，0.25，0.4，他上班经过4个路口至少有一处遇到绿灯的概率是( ) A.0.988 B.0.899 C.0.989 D.0.998 【例4】某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生 为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90 分以上的学生至少是多少？ A.40% B.30% C.20% D.10% 【例5】建华中学有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的 有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都 喜欢的至少有几人？ A.20人 B.30人 C.40人 D.50人  第9页数量关系 参考答案：BBBDD CB 第七讲 工程问题 课前导读 工程问题的核心公式为：工作总量=工作效率×工作时间 常用的解题方法为：赋值法、方程法 赋值法：(比例类中只给定一个量) 【例1】要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需要45 分钟完成。若两人一起折，需要多少分钟完成？ A.10 B.15 C.16 D.18 【例2】有一只木桶，上方有两个水管，单独打开第一个，20分钟可装满木桶； 单独打开第二个，10分钟可装满木桶。木桶底部有一小孔，水可以从孔中流出，一满 桶水用40分钟流完。若同时打开两个水管，水从小孔中也同时流出，经过多长时间 木桶才能装满水？ A.10分钟 B.9分钟 C.8分钟 D.12分钟 【例3】某项工程，甲单独完成需要8天，乙需要4天，甲做一半换乙，乙做剩 余一半又换甲，甲又做剩余一半再换乙完成，问整个工程花费( )天。 A.5.5 B.6 C.6.5 D.7  第10页数量关系 【例4】甲乙一起工作来完成一项工程，如果甲单独完成需要30天，乙单独完成 需要24天，现在甲乙一起合作来完成这项工程，但是乙中途被调走若干天，去做另 一项任务，最后完成这项工程用了20天，则乙中途被调走( )天。 A.8 B.3 C.10 D.12 【例5】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相 同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程 若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工 程中参与施工多少天？( ) A.6 B.7 C.8 D.9 参考答案：DCCDA 第八讲 容斥问题 课前导读 容斥原理主要用于有重叠部分的计算，其方法是先不考虑重叠的情况，将所有集 合的所有对象数目计算出来，再逐步排除重叠的情况。 【例1】某单位对60名工作人员进行行政许可法测验，在第一次测验中有27人 得满分，在第二次测验中有32人得满分。如果两次测验中都没有得满分的有17人， 那么两次测验中都获得满分的人数是( ) A.12人 B.13人 C.16人 D.20人 【例2】运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号 为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。 问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？ A.46 B.47  第11页数量关系 C.53 D.54 【例3】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名， 甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的 人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A.7人 B.8人 C.5人 D.6人 【例4】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册 会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有 47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其 中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？ A.120 B.144 C.177 D.192 【例5】某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户 使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果 使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个？ ( ) A.148 B.248 C.350 D.500 【例6】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲 课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、 丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的 有20人，问三门课程均未选的有多少人？ A.1人 B.2人 C.3人 D.4人  第12页数量关系 参考答案：CDCADB 第九讲 几何问题(一) 课前导读 几何问题只要考察以下几何公式的计算。 常用周长公式 正方形周长C 4a；长方形周长C 2(ab)；圆形周长C 2R 正方形 长方形 圆 常用面积公式 正方形面积S a2 ；长方形面积S ab；圆形面积S R2   O 1 1 三角形面积S  ah；平行四边形面积S ah；梯形面积S  abh；  2  梯形 2 常用表面积公式 正方体的表面积6a2 ；长方体的表面积2ab2bc2ac； 球的表面积4R2 D2 ；圆柱的表面积2Rh2R2，侧面积2Rh 常用体积公式 4 1 正方体的体积 a3；长方体的体积abc；球的体积 R3  D3 3 6 1 圆柱(棱柱)的体积 sh ；圆锥(棱锥)的体积 sh 3 【例1】A、B两地直线距离40千米，汽车P与两地直线距离和等于60千米。 则以下判断正确的是( )。 A. 如果A、B、P不在同一条直线上，汽车所在位置有3个，可位于A、B两地 之间或A、B两地外侧 B. 如果A、B、P不在同一条直线上，汽车的位置有无穷多个 C. 如果A、B、P位于同一条直线上，汽车位于A、B两地之间或两地外侧 D. 如果A、B、P位于同一条直线上，汽车位于A、B两地外侧，且汽车到A的 距离为20千米  第13页数量关系 【例2】假设地球是一个正球形，它的赤道长4万千米。现在用一根比赤道长10 米的绳子围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地 面大约有多高？ A.1.6毫米 B.3.2毫米 C.1.6米 D.3.2米 【例3】1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米 的大正方体，大正方体表面涂油漆后，再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少 有一面被油漆涂过的数目是( )个。 A.490 B.488 C.484 D.480 【例4】阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1 米，地面部分的长度为7米。甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。 则该电线杆的高度为： A.12米 B.14米 C.15米 D.16米 【例5】一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的： A. 2倍 B.1.5倍 C. 3倍 D.2倍 【例6】右图为长、宽、高分别是4cm、3cm、5cm的长方体，如 果一只小虫从顶点A爬到顶点B。其爬行的最短距离为： A.4 5cm B. 74 cm C.3 10 cm D. 70 cm  第14页数量关系 参考答案：BCBCBB 第十讲 几何问题(二) 【例1】长方形ABCD的面积是72平方厘米，E、F分 别是CD、BC的中点，三角形AEF的面积是多少平方厘米？ A.24 B.27 C.36 D.40 【例2】连接正方体每个面的中心构成一个正八面体(如下图 所示)。已知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少 立方厘米？( ) A.18 2 B.24 2 C.36 D.72 【例3】半径为5厘米的三个圆弧围成如右所示的区域，其 中AB弧与AD弧四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此 区域的面积是多少平方厘米( ) A.25 B.10＋5л C.50 D.л 【题4】在下图中，大圆的半径是8，求阴影部分的面积是多少？ A.120 B.128 C.136 D.144 【例5】如下图所示，正方形ABCD 的边长5cm，AC、BD分 别是点D和点C为圆心，5cm为半径的圆弧，问阴影部分a比阴影 部分的面积b的面积小多少？(π为3.14) A.13.75平方厘米 B.14.25平方厘米  第15页数量关系 C.14.75平方厘米 D.15.25平方厘米 【例6】长为１米的细绳上系有小球，从A处放手后，小球第 一次摆到最低点B处共移动了多少米？( ) 1 1 1 A.1＋ π B. ＋ π 3 2 2 2 2 C. π D.1＋ π 3 3 参考答案：BCCBBA 第十一讲 等差数列 课前导读 等差数列主要测查以下三个基础公式。 (a a ) 公式：Sn  n 1 n ，a  a (n1)d 2 n 1 和 = 平均数(中位数)×项数 【例1】有一堆粗细均匀的圆木最上面有6根，每向下一层增长一根，共堆了25 层。这堆圆木共有( )根。 A.175 B.200 C.375 D.450 【例2】某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座 位。这个剧院一共有( )个座位。 A.1104 B.1150 C.1170 D.1280  第16页数量关系 【例3】77个连续自然数的和是7546，则其中第45个自然数是( )。 A.91 B.100 C.104 D.105 【例4】四个连续奇数的和为32，则他们的积为多少？( ) A.945 B.1875 C.2745 D.3465 【例5】一天，小张出差回到单位发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了，就 一次翻了7张，发现这7天的日期加起来，得数恰好是77，问这一天是几号？ A.16 B.15 C.14 D.13 【例6】甲、乙两人从相距1350米的地方，以相同的速度相对行走，两人在出发 点分别放下1个标志物，前进10米后放下3个标志物，前进10米放下5个标志物， 再前进10米放下7个标志物，以此类推。当两人相遇时，一共放下了几个标志物？( ) A.4489 B.4624 C.8978 D.9248 参考答案：DBCDBD 第十二讲 浓度问题 课前导读 本章主要考察浓度公式的掌握，和十字交叉法的应用 公式 溶液=溶质+溶剂； “十字交叉”法  第17页数量关系 【例1】浓度为20%的糖水60克，要将它变成浓度为40%的糖水，要加糖多少 克？( ) A.12 B.15 C.20 D.24 【例2】一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多 的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少 ( ) A.14% B.15% C.16% D.17% 【例3】千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第一次加入适量的金 属铁后，此时金属锡的含量占总重量的4%，第二次加入同样多的金属铁后，此时金 属锡的含量占总重量的3%，如果第三次再加入同样多的金属铁后，此时金属锡的含 量占总重量的百分比为( )。 A.2.8% B.2.5% C.2.7% D.2.4% 十字交叉法 【例1】车间共40人，某次技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工平均成 绩是83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工多少人？( ) A.16人 B.18人 C.20人 D.24人 【例2】某班一次数学测试，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93  第18页数量关系 分，则女生人数是男生人数的多少倍？( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 【例3】浓度为70%的酒精溶液100克与浓度为20%的酒精溶液400克混合后得 到的酒精溶液的浓度是多少？( ) A.30% B.32% C.40% D.45% 【例4】两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水，倒在一起后混合食盐水浓 度为30%。若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%。那么原有40%的食盐水 ( )克。 A.200 B.150 C.100 D.50 参考答案：CBDDCAA 第十三讲 排列组合问题(一) 课前导读 掌握排列和组合的区别，加法原理和乘法原理的应用，插空和捆绑法等方法的应 用。 加法原理：分类用加法 排列：与顺序有关   乘法原理：分步用乘法 组合：与顺序无关   排列公式： Pm  Am n(n1)(nm1) n n  连乘m个 n(n1)(nm1) 组合公式：Cm Cnm  n n m(m1)1  第19页数量关系 【例1】甲、乙、丙三个人到旅店住店，旅店里只有三个房间，恰好每个房间住 一个人，问一共有( )住法 A.5 B.6 C.7 D.8 【例2】要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪 某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴( ) A.130468 B.131204 C.132132 D.133456 【例3】某班同学要订A.B.C.D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那 么每个同学有多少种不同的订报方式？ A.7种 B.12种 C.15种 D.21种 【例4】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材 料。问一共有多少种不同的发放方法？ A.7 B.9 C.10 D.12 【例5】若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起， 则有多少排队方法？ A.120 B.72 C.48 D.36 【例6】3名学生和2名老师站成一排照相，2名老师必须站在一起且不在边上的 不同排法共有： A.12种 B.24种 C.36种 D.48种  第20页数量关系 参考答案：BCCCDB 第十四讲 排列组合问题(二) 【例1】甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出 4人参加培训， 要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选一人。问有多少种 不同的选法？ A.67 B.63 C.53 D.51 【例2】养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数 日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼( ) A.2000 B.4000 C.5000 D.6000 【例3】从3双完全相同的鞋中，随机抽取一双鞋的概率是( )。 A.1/2 B.3/5 C.1/6 D.1/3 【例4】从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，把第一张卡片 上的数字作为十位数，第二张卡片上的数字作为个位数，组成一个两位数，则组成的 数是偶数的概率是( )。 A.1/5 B.3/10 C.2/5 D.1/2 【例5】某人向单位园形状的靶子内投掷一个靶点，连续投掷4次，若恰有3次 落在第一象限的位置(假设以靶心为坐标原点，水平和铅直方向分别为横坐标轴建立平 面直角坐标系)请你帮他计算一下这种可能性大小为( )。  第21页数量关系 3 1 A. B. 64 64 1 3 C. D. 4 4 【例6】某军训部队到打靶场进行射击训练，队员甲每次射击的命中率为50%， 队员乙每次射击的命中率为80%，教练规定今天的训练规则是，每个队员射击直到未 中一次靶则停止射击，则队员甲今天平均射击次数( )。 A.2次 B.1.25次 C.2.5次 D.1.5次 参考答案：DBBCAA 第十五讲 行程问题(一) 课前导读 本章主要学习常见的行程模型，通过题目快速区分开行程中各种公式的应用范 围，并能熟练掌握近几年重点考察的考点 基本公式：路程＝速度×时间。 当时间相同时，路程之比等于速度之比； 当速度相同时，路程之比等于时间之比； 当路程相同时，速度之比等于时间反比。 2vv 等距离平均速度＝ 1 2 (其中v 、v 分别为往返速度) 1 2 v v 1 2 电梯运动问题：电梯梯级＝(人速＋电梯速度)×沿电梯运动方向到达时间 电梯梯级＝(人速－电梯速度)×逆电梯运动方向到达时间 流水行船问题：顺流航程＝(船速＋水速)×顺流时间 逆流航程＝(船速－水速)×逆流时间 相遇追及问题：相遇距离＝(速度1＋速度2)×相遇时间  第22页数量关系 追及距离＝(速度1－速度2)×追及时间 环形运动问题：环形周长＝(速度1＋速度2)×异向运动的两人两次相遇的间隔时 间 环形周长＝(速度1－速度2)×同向运动的两人两次相遇的间隔 时间 【例1】一辆汽车从A地开到B地需要一个小时，返回时速度为每小时75公里， 比去时节约了20分钟，问AB两地相距多少公里？( ) A.30 B.50 C.60 D.75 【例2】甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6 千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、 B两地相距多少千米？ A.10 B.12 C.18 D.15 【例3】甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，当他们第一次相遇时 甲离B地相距104米，然后两人继续向前走，当到达目的地后都立即返回，当第二次 相遇时，乙离B地相距40米。问AB两地相距多少米？( ) A.124米 B.144米 C.168米 D.176米 【例4】如下图所示，AB两点是圆形体育场直径的两端，两人从 AB点同时出发，沿环形跑道相向匀速而行，他们在距A点弧形距离 80米处的C点第一次相遇，接着又在距B点弧形距离60米处的D点 第二次相遇，问这个圆形体育场的周长是多少米？ A.240 B.300 C.360 D.420  第23页数量关系 【例5】a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、 b两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12 分钟后两人第二次相遇。问a，b两校相距多少米？ A.1140米 B.980米 C.840米 D.760米 【例6】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游 52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转 向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？ A.2 B.3 C.4 D.5 参考答案：BDDCD B 第十六讲 行程问题(一) 【例1】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。 姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐， 碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑 了多少米( ) A.600米 B.800米 C.1200米 D.1600米 【例2】张明和李亮两人绕操场竞走。操场一周是400米，李亮每分钟走80米， 张明的速度是李亮的1.25倍。现在张明在李亮的前面100米，则两人第一次追上在 ( )。 A.8分钟后 B.7分钟后 C.15分钟后 D.30分钟后  第24页数量关系 【例3】张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角 为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°.那么张某外出买 菜用了多少分钟？ A.20分钟 B.30分钟 C.40分钟 D.50分钟 【例4】从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔 的时间约( ) A.43分钟 B.45分钟 C.49分钟 D.61分钟 【例5】一艘游轮从甲港口顺水航行至乙港口需7小时，从乙港口逆水航行至甲 港口需9小时，问如果在静水条件下，游轮从甲港口航行至乙港口需多少小时？ A.7.75小时 B.7.875小时 C.8小时 D.8.25小时 【例6】一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。 现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来 时少2/5。问船在静水中开足动力浆行驶的速度是人工划船速度的多少倍？( ) A.2 B.3 C.4 D.5 参考答案：ACCCBB 第十七讲 最值问题 课前导读 掌握省考中常考的至少……保证类和最多(最少)……最少(最多)类题目的解法  第25页数量关系 【例1】在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球，至少从中取出( )个 球才能保证其中有白球。 A.14 B.15 C.17 D.18 【例2】有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销 类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找 到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？ A.71 B.119 C.258 D.277 【例3】有编号为1—13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多 少张，就可保证一定有3张卡片编号相连？( ) A.27张 B.29张 C.33张 D.37张 【例4】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。 假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部分得的毕业生人数至少为 多少名？ A.10 B.11 C.12 D.13 【例5】现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花 最多的人至少分得( )朵鲜花。 A.7 B.8 C.9 D.10 【例6】5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体 重量最轻的人，最重可能重( ) A.80斤 B.82斤  第26页数量关系 C.84斤 D.86斤 【例7】一次数学考试满分为100分，某班前六名同学的平均分为95分，排名第 六的同学得分为86分，假如每个人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最 少得多少分？ A.94 B.97 C.95 D.96 参考答案：BCDBABD 第十八讲 趣味杂题(一) 课前导读 每年都会出现一些重点题型外的其他题型，这些题型在考试中轮番出现，每次考 试出现一道或二道，下面两讲主要帮大家简单介绍下这些小题型的解法。 星期日期问题 闰年：366天 世纪年 /400； 非世纪年 /4 大月与小月 大月31天 (1、3、5、7、8、10、12) 小月30天 (4、6、9、11)2月28(29) 【例1】已知2005年3月15日是星期二，那么2005年5月1日是星期几？( ) A.星期日 B.星期一 C.星期二 D.星期三 【例2】2010年元旦是星期五，那么2010年5月1日是星期几？( ) A.四 B.六 C.日 D.一  第27页数量关系 【例3】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日， 那么当年的8月1日可能是： A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日 【例4】三位采购员定期去某市场采购，小王每隔9天去一次，大刘每隔6天去 一次，老杨每隔7天去一次，三人星期二第一次在这里，下次相会将在星期几？ A.星期一 B.星期五 C.星期二 D.星期四 【例5】小刘比她丈夫小四岁，他们结婚三年才有了现在的儿子，今年小刘的年 龄恰好是儿子的15倍，她丈夫的年龄是儿子的17倍，结婚时小刘的年龄是( ) A.24 B.25 C.26 D.28 【例6】甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么 大时，甲29岁。则今年甲的年龄为几岁？ A.22 B.34 C.36 D.43 植树问题 单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔； 双边线性植树：把单边植树的数目乘以2倍； 环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔 【例1】一条公路长3000米，路边每隔50米各安设一盏路灯。请问一共要多少 盏路灯，要求路的起点和终点都有路灯。 A.61 B.62  第28页数量关系 C.63 D.64 【例2】一个四边形广场，它的四边长分别是60米、72米、84米和96米，现在 要在四边上植树，四角需种树，而且每两棵树的间隔相等，那么至少要种多少棵树？ A.22 B.25 C.26 D.30 【例3】—人上楼，边走边数台阶。从一楼走到四楼，共走了54级台阶。如果每 层楼之间的台阶数相同，他一直要走到八楼，问他从一楼到八楼一共要走多少级台 阶？( ) A.126 B.120 C.114 D.108 【例4】把一根钢管锯成两段要用4分钟，若将它锯成8段需要多少分钟？ A.16 B.32 C.14 D.28 剪绳计数 一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成  2N M 1  段。 【例1】一根长200米的绳子对折三次后从中间剪断，最后绳子的段数为 A.8 B.9 C.11 D.16 【例2】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这 样操作后，原来的绳子被剪成了几段( ) A.18段 B.49段 C.42段 D.52段  第29页数量关系 参考答案：ABDCB AABAD BB 第十九讲 趣味杂题(二) 牛吃草问题 【例1】牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草 供给10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃 多少天？( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【例2】有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用8台抽水机10小时能把全 池水抽干或用12台抽水机6小时能把全池水抽干。如果用14台抽水机把全池水抽干， 则需要的时间是( )。 A.5小时 B.4小时 C.3小时 D.5.5小时 【例3】某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观 众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同 时开6个入场口则需30分钟。问如果同时开7个入场口需几分钟？( ) A.18分钟 B.20分钟 C.22分钟 D.25分钟 空瓶换酒问题 【例1】如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最 多可以喝矿泉( )？ A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶  第30页数量关系 【例2】12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免 费喝到的啤酒为( )。 A.10瓶 B.11瓶 C.8瓶 D.9瓶 方阵计数 N排N列的方阵人数为N2人； 最外层人数为4(N－1)；方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2 。 【例1】某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108人，则这个学 校共有多少名学生？( ) A.724人 B.744人 C.764人 D.784人 【例2】有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44 人，该方阵的总人数是( ) A.296 B.308 C.324 D.348 过河问题 N 1 N个人过河，船最多载M个人，则过河次数为 (过河时间指单程时间) M 1 【例1】有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才 能渡完？ A.7次 B.8次 C.9次 D.10次 【例2】一只青蛙掉入20米深的井中，它白天往上爬5米，晚上往下掉3米，问  第31页数量关系 这只青蛙需要多少天才能爬出来？( ) A.7 B.8 C.9 D.10 参考答案：BADCD DBCC  第32页数量关系 数字推理 基础数列 1、常数列 【例】7，7，7，7，7…… 2、等差数列 【例】5，8，11，14，17，20，23，…… 3、等比数列 【例】2，6，18，54，162，…… 4、质数数列 【例】2，3，5，7，11，13，17，19…… 5、合数数列 【例】4，6，8，9，10，12，14，15，16，……. 6、周期数列 【例】4，1，6，4，1，6，…… 7、对称数列 【例】1，2，3，3，2，1 8、幂次数列 1—20的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 1—11的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 常见多次幂 2的1-10次幂： 2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024 3的1-6次幂： 3、9、27、81、243、729 4的1-5次幂： 4、16、64、256、1024 5的1-5次幂： 5、25、125、625、3125 6的1-4次幂： 6、36、216、1296 数字推理=八个规律+六种关系  第33页数量关系 第一讲 数字推理(一) 课前导读 项数多与分数多 特征1：整数数列且项数达到8项及以上，解题思路为隔项、分组 特征2：分数项数明显多于整数项数，解题思路为前后看，上下看 【例1】21，26，23，24，25，22，27，( ) A.28 B.29 C.20 D.30 【例2】5，24，6，20，4，( )，40，3 A.28 B.30 C.36 D.42 特征：位置关系明显 【例3】1+3， 2+2， 1+1， 2+3， 1+2， 2+1，( ) A.2×2 B.2+3 C.3×1 D.1+3 【例4】99.01，－81.03，63.05，－45.07，27.09，( ) A.9.01 B. －9.11 C. －11.01 D.11.11 【例5】2，2 ，3 ，20，( ) A.7 B.28 C. D.35  第34页数量关系 特征：分数个数较多 2 5 13 【例1】1， ， ， ，( ) 3 8 21 21 35 A. B. 33 64 41 34 C. D. 70 55 【例2】5/6 6/11 11/17 ( ) 28/45 A.17/24 B.17/28 C.28/17 D.24/17 1 2 2 8 【例3】 ， ， ， ，4，( ) 16 13 5 7 19 A. B.8 3 C.16 D.32 1 1 1 7 11 【例4】 ， ， ， ， ，( ) 2 2 2 16 32 15 1 A. B. 64 4 13 1 C. D. 48 3 7 9 5 【例5】5，3， ，2， ， ，( ) 3 5 3 13 11 A. B. 8 7 7 C. D.1 5 参考答案：CBDBD DBDBB  第35页数量关系 第二讲 数字推理(二) 课前导读 倍数与幂次数 特征1：倍数关系明显，相邻两项间有倍数关系，或者有少量分数存在。解题思 路为相邻两项之间做除法 特征2：幂次数关系明显，数列全都是幂次数(在幂次数附近)，或者有少量分数 存在。解题思路为构造幂次数列，或者幂次数列与另一个修正列的组合，分数考虑为 负幂次的变形 特征：倍数关系明显 【例1】7，7，14，42，210，( ) A.1200 B.1680 C.1940 D.2080 【例2】4，4，4，8，24，120，( )。 A.240 B.360 C.560 D.960 【例3】16，16，24，48，120，( ) A.240 B.260 C.320 D.360 1 1 【例4】 ， ，1，4，20，( ) 6 3 A.100 B.108 C.120 D.128 【例5】4/3，1，3，36，( ) A.192 B.126  第36页数量关系 C.1728 D.1028 【例6】64，48，36，27，81/4，( ) A.257/16 B.363/16 C.729/16 D.243/16 特征：幂次数明显 【例1】16，36，64，81，100，( ) A.112 B.136 C.144 D.168 【例2】1、32、81、64、25、( )、1 A.5 B.6 C.10 D.12 1 【例3】27、16、5、( )、 7 A.16 B.1 C.0 D.2 【例4】1，0.5，3，64，( ) A.384 B.1250 C.3125 D.5840 特征：幂次数附近波动 【例1】3，8，24，48，120，( ) A.148 B.156 C.168 D.178 【例2】0，5，8，17，24，( )，48 A.35 B.36  第37页数量关系 C.37 D.38 【例3】0，9，26，65，124，( ) A.215 B.216 C.217 D.218 参考答案：BDDCC DCBBC CCC 第三讲 数字推理(三) 课前导读 变化趋势 特征：变化趋势平缓，解题思路优先做差，其次圈三 特征：变化趋势剧烈，解题思路直接圈三 特征：变化趋势平缓 【例1】1，5，13，25，41，( ) A.57 B.58 C.60 D.61 【例2】1，9，35，91，189，( ) A.301 B.321 C.341 D.361 圈三法 【例1】( )，47，36，83，119 A.－37 B.－11 C.11 D.37  第38页数量关系 【例2】2，4，6，9，13，19，( ) A.28 B.29 C.30 D.31 【例3】2，2，3，4，9，32，( ) A.129 B.215 C.257 D.283 特征：变化趋势剧烈 【例1】2、4、3、7、16、107、( ) A.1594 B.1684 C.1707 D.1856 【例2】2，1，3，10，103，( ) A.8927 B.9109 C.9247 D.10619 【例3】2，3，7，45，2017，( ) A.4068271 B.4068273 C.4068275 D.4068277 【例4】12，13，28，87，352，( ) A.715 B.1756 C.1765 D.785 参考答案：DCBAD CDBC  第39页数量关系  第40页