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第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集U = R,A={x|x£0},B={x|x³1}，则集合C (A B)=（ ）
U U
A．{x|x³0} B．{x|x£1} C．{x|0£ x£1} D．{x|0< x<1}
2.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5，则z =（ ）
A．2+3i B．2-3i C．3+2i D．3-2i
- 1 1 1
3.已知a=2 3，b=log ,c=log ，则（ ）
2 3 1 3
2
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
[来源:学&科&网]
第1页 | 共22页4.已知m，n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m//a,n//a,则m//n B．若m^a，nÌa，则m^n
C．若m^a，m^n，则n//a D．若m//a，m^n，则n^a
r r r r r r r r r r r r r
5.设a,b,c是非零向量，已知命题P：若a·b=0，b·c=0，则a·c=0；命题q：若a//b,b//c，则
r r
a//c，则下列命题中真命题是（ ）
A． pÚq B． pÙq C．(Øp)Ù(Øq) D． pÚ(Øq)
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
A．144 B．120 C．72 D．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
p p
A．8-2p B．8-p C．8- D．8-
2 4
第2页 | 共22页8.设等差数列{a }的公差为d，若数列{2a 1 a n}为递减数列，则（ ）
n
A．d <0 B．d >0 C．ad <0 D．ad >0
1 1
p p
9.将函数y =3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
3 2
p 7p
A．在区间[ , ]上单调递减
12 12
p 7p
B．在区间[ , ]上单调递增
12 12
p p
C．在区间[- , ]上单调递减
6 3
p p
D．在区间[- , ]上单调递增
6 3
【答案】B
【解析】
第3页 | 共22页10.已知点A(-2,3)在抛物线C：y2 =2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的
焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 3
11.当xÎ[-2,1]时，不等式ax3-x2 +4x+3³0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
9
A．[-5,-3] B．[-6,- ] C．[-6,-2] D．[-4,-3]
8
第4页 | 共22页12.已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足：
① f(0)= f(1)=0；
1
②对所有x,yÎ[0,1]，且x¹ y，有| f(x)- f(y)|< |x- y|.
2
若对所有x,yÎ[0,1]，| f(x)- f(y)|0，当非零实数a，b满足4a2 -2ab+4b2 -c=0，且使|2a+b|最大时， - + 的最小值
a b c
为 .
法二：柯西不等式：由4a2 -2ab+4b2 -c=0可得：2c=3a+b2 +5a-b2
2
é 3 5 ù
2a+b2 =ê ´ 3a+b+ ´ 5a+b ú
2 10
ë û
第8页 | 共22页三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
uuur uuur 1
在DABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且a>c，已知BA·BC =2，cosB= ，b=3，求：
3
（1）a和c的值；
（2）cos(B-C)的值.
23
【答案】（1）a=3，c=2；（2） .
27 [来源:学.科.网]
【解析】
uuur uuur 1 2 2
试题分析：（Ⅰ）由BA×BC = 2和cosB = ，得ac=6.由余弦定理，得a +c =13.
3
第9页 | 共22页18. （本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
第10页 | 共22页将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差
D(X).
第11页 | 共22页分布列为
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.
19. （本小题满分12分）
如图，DABC和DBCD所在平面互相垂直，且AB= BC = BD=2，ÐABC =ÐDBC =1200，E、F分
别为AC、DC的中点.
（1）求证：EF ^ BC；
（2）求二面角E-BF -C的正弦值.
第12页 | 共22页第13页 | 共22页1 3 3 1
易得B（0,0,0），A(0，-1， 3),D( 3,-1,0)，C(0,2,0),因而E(0, , ),F( , ,0),所以
2 2 2 2
uuur 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur
EF =( ,0,- ),BC =(0,2,0)，因此EF×BC =0,从而EF ^ BC，所以EF ^ BC.
2 2
第14页 | 共22页20. （本小题满分12分）
圆x2 + y2 =4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如
x2 y2
图），双曲线C : - =1过点P且离心率为 3.
1 a2 b2
（1）求C 的方程；
1
（2）椭圆C 过点P且与C 有相同的焦点，直线l过C 的右焦点且与C 交于A，B两点，若以线段AB为
2 1 2 2
直径的圆心过点P，求l的方程.
第15页 | 共22页x x - 2(x +x )+ y y - 2(y + y )+4=0 ，将韦达定理得到的结果代入
1 2 1 2 1 2 1 2
3 6
x x - 2(x +x )+ y y - 2(y + y )+4=0式整理得2m2 -2 6m+4 6-11=0，解得m= -1
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3 6
或m=- +1，即可求出直线l的方程.
2
第16页 | 共22页第17页 | 共22页21. （本小题满分12分）
8 2x
已知函数 f(x)=(cosx-x)(p+2x)- (sinx+1)，g(x)=3(x-x)cosx-4(1+sinx)ln(3- ).
3 p
p
证明：（Ⅰ）存在唯一x Î(0, )，使 f(x )=0；
0 2 0
p
(Ⅱ)存在唯一x Î( ,p)，使g(x )=0，且对（1）中的x +x 0，故
1 1 2 1 1 1 2
第18页 | 共22页p
g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x Î( ,p)，使g(x )=0.因
1 2 1
x =p-t ,t > x ，所以x +x
