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江苏省淮安市 2020 年中考数学试题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.2的相反数是( )
A. 2 B. -2 C. D.
2.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
3.下面的几何体中，主视图为圆的是( )
A. B. C. D.
的
4.六边形 内角和为( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080°
5.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.一组数据9、10、10、11、8的众数是( )
A. 10 B. 9 C. 11 D. 8
7.如图，点 、 、 在圆 上， ，则 的度数是( )
A. B. C. D.8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是(
)
A. 205 B. 250 C. 502 D. 520
二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)
9.分解因式： __________．
10.2020年6月23日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟授时精度高达每隔
3000000年才误差1秒．数据3000000用科学记数法表示为__________．
11.已知一组数据1、3， 、10的平均数为5，则 __________．
12.方程 的解为__________．
13.已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
14.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
15.二次函数 的图像的顶点坐标是_________．
16.如图，等腰 的两个顶点 、 在反比例函数 ( )的图象上，
．过点 作边 的垂线交反比例函数 ( )的图象于点 ，动点 从点 出发，沿
射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 ( )图象上一点，则 __________．三、解答题：本大题共11个小题，共102分．
17.计算：
(1)
(2)
18.解不等式 ．
解：去分母，得 ．
……
(1)请完成上述解不等式的余下步骤：
(2)解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 (填“A”或“B”)
A．不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内
停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
20.如图，在平行四边形 中，点 、 分别在 、 上， 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ≌ ；
(2)连接 、 ，则四边形 (填“是”或“不是”)平行四边形．
的
21.为了响应市政府创建文明城市 号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取
部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，
分别记为 、 、 、 ，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．请解答下列问题：
(1)本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中 选项对应的圆心角为 度；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
22.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母 、 、 ，搅匀
后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意
摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
(1)第一次摸到字母 的概率为 ；
(2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的概率．
23.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为 、 、 ，测得 ， ，
千米，求 、 两点间的距离．(参考数据： ， ，结果精确到1千米)．24.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间
后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发
小时后离甲地的路程为 千米，图中折线 表示接到通知前 与 之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
的
(2)求线段 所表示 与 之间的函数表达式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
的
25.如图， 是圆 弦， 是圆 外一点， ， 交 于点 ，交圆 于点 ，且
．(1)判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
26.【初步尝试】
(1)如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 与 的数量关系为 ；
【思考说理】
(2)如图②，在三角形纸片 中， ， ，将 折叠，使点 与点 重合，折
痕为 ，求 的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在三角形纸片 中， ， ， ，将 沿过顶点 的直线
折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕为 ．①求线段 的长；
②若点 是边 的中点，点 为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 ，点 的
对应点为点 ， 与 交于点 ，求 的取值范围．
27.如图①，二次函数 的图象与直线 交于 、 两点．点 是 轴上的一个
动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交该二次函数的图象于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1) ， ；
的
(2)若点 在点 上方，且 ，求 的值；
(3)将直线 向上平移4个单位长度，分别与 轴、 轴交于点 、 (如图②)．①记 的面积为 ， 的面积为 ，是否存在 ，使得点 在直线 的上方，且满足
？若存在，求出 及相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．
②当 时，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 、 ，若
，直接写出直线 与该二次函数图象交点的横坐标．江苏省淮安市 2020 年中考数学试题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.2的相反数是( )
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义解答即可．
【详解】解：2的相反数是-2．
故选B．
【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握互为相反数的两个数的和为0是解答本题的关键．
2.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】原式
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解题关键．
3.下面的几何体中，主视图为圆的是( )
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；
B、的主视图是正方形，故B不符合题意；
C、的主视图是圆，故C符合题意；
D、的主视图是三角形，故D不符合题意；
故选C．
考点：简单几何体的三视图．
4.六边形的内角和为( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080°
【答案】C
【解析】
【分析】
n边形的内角和等于(n－2)×180°，所以六边形内角和为(6－2)×180°＝720°.
【详解】根据多边形内角和定理得：(6－2)×180°＝720°.
故选C.
5.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．
【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选C．
【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．
6.一组数据9、10、10、11、8的众数是( )
A. 10 B. 9 C. 11 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数的定义进行判断即可．
【详解】在这组数据中出现最多的数是10，∴众数为10，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握知识点是解题关键．
7.如图，点 、 、 在圆 上， ，则 的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．
【详解】∵在圆O中，∠ACB=54º，
∴∠AOB=2∠ACB=108º，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= =36º，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数
是解答的关键．
8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是(
)
A. 205 B. 250 C. 502 D. 520
【答案】D
【解析】
【分析】
设两个连续奇数中的一个奇数为 ，则另一个奇数为 ，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为 ，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．
二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)
9.分解因式： __________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式 进行因式分解即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．
10.2020年6月23日，中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成，其星载原子钟授时精度高达每隔
3000000年才误差1秒．数据3000000用科学记数法表示为__________．
【答案】3×106
【解析】
【分析】
先将3000000写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为3000000写成a时小时点向左移动的位数．
【详解】解：3000000=3×106．
故答案为3×106．
【点睛】本题考查了科学记数法，将3000000写成a×10n的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．
11.已知一组数据1、3， 、10的平均数为5，则 __________．
【答案】6【解析】
【分析】
根据平均数 的计算方法，列出方程然后计算即可．
【详解】解：依题意有 ，
解得 ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．
12.方程 的解为__________．
【答案】x=-2
【解析】
【分析】
先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．
【详解】解：
则： ，解得x=-2．
故答案为x=-2．
【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．
13.已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
【答案】8.
【解析】
【分析】
直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
【详解】∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是： ，故答案为：8.
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.
14.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.
【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为 ＝5．
故答案为5．
【点睛】此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
15.二次函数 的图像的顶点坐标是_________．
【答案】(-1,4)
【解析】
【分析】
把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵ =-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．
16.如图，等腰 的两个顶点 、 在反比例函数 ( )的图象上，
．过点 作边 的垂线交反比例函数 ( )的图象于点 ，动点 从点 出发，沿
射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 ( )图象上一点，则 __________．【答案】1
【解析】
【分析】
由 ， ，得到 是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数
的对称轴，直线CD的关系式是 ，根据A点的坐标是 ，代入反比例函数 ，
得反比例函数关系式为 ，在根据直线CD与反比例函数 ( )的图象于点 ，求得 点的
坐标是(-2，-2)，则 ，根据点 从点 出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比
例函数 图象上，得到 ，则P点的坐标是(1，1)，将P(1，1)代入反比例函数 ，得
．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数 ( )图象上，∵ ， ，
∴ 是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数 的对称轴，则直线CD的关系式是 ，
∵A点的坐标是 ，代入反比例函数 ，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数 ( )的图象于点 ，
则有 ，解之得： (D点在第三象限)，
∴D点的坐标是(-2，-2)，
∴ ，
∵点 从点 出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 图象上，
∴ ，则P点的坐标是(1，1)(P点在第一象限)，将P(1，1)代入反比例函数 ，得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟
悉相关性质是解此题的关键．
三、解答题：本大题共11个小题，共102分．
17.计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2;(2) ．
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值、零指数幂、二次根式的计算方法计算即可．
(2)根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】(1) ．
(2) ．
【点睛】本题考查分式的混合运算和绝对值、零指数幂、二次根式的计算,关键在于熟练掌握相关的计算方
法．
18.解不等式 ．
解：去分母，得 ．
……
(1)请完成上述解不等式的余下步骤：
(2)解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 (填“A”或“B”)
A．不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．【答案】(1)余下步骤见解析；(2)A．
【解析】
【分析】
(1)按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；
(2)根据不等式的性质即可得．
【详解】(1)
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得 ；
的
(2)不等式 性质：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
19.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内
停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
【答案】中型12辆，小型18辆.
【解析】
【分析】
根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案.
【详解】设中型x辆，小型y辆，根据题意可得：
，
解得 ，
故中型汽车12辆，小型汽车18辆.
【点睛】本题主要考查的是方程组，掌握相关方法即可得出答案.20.如图， 在平行四边形 中，点 、 分别在 、 上， 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ≌ ；
(2)连接 、 ，则四边形 (填“是”或“不是”)平行四边形．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)是，理由见解析；
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等，再根据已知条件可利用ASA得到全等；
(2)由(1)可得到AF=EC，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案；
【详解】(1)∵四边形 平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ，
根据题可知 ， ，
在△AOF和△COE中，
，
∴ ≌ ．
(2)如图所示，由(1)得 ≌ ，可得：
，
又∵ ，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质，准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键．
21.为了响应市政府创建文明城市的号召，某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况，随机抽取
部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，
分别记为 、 、 、 ，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
请解答下列问题：
(1)本次问卷共随机调查了 名学生，扇形统计图中 选项对应的圆心角为 度；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校有1200名学生，试估计该校选择“不了解”的学生有多少人？
【答案】(1)60，108；(2)图见解析；(3)该校选择“不了解”的学生有60人．
【解析】【分析】
(1)先根据B选项的条形统计图和扇形统计图的信息可得调查的总人数，再求出 C选项学生人数的占比，
然后乘以 即可得；
(2)先根据(1)的结论，求出A选项学生的人数，再补全条形统计图即可；
(3)先求出选择“不了解”的学生的占比，再乘以1200即可得．
【详解】(1)本次问卷共随机调查的学生人数为 (名)
C选项学生人数的占比为
则
故答案为：60，108；
(2)A选项学生的人数为 (名)
因此补全条形统计图如下所示：
(3)选择“不了解”的学生的占比为
则 (人)
答：该校选择“不了解”的学生有60人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，掌握理解统计调查的
相关知识是解题关键．22.一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母 、 、 ，搅匀
后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意
摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
(1)第一次摸到字母 的概率为 ；
(2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的概率．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1)用标有字母A的情况数除以总的情况数解答即可；
(2)先画出树状图求出所有等可能的情况数，然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的情况数，
再根据概率公式解答．
【详解】解：(1)第一次摸到字母 的概率= ．
故答案为： ；
(2)所有可能的情况如图所示：由图可知：共有9种等可能的情况，其中两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的情况数只有1种，
所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“ ”的概率= ．
【点睛】本题主要考查了求两次事件的概率，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题
的关键．
23.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为 、 、 ，测得 ， ，
千米，求 、 两点间的距离．(参考数据： ， ，结果精确到1千米)．
【答案】 、 两点间的距离约为11千米．
【解析】
【分析】
如图(见解析)，先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定
与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作 于点D
在 中， ， 千米
(千米)， (千米)
在 中，
是等腰直角三角形
千米(千米)
答： 、 两点间的距离约为11千米．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直
角三角形是解题关键．
24.甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间
后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发
小时后离甲地的路程为 千米，图中折线 表示接到通知前 与 之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
(2)求线段 所表示的 与 之间的函数表达式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
【答案】(1)80；(2) ；(3)不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
(2)根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
(3)求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
【详解】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；故答案为：80；
(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为： (小时)，
∴点E的坐标为(3.5，240)，
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为 ，
则： ，解得 ，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为 ；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，
则全程所需时间为： (小时)，
从早上8点到中午12点需要12-8=4(小时)，
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
25.如图， 是圆 的弦， 是圆 外一点， ， 交 于点 ，交圆 于点 ，且
．
(1)判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)直线BC与圆O相切，理由见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OB，由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再利用直角三角形性质和对顶
角可证得∠OBC=90º，即OB⊥BC,可判断直线BC与圆O相切；
(2)易证得△CPD为等边三角形，则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含30º角的直角三角形求得OA、BC的
长，然后用公式求得△OBC的面积和扇形OBD的面积，相加即可解得阴影面积．
【详解】(1)直线BC与圆O相切，理由为：
连接OB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO，
∵OA⊥OC，
∴∠A+∠APO=90º，
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º，
∴OB⊥BC，
∴直线BC与圆O相切；
(2)∵OA⊥OC，∠A=30º，OP=1
∴OA= ，∠APO=60º即∠CPB=60º，
∵CP=CB，
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60º，
∵∠OBC=90º，
∴∠BOD=30º，
∴BC=OB·tan30º=1，
∴ = = ，答:图中阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与
性质、扇形的面积等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，找到各知识点之间的联系，进而推理、探
究、发现和计算．
26.【初步尝试】
(1)如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 与 的数量关系为 ；
【思考说理】
(2)如图②，在三角形纸片 中， ， ，将 折叠，使点 与点 重合，折
痕为 ，求 的值．【拓展延伸】
(3)如图③，在三角形纸片 中， ， ， ，将 沿过顶点 的直线
折叠，使点 落在边 上的点 处，折痕为 ．
①求线段 的长；
②若点 是边 的中点，点 为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 ，点 的
对应点为点 ， 与 交于点 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3)① ；② ．
【解析】
【分析】
(1)先根据折叠的性质可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然
后根据三角形中位线的判定与性质即可得；(2)先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，从而可得
，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可求出BM的长，最后根据线
段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；
(3)①先根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，再根据
等腰三角形的定义可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可
得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；
②先根据折叠的性质、线段的和差求出 ， 的长，设 ，从而可得 ，再根据相
似三角形的判定与性质可得 ，然后根据x的取值范围即可得．
【详解】(1) ，理由如下：
由折叠的性质得：
是 的中位线
点M是AB的中点
则
故答案为： ；
(2)
由折叠的性质得：，即
在 和 中，
，即
解得
；
(3)①由折叠的性质得：
，即
在 和 中，
，即
解得解得 ；
②如图，由折叠的性质可知， ， ，
点O是边 的中点
设 ，则
点 为线段 上的一个动点
，其中当点P与点 重合时， ；当点P与点O重合时，
，即
在 和 中，则 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等
知识点，较难的是题(3)②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．
27.如图①，二次函数 的图象与直线 交于 、 两点．点 是 轴上的一个
动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交该二次函数的图象于点 ，设点 的横坐标为 ．
(1) ， ；
(2)若点 在点 的上方，且 ，求 的值；
(3)将直线 向上平移4个单位长度，分别与 轴、 轴交于点 、 (如图②)．
①记 的面积为 ， 的面积为 ，是否存在 ，使得点 在直线 的上方，且满足？若存在，求出 及相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．
②当 时，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 、 ，若
，直接写出直线 与该二次函数图象交点的横坐标．
【答案】(1)1，﹣2；(2)m=0 或 2；(3)① 存在，且 ， ， ；②
或 ．
【解析】
【分析】
(1)把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出b，于是可得抛物线的解析式，再把点B的坐标代入抛物线的
解析式即可求出n；
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点P(m，0)，则点M、N的坐标可得，于是MN的长可用
含m的代数式表示，由MN=3可得关于m的方程，解方程即可求出m的值；
(3)①易求出平移后直线CD的解析式，进而可得点C坐标，然后利用待定系数法分别求出直线AC和直线
NC的解析式，设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，然后即可用含m的
代数式表示出 和 ，由 可得关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出结果；
②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作
FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，根据直线AB的特点和旋转的性质可得△AMG和△FMH是全等
的两个等腰直角三角形，进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得FK=2，由条
件 ，根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK，然后根据两个角
的正切相等即可求出CK的长，于是可得点F的坐标，进而可求出直线OF的解析式，进一步即可求出直
线OF与抛物线交点的横坐标；当旋转后点F在点C右侧时，易得满足 的
点F不存在，从而可得答案．
【详解】解：(1)把 代入抛物线 ，得 ，解得：b=1，
∴抛物线的解析式是： ，∵点 在抛物线上，
∴ ，
故答案为：1，﹣2；
(2)设直线 的解析式是 ，把点 、 两点代入，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式是 ，
如图1，∵点P(m，0)，∴点M(m，﹣m+1)、N(m， )，
当点 在点 的上方时，则 ，
当 时， ，解得：m=0或2；
(3)①直线 向上平移4个单位长度后的解析式为 ，
∴点C、D的坐标分别是(5，0)、(0，5)，
则由 、C(5，0)可得直线AC的解析式为 ，
由N(m， )、C(5，0)可得直线NC的解析式为 ，
设直线MN交AC于点F，过点B作BE⊥x轴交直线NC于点E，如图2，当x=3时， ，∴点E(3， )，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，解得： ，
由于当 时， ，
此时点N在直线AC的下方，故 舍去；
当 时， ， ；
∴存在 ，使 ，且此时 ， ；
②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作BQ⊥x轴于点Q，过点M作GH∥x轴，作AG⊥GH于点G，作
FH⊥GH于点H，交x轴于点K，如图3，
∵直线AB的解析式为 ，∴∠AMG=45°，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴∠AMF=90°，MA=MF，
∴△AMG和△FMH是全等的两个等腰直角三角形，
∴AG=GM=MH=FH=m+1，
∵M(m，﹣m+1)，
∴KH=PM=m－1，
∴FK=(m+1)－(m－1)=2，
∵ ，∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF，
∴45°+∠QBF+∠AOD－∠BFC=45°，
∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK，
∵FK∥BQ，∴∠QBF =∠BFK，
∴∠AOD=∠CFK，
∴ ，
∴ ，OK=4，
∴点F的坐标是(4，2)，
∴直线OF的解析式是 ，解方程： ，得 ；
当旋转后点F在点C右侧时，满足 的点F不存在；
综上，直线 与该二次函数图象交点的横坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一
元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识，综
合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的
关键．
